《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 合情推理與演繹推理課件.ppt

第三十五講合情推理與演繹推理 回歸課本1 合情推理 1 歸納推理 由某類事物的部分對象具有某些特征 推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理 或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理 稱為歸納推理 簡言之 歸納推理是由部分到整體 由個別到一般的推理 2 類比推理 由兩類對象具有某些和其中一類對象的某些類似特征 推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理 簡言之 類比推理是由已知特征到特殊的推理 3 合情推理 歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實 經(jīng)過觀察 分析 比較 聯(lián)想 再進(jìn)行歸納 類比 然后提出猜想的推理 我們把它們統(tǒng)稱為合情推理 注意 1 合情推理所獲得的結(jié)論 僅僅是一種猜想 未必可靠 例如費(fèi)馬猜想就被歐拉推翻了 2 在進(jìn)行類比推理時要盡量從本質(zhì)上去類比 不要被表面現(xiàn)象迷惑 否則只抓住一點(diǎn)表面的相似甚至假象就去類比 就會犯機(jī)械類比的錯誤 2 演繹推理 1 演繹推理 從一般性原理出發(fā) 推出某個特殊情況下的結(jié)論 我們把這種推理稱為演繹推理 簡言之 演繹推理是由一般到特殊的推理 2 三段論是演繹推理的一般模式 包括 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情況 結(jié)論 根據(jù)一般原理 對特殊情況做出的判斷 考點(diǎn)陪練1 下面幾種推理是合情推理的是 由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì) 由直角三角形 等腰三角形 等邊三角形的內(nèi)角和是180 歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180 教室內(nèi)有一把椅子壞了 則該教室內(nèi)的所有椅子都壞了 三角形內(nèi)角和是180 四邊形內(nèi)角和是360 五邊形內(nèi)角和是540 由此得凸n邊形內(nèi)角和是 n 2 180 a b c d 解析 前提為真時 結(jié)論可能為真的推理稱為合情推理 由此可得出 是合情推理 而 不是合情推理 因為所有三角形不只包括直角三角形 等腰三角形 等邊三角形 故選b 答案 b評析 前提為真 必須是要研究對象的前提 比如由椅子壞了 推出椅子壞了是可以的 由椅子壞了 推出桌子也壞了是不對的 的推理屬于前提不對 2 所有9的倍數(shù) m 都是3的倍數(shù) p 某奇數(shù) s 是9的倍數(shù) m 故該奇數(shù) s 是3的倍數(shù) p 上述推理是 a 小前提錯誤b 大前提錯誤c 結(jié)論錯誤d 正確的解析 由于 9的倍數(shù)是3的倍數(shù) 為真 若 某數(shù)是9的倍數(shù) 也為真 則 某數(shù)為3的倍數(shù) 為真 即大前提與小前提都正確 則結(jié)論必然正確 故選d 答案 d 評析 本題是一個演繹推理的題目 根據(jù)演繹推理的理論 只要大前提與小前提都正確 結(jié)論就正確 此題中的大前提與小前提是正確的 因此結(jié)論是正確的 這就說明 在判斷推理的正確性時 要利用理論進(jìn)行判斷 即要熟練掌握各種理論 原理 結(jié)論 3 利用歸納推理推斷 當(dāng)n是自然數(shù)時 n2 1 1 1 n 的值 a 一定是零b 不一定是整數(shù)c 一定是偶數(shù)d 是整數(shù)但不一定是偶數(shù)解析 當(dāng)n 1時 值為0 當(dāng)n 2時 值為0 當(dāng)n 3時 值為2 當(dāng)n 4時 值為0 當(dāng)n 5時 值為6 答案 c 4 在等差數(shù)列 an 中 若m n r s 則am an ar as m n r s n 類比得到等比數(shù)列具有性質(zhì) 解析 am an a1qm 1 a1qn 1 a21qm n 2 ar as a1qr 1a1qs 1 a21qr s 2 又 m n r s am an as ar 答案 在等比數(shù)列 an 中 若m n r s 則am an ar as m n r s n 5 2010 山東 觀察 x2 2x x4 4x3 cosx sinx 由歸納推理可得 若定義在r上的函數(shù)f x 滿足f x f x 記g x 為f x 的導(dǎo)函數(shù) 則g x a f x b f x c g x d g x 解析 觀察可知 偶函數(shù)f x 的導(dǎo)函數(shù)g x 都是奇函數(shù) 所以g x g x 故選d 答案 d 類型一歸納推理解題準(zhǔn)備 歸納推理的一般步驟是 1 通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì) 2 從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題 猜想 分析 根據(jù)已知條件和遞推關(guān)系 先求出數(shù)列的前幾項 然后總結(jié)歸納其中的規(guī)律 寫出其通項公式 探究1 設(shè)f n n2 n 41 n n 計算 f 1 f 2 f 3 f 4 f 10 都是質(zhì)數(shù)的值 同時作出歸納推理 并用n 40驗證猜想是否正確 解 f 1 12 1 41 43 f 2 22 2 41 47 f 3 32 3 41 53 f 4 42 4 41 61 f 5 52 5 41 71 f 6 62 6 41 83 f 7 72 7 41 97 f 8 82 8 41 113 f 9 92 9 41 131 f 10 102 10 41 151 43 47 53 61 71 83 97 113 131 151都為質(zhì)數(shù) 歸納猜想 當(dāng)n n 時 f n n2 n 41的值都為質(zhì)數(shù) n 40時 f 40 402 40 41 40 40 1 41 41 41 f 40 是合數(shù) 因此 由上面歸納推理得到的猜想不正確 評析 由歸納推理所得的有限項所表示的規(guī)律不一定適合于一般項 若驗證其正確 需進(jìn)行具體計算或嚴(yán)格證明 歸納分為完全歸納和不完全歸納 由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的 但它由特殊到一般 由具體到抽象的認(rèn)識功能 對科學(xué)的發(fā)現(xiàn)是十分有用的 觀察 實驗 對有限的資料作歸納整理 提出帶規(guī)律性的說法是科學(xué)研究的最基本的方法之一 類型二類比推理解題準(zhǔn)備 1 類比推理和歸納推理都屬于合情推理 利用歸納和類比方法進(jìn)行簡單的推理是高考中常見題型 多以填空題的形式出現(xiàn) 2 由兩類不同事物之間具有某些類似 或一致 性 推測其中一類事物具有與另一類事物類似 或相同 的性質(zhì)的推理叫做類比推理 它是一種由特殊到特殊的推理 3 類比推理的一般步驟 1 找出兩類事物之間的相似 或一致 性 2 用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì) 得出一個明確的命題 猜想 典例2 2010 濰坊 請用類比推理完成下表 解 本題由已知前兩組類比可得到如下信息 平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對象 三角形各邊的邊長與三棱錐的各面的面積是類比對象 三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類比對象 三角形的面積與三棱錐的體積是類比對象 三角形的面積公式中的 二分之一 與三棱錐的體積公式中的 三分之一 是類比對象 由以上分析可知 故第三行空格應(yīng)填 三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一 本題結(jié)論可以用等體積法 將三棱錐分割成四個小的三棱錐去證明 此處從略 反思感悟 類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對象 平面幾何中的一些定理 公式 結(jié)論等 可以類比到空間立體幾何中 得到類似結(jié)論 一般平面中的一些元素與空間中的一些元素的類比列表如下 類型三演繹推理解題準(zhǔn)備 1 三段論 是演繹推理的一般模式 形如 若b c a b 則a c 這種推理規(guī)則叫做三段論推理 它是由大前提 小前提和結(jié)論三部分構(gòu)成的 2 三段論推理的一般步驟是 1 b c 2 a b 3 得出結(jié)論a c 3 三段論推理常用的表示形式 m p m是p s m s是m s p s是p 典例3 在銳角三角形abc中 ad bc be ac d e是垂足 求證 ab的中點(diǎn)m到d e的距離相等 分析 解答本題需要利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)作為大前提 證明 1 因為有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形 大前提在 abd中 ad bc 即 adb 90 小前提所以 abd是直角三角形 結(jié)論 2 因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 大前提而m是rt abd斜邊ab的中點(diǎn) dm是斜邊上的中線 小前提所以 結(jié)論同理 所以dm em 反思感悟 演繹推理主要是由大前提 小前提推出結(jié)論的三段論式推理 三段論的公式中包含三個判斷 第一個判斷稱為大前提 它提供了一個一般的原理 第二個判斷叫小前提 它指出了一個特殊情況 這兩個判斷聯(lián)合起來 揭示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系 從而產(chǎn)生了第三個判斷 結(jié)論 演繹推理是一種必然性推理 演繹推理的前提與結(jié)論之間有蘊(yùn)涵關(guān)系 因此 只要前提是真實的 推理的形式是正確的 那么結(jié)論必定是真實的 但錯誤的前提可能導(dǎo)致錯誤的結(jié)論 探究2 已知函數(shù) 其中a 0 b 0 x 0 確定f x 的單調(diào)區(qū)間 并證明在每個單調(diào)區(qū)間上的增減性 分析 利用演繹推理證明 評析 這里用了兩個三段論的簡化形式 都省略了大前提 第一個三段論所依據(jù)的大前提是減函數(shù)的定義 第二個三段論所依據(jù)的大前提是增函數(shù)的定義 小前提分別是f x 在上滿足減函數(shù)定義和f x 在上滿足增函數(shù)定義 這是證明該例題的關(guān)鍵 錯源一 先天不足 急于武斷 典例1 已知數(shù)列 an 滿足a1 1 an 1 an 1 試歸納出這個數(shù)列的通項公式 錯源二類比不當(dāng)致誤 剖析 從平面到空間類比時缺乏對應(yīng)特點(diǎn)的分析 在三角形內(nèi)一點(diǎn)到各邊的距離與該邊上的高的比值之和等于1 類比到空間就應(yīng)該是三棱錐內(nèi)一點(diǎn)到各個面的距離與該面上高的比值之和等于1 本題如果不考慮比值的特點(diǎn) 就可能誤以為類比到空間后是面積之比等 從而得到一些錯誤的類比結(jié)論 評析 類比推理是一種由此及彼的合情推理 合乎情理 是這種推理的特征 一般的解答思路是進(jìn)行對應(yīng)的類比 如平面上的三角形對應(yīng)空間的三棱錐 四面體 平面上的面積對應(yīng)于空間的體積等 類比推理得到的結(jié)論不一定正確 故這類題目在得到類比的結(jié)論后 還要用類比方法對類比結(jié)論的正確性作出證明 例如本題中在三角形中的結(jié)論是采用等面積法得到的 在三棱錐中就可以根據(jù)等體積法得到 這樣不但寫出來類比的結(jié)論 并且這個結(jié)論還是一個正確的結(jié)論 技法一特殊化思想 典例1 凸n邊形有f n 條對角線 凸n 1邊形有f n 1 條對角線 則f n 1 與f n 的關(guān)系為 a f n 1 f n n 1b f n 1 f n n 5c f n 1 f n n 1d f n 1 f n 2n 4 解析 從三角形與四邊形入手 由于三角形的對角線條數(shù)為0 即f 3 0 而f 4 2 那么f 4 f 3 2 經(jīng)驗證c不正確 于是先排除c 再看五邊形 由于f 5 5 得f 5 f 4 3 此時b d 都不滿足 故選a 答案 a 方法與技巧 面對歸納推理的問題 特別是選擇題 最易從特殊值入手進(jìn)行求解 本題如果僅從n邊形與n 1邊形進(jìn)行探索的話難度很大 若從特殊情況出發(fā) 則較容易得出結(jié)論 技法二數(shù)形結(jié)合思想 典例2 如圖 一個粒子在第一象限運(yùn)動 在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動到 0 1 然后它接著在x軸 y軸的平行方向按照圖所示來回運(yùn)動 且每秒移動一個單位長度 求2007秒時 這個粒子所處的位置 解題切入點(diǎn) 本題借助圖形 一層一層的分析下去 規(guī)律慢慢的 浮出水面 當(dāng)然 問題也就迎刃而解了 解 第一層有 0 1 1 1 1 0 三個整點(diǎn) 除原點(diǎn) 共用3秒 第二層有五個整點(diǎn) 2 0 2 1 2 2 1 2 0 2 共用5秒 第三層有七個整點(diǎn) 0