運用數學思想方法 探索數列中常數的存在性.pdf

3 6 數 學 教 學 研究 2 0 0 4 年第 4 期 運用數學思想方法探索數列中常數的存在性 陳華安 廣東省順德市容桂職業(yè)技術學校 5 2 8 3 0 3 在數列的各種問題中 常數是否存紅 Ih j 題 經常出現(xiàn) 這類問題常以函數 程 不等式 數列為 載體 在知識的交匯處榆測學生綜合運用知識的能 力 具有較強的綜合性 對所使用的解題方法也有較 高的要求 須有一定的預見性和靈活性 是訓練和考 臺學牛的思維能力 分析能力和解決問題能力的好 題型 解這類r u 題必須以科學的思想方法作指導 通 過特殊與一般 估測與精確推理運算 有限與無限等 關系加以轉化 才能獲得探索的結果 1 特殊化與一般化思想 矛盾論的基奉原理 告訴 我們 特殊性寓于普遍 性之中 在認識事物和解決問題的過程中 必須 持 具體問題具體分析 也就足在矛盾醬遍性原理的指 導下 縣體分析矛盾的特殊性 把特殊性 一般性有 機結俞運用于解題中 由于常數具有小變的特性 因 此通過數列巾的特殊項或項數 則可估測出所求的 常數值 而對于一般情形只需要加以驗證即可獲得 問題的解決 例 1 是否存在這樣的等左數列 使它的卣 項為 公差小為零 且其前3 項中 fi f 項和t j 其后 2 項和的比值對于任意自然數 都等于常數 仃 在 求f U 數列1 a 通項公式及該常數 若不存在 說 明理 由 解 若存在這樣的等差數列 其公差為d 前 項和記作S 則其后 2 項和為s 一s 由題意 記 A A為常數 s 一 r d S 3 一 S 一 2 n 4 一 1 d 令 一 得 一 整嬋得 d 一2 d一 0 丙為 d 0 所以 一 2 n 1 一 此時對于仟意 自然數 一 二 s 3 一 s 2 n 2 n 4 n一 1 一 一 一 A 也 成 8 8 故存在這樣的等差數列f a 其通項公式足n 一 2 n 一1 常數A 注 山等差數列的一般性建立關系式 從特 性人手 令 一 1 2 探求常數A 再證明所求的常數 具有一般性 體現(xiàn) 特殊化和一般化思想的滲透 例 2 根據 2 0 0 0 年全國高考題 理 笫 2 0 題改 編 已知數列 f 其中f 一3 十2 問足螽仃在這 樣的常數 P 使數列 一 為等 比數列 竹仃 枉 求出所有符合條件的 P 值 若 存 說明 南 解 匯b 一 一 設 q q 為常數 得 2 戶 2 3一 戶 3 q 2一 P 2 q 3一 P 3 即 一p 2一q 2 十 3 一P 3一q 一 0 亦即 2 一P 2 一q 3 一p 3 一q 一0 要使該等式成為恒等式的充要條件足 2 一 戶 2一 q 一 3 一 p 3一 q o 解得 P一2 q一3 或 P一 3 q 一2 故符合條件 的 P存在H P一2 或 3 注 山等比數列的一般性人手建立關于一 的 I 等式 再利朋待定系數法直接求出常數 把一般化思 想滲透到解題過程中 2 函數思想 函數思想 是用聯(lián) 系和變化 的觀點 考察數學 對 象 數列是一類特殊的函數 以函數的觀點認識數列 問題足解決數列問題的有效方法 例 4 數列 a 通項公式足 一 一1 0 9 問是否存在這樣的自然數N 使 a 時于 切自 然數 n 恒 成立 并證明 分析 本題足探索數列中最大項及其時膻項 維普資訊 2 0 0 4 年第4期 數 學 教 學 研 究 數的存在性 但直接求a 的城大值比較閑難 因此町 以把它轉化為研究數列的單調性 解 j 1 0 9 2 0 9 0 9 當 8 時 口 8時 1 即 l 拉 2 7 a I l a 1 故存在 N一8 或 9 使n a 對于一切自然數 恒成立 注 山于數列是特殊的函數 而它既具有函 數的一般性質 又具有自然數連續(xù)傳遞關系等特性 因此從函數人手 利用函數的性質探求常數 運 函 數思想合理轉化 可迅速解決r J 題 3 方程思想 方程思想就是通過設l未知數建 方程 研究方 程解決 u J 題的打法 數列巾的一 常數存紅于某一 等式中 丁 以把常數看作未知數 從方程人手 利用 辦程的思想直接求解 一一 a 1 q 一 c 1一 q 闃 q 蘆 0 敝只能有 a 一c 1 q 一 0 解 稚 即得 c一 此時 因 f 0 口 0 故 0 q 1 1 q 但 o q 1 時 S 一 一 一 0 使結論成 綜合 i i i 小存存同時滿足條件 的常數r 0 使結淪成立 注 把 c 行作未知數 從等式人手解方程求得 c 再判斷c的存在性 體現(xiàn)了 程思想 4 分類討論思想 復雜問題尢法一次解決 常常需要分類研究 化 整為零 各個擊破 數列中隱含著豐富的分類討淪的 問題 例 6 2 O O 1 年 E 海市春季高考題 已知i a 自 項為2 公比乃 的等比數列 s 為它f l j 項 和 用 s 表示S 是臺存在自 然數f 和 使得 j 戰(zhàn) 例5 1 9 9 5 年傘困高考題 沒i 是由正數組 立 成的等比數列 S 足其前 n 項和 1 證明 0 使 得 二 一 l g s 成立 并證 明你的結 論 證明 1 略 2 把常數r 看作未 數 要使結論成 則有 S f S 2 f 一 S 1 i S 一f 0 i L l 時 一f s 一 一 S I f 一 r 十2 a l f 一 n 1 1 一一 O成 即一 S 一 c 一f t gN S 一f s 一2 c 3 4 巾已知條件易得 s 一4 1 N 1 當r H r N時 棚 2 可化為 r s i r 1 時 有 1 s 2 一 專 敞 存 N 滿 足 式 維普資訊 數 學 教 學 研 究 2 0 0 4 年第 4期 i i 當r 一2 時 有 2 s 了 8 即 1 不存在 N滿足 式 iii 當 r 一 3 時 有 3 s 即 了 1 仍然不存在 N滿足 式 2 當 c 一 享 時 即 當 c 一 4 時 e t N s 一 4 2 c j 4時 即當c 4 時 得 s 4 時 絲 專 4 故 4 2 c 3 4 f 與 S 2 成 立 解法 2 將 一4 1 一 1 代人 式得 1 一 1 一 4 r 7 4 N 字 渭 字 0 q q 4 下 C o 矛 盾 3 當 r 4 且 c N 時 得 0 字 要 使 此 式 成 立 必 須 4 而c N 所以c 只可能取 2 或 3 當 c 一 2 時 滿 足 1 的 自 然 數 不 存在 當 c 一 3 時 滿 足 素 2成立 注 本題是以數列為背景的不等式綜合題 球 解時從不等式人手 把它分成若干個子問題 再各個 擊破 上述兩種解法實質上都是分別構造以 S 或 1 為主元的一元二次不等式作為突破口 從而進 行分類探究 在探求常數c 時 滲透了分類討論思想 由以上例子可以看出 解數列題的過程中蘊涵 著眾多的數學思想方法 必須注意滲透 挖掘 領會 和脯用 所圍面積何時最小最大 張敬坤 濮陽職業(yè)技術學院 南區(qū) 河南濮陽4 5 7 1 0 0 l I 口 J 題 瑤 出 已知氏 線 十 1 d 0 6 o 過點 1 日 2 求當n 6 為何值時該卣線J j 兩坐標軸所嗣j角形 的面積最小 最小值是多少 解 山方程 y一1 知該直線與兩坐標軸 門 的交點分別