通信原理第8章-數(shù)字信號最佳接收.ppt

1 第8章數(shù)字信號的最佳接收 8 1引言8 2數(shù)字信號接收的統(tǒng)計表述8 3關(guān)于最佳接收的準(zhǔn)則8 4確知信號的最佳接收8 5隨相信號的最佳接收8 6起伏信號的最佳接收8 7普通接收機(jī)與最佳接收機(jī)的比較8 8匹配濾波器8 9最佳基帶接收機(jī) 2 8 1引言 通信系統(tǒng)的質(zhì)量優(yōu)劣主要取決于接收機(jī)的性能 這是因為 影響信息可靠傳輸?shù)牟焕蛩刂苯幼饔迷诮邮斩?通信理論中一個重要的問題 最佳接收或信號接收最佳化 最佳接收理論 研究從噪聲中如何最好地提取有用信號 最好 或 最佳 的概念是在某個準(zhǔn)則意義下說的一個相對概念 這就是說 在某個準(zhǔn)則下是最佳的接收機(jī) 在另一準(zhǔn)則下就并非一定是最佳的 3 8 2數(shù)字信號接收的統(tǒng)計表述 數(shù)字通信系統(tǒng)中 接收機(jī)觀察到接收波形后 要無誤地斷定某一信號的到來是困難的 原因是 哪一個信號被發(fā)送 對受信者來說是不確定的 信號在傳輸過程中可能發(fā)生各種畸變 因此可以說 帶噪聲的數(shù)字信號的接收過程是一個統(tǒng)計判決的過程 4 數(shù)字通信系統(tǒng)的統(tǒng)計模型 5 消息空間x 離散消息的所有可能取值的集合x1 x2 xm x的出現(xiàn)概率可以用一維概率分布P xi 表示 6 信號空間s 消息轉(zhuǎn)換為信號是一一對應(yīng)的 所以P si P xi 7 噪聲空間n 假定噪聲是高斯型的 均值為零 隨機(jī)過程 n的統(tǒng)計特性用多維聯(lián)合概率密度函數(shù)來描述 若是高斯過程且各抽樣值獨立 則 8 是噪聲的方差 也就是噪聲的功率 k 2fHT是在 0 T 內(nèi)的抽樣點數(shù) 噪聲的平均功率還可以表示為 9 所以于是n0是單位頻帶內(nèi)的噪聲功率 10 觀察空間y y t s t n t 當(dāng)發(fā)出信號為si t 時 接收信號y t 為隨機(jī)過程 其均值為si t 方差為 其概率密度函數(shù)為fsi y 稱為似然函數(shù) 它是信號統(tǒng)計檢測的依據(jù) 按照某種準(zhǔn)則 即可對y t 作出判決 使判決空間中可能出現(xiàn)的狀態(tài)r1 r2 rm與信號空間中的各狀態(tài)s1 s2 sm相對應(yīng) 11 8 3關(guān)于最佳接收的準(zhǔn)則 在數(shù)字通信系統(tǒng)中 最直觀且最合理的準(zhǔn)則是 最小差錯概率 準(zhǔn)則 由于信號受到畸變和噪聲的干擾 發(fā)送消息xi時不一定能判為ri出現(xiàn) 而是判決空間的所有狀態(tài)都可能出現(xiàn) 這將造成錯誤接收 錯誤接收的概率愈小愈好 以二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)為例 分析在噪聲中按何種方法接收才能使錯誤概率最小 12 二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中 只發(fā)送兩種信號s1和s2 先驗概率分別為P s1 和P s2 錯誤概率為 Pe P s1 P r2 s1 P s2 P r1 s2 P r2 s1 和P r1 s2 為錯誤轉(zhuǎn)移概率 以使Pe最小為目標(biāo) 導(dǎo)出最佳接收的準(zhǔn)則 把觀察空間的取值域y劃分成A1域和A2域 一旦接收機(jī)被構(gòu)成后 則這個劃分就被規(guī)定 該域的幾何表示 如圖8 3所示 13 Y中的每個點代表著y t 的一個實現(xiàn) 落在A1域的實現(xiàn)判為r1 A2域中的實現(xiàn)判為r2 因此Pe可寫成Pe P s1 P A2 s1 P s2 P A1 s2 正確判決的概率為Pc 1 Pe P s1 P A1 s1 P s2 P A2 s2 這里改寫為 14 或者寫為為使Pc最大 應(yīng)該使 在積分域A2內(nèi) 15 同理 在積分域A1內(nèi) 應(yīng)該是或者說 若 判為r1 若 判為r2 或者 16 上式稱為似然比準(zhǔn)則 若P s1 P s2 則似然比準(zhǔn)則簡化為若 則判為r1若 則判為r2 17 8 4確知信號的最佳接收 到達(dá)接收機(jī)的信號分為兩類 確知信號 隨參信號 確知信號 所有參數(shù) 幅度 頻率 相位 到達(dá)時間等 都確知 未知的只是信號出現(xiàn)與否 隨機(jī)相位信號 除相位外其余參數(shù)都確知的信號 隨機(jī)振幅 相位信號 簡稱起伏信號 的振幅 相位都是隨機(jī)參數(shù) 而其余參數(shù)是確知的 18 8 4 1二進(jìn)制確知信號的最佳接收機(jī) 設(shè)到達(dá)接收機(jī)的兩個可能信號為s1 t 和s2 t 它們的持續(xù)時間為 0 T 且有相等的能量 n t 是高斯白噪聲 其均值為零 單邊功率譜密度為n0 目的 設(shè)計一個接收機(jī) 能在噪聲干擾下有最小的錯誤概率檢測信號 觀察到的波形y t 可表示為y t s1 t 或s2 t n t 19 若 則判決收到s1 t 于是判決收到s1 t 的條件成為 20 不等式兩邊取對數(shù) 簡化為再簡化為其中 21 當(dāng)P s1 P s2 時 條件成為對應(yīng)的接收機(jī)結(jié)構(gòu)稱為 相關(guān)接收機(jī) 22 比較器是比較抽樣時刻t T時上下兩個支路樣值的大小 相關(guān)接收機(jī) 最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)按比較觀察波形y t 與s1 t 和s2 t 的相關(guān)性而構(gòu)成 其中相乘器與積分器構(gòu)成相關(guān)器 接收過程是分別計算觀察波形y t 與s1 t 和s2 t 的相關(guān)函數(shù) 在抽樣時刻t T y t 與哪個發(fā)送信號的相關(guān)值大就判為哪個信號出現(xiàn) 23 如果發(fā)送信號s1 t 和s2 t 的出現(xiàn)概率相等 即P s1 P s2 可得U1 U2 此時 兩個相加器可以省去 則先驗等概率情況下的二進(jìn)制確知信號最佳接收機(jī)簡化結(jié)構(gòu)如圖 24 當(dāng)發(fā)送信號為s1 t 時 接收機(jī)輸入信號為 y t s1 t n t 其中 n t 是高斯白噪聲 均值為零 方差為 2n 若 8 4 2二進(jìn)制確知信號最佳接收機(jī)的性能 則判為s1 t 出現(xiàn) 是正確判決 若 25 則判為s2 t 出現(xiàn) 是錯誤判決 將y t s1 t n t 代入判決式中可得錯誤判決條件為 化簡得到 26 則 錯誤事件可以表示為隨機(jī)變量服從正態(tài)分布 它的均值和方差分別為 令 27 式中E n t n t 為高斯白噪聲n t 的自相關(guān)函數(shù) 由隨機(jī)信號分析可知故有 28 于是有 式中 29 利用相同的方法 可求得式中 30 總的錯誤概率為 由此看出 所求的最佳接收機(jī)的極限性能只與先驗概率P s1 和P s2 噪聲功率譜密度n0及兩信號之差的能量有關(guān) 而與s1 t 及s2 t 本身的具體形式無關(guān) 31 分析Pe與先驗概率的關(guān)系 當(dāng)P s1 0 而P s2 1或反之P s1 1 而P s2 0時 Pe 0 這意味著接收端知道發(fā)送的是什么 故不會有錯 先驗等概時 Pe只與兩信號之差的能量及n0有關(guān) 當(dāng)P s1 P s2 10或0 1時 Pe比先驗等概時略小 32 在A一定的情況下 先驗等概時的錯誤概率Pe最大 即 先驗等概對于差錯性能而言是一種最不利的情況 若先驗不等概 則得到的Pe比等概時略有下降 先驗分布是不易確知的 故實際中常常使用先驗等概的假設(shè) 并按圖8 5設(shè)計 最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu) 33 8 4 3二進(jìn)制確知信號的最佳形式 在先驗等概情況下 極限性能Pe可簡化為其中定義s1 t 和s2 t 之間的互相關(guān)系數(shù)為 8 4 22 E1 E2是信號s1 t 和s2 t 在0 t T期間的平均能量 34 E E1 E2 Eb 將Eb和 代入式 8 4 22 可得 當(dāng)s1 t 和s2 t 具有相等的能量時 有 與信噪比及發(fā)送信號之間的互相關(guān)系數(shù) 有關(guān) 即為發(fā)送信號先驗概率相等時 二進(jìn)制確知信號最佳接收機(jī)所能達(dá)到的最小誤碼率 35 當(dāng) 1時 Pe 為最大值 當(dāng) 0時 當(dāng) 1時 最小 因此使 1的信號是最佳信號 36 若s1 t 和s2 t 能量不相等 如E1 0 E2 Eb 0 發(fā)送信號s1 t 和s2 t 的平均能量為E Eb 2 在這種情況下 誤碼率表示式變?yōu)?由此畫出的Pe 關(guān)系曲線如圖中 所示 37 圖8 7二進(jìn)制最佳接收機(jī)誤碼率曲線 2PSK信號能使互相關(guān)系數(shù) 1 因此2PSK信號是最佳信號波形 2FSK和2ASK信號對應(yīng)的互相關(guān)系數(shù) 0 因此2PSK系統(tǒng)的誤碼率性能優(yōu)于2FSK和2ASK系統(tǒng) 2FSK信號是等能量信號 而2ASK信號是不等能量信號 因此2FSK系統(tǒng)的誤碼率性能優(yōu)于2ASK系統(tǒng) 38 對數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)誤碼率性能的分析可知 雙極性信號的誤碼率低于單極性信號 其原因之一就是雙極性信號之間的互相關(guān)系數(shù) 1 而單極性信號之間的互相關(guān)系數(shù) 0 39 8 5隨相信號的最佳接收機(jī) 確知信號是一種理想情況 實際信號帶有隨機(jī)參數(shù) 因而在檢測時除了噪聲會造成誤判決外 參量的未知性又增加了檢測錯誤的因素 隨相信號是一種典型且簡單的隨參信號 對于隨相信號最佳接收 與確知信號最佳接收的思路是一致的 但是 隨相信號最佳接收的問題顯得更復(fù)雜一些 最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)形式也比確知信號最佳接收機(jī)復(fù)雜 40 8 4 1隨相信號最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu) 隨相信號有多種形式 以隨機(jī)相位的2FSK信號為例進(jìn)行分析 設(shè)發(fā)送的兩個隨相信號為 1和 2是每一個信號的隨機(jī)相位參數(shù) 其取值在區(qū)間 0 2 上服從均勻分布 41 二者的能量相等接收波形y t s1 t 或s2 t n t 由于隨機(jī)相位 因此不能直接給出似然函數(shù)fs1 y 和fs2 y 但是可以先求出在給定相位 1和 2的條件下關(guān)于y t 的條件似然函數(shù)fs1 y 1 和fs2 y 2 即 42 其中 經(jīng)推導(dǎo)得 43 其中 44 最大似然函數(shù)準(zhǔn)則成為 比較fs1 y 和fs2 y 哪個大 比較和哪個大 比較和哪個大 45 隨相信號最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu) 46 8 6起伏信號的最佳接收 起伏信號 振幅服從瑞利分布 相位服從均勻分布 可看成是數(shù)字信號通過瑞利衰落 快衰落 信道后的信號 處理起伏信號的最佳接收 在原理和方法上 與隨相信號相同 起伏信號的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)和圖8 11給出的結(jié)構(gòu)相同 47 8 7普通接收機(jī)與最佳接收機(jī)的性能比較 對普通數(shù)字調(diào)制系統(tǒng)的分析中 分析所得的結(jié)果與本章對最佳接收機(jī)的分析結(jié)果在公式的形式上是一樣的 這就是說 普通接收系統(tǒng)的r r S N 與最佳接收系統(tǒng)的Eb n0相對應(yīng) 但公式形式相同不意味著接收性能相同 分析r和Eb n0的關(guān)系 48 設(shè) 輸入端加入相同的噪聲n t 和數(shù)字信號s t 時 n t 的單邊功率譜密度為n0 s t 的持續(xù)時間為T 其能量為Eb 實際接收系統(tǒng)總是首先要經(jīng)過帶通濾波 設(shè)濾波器的等效矩形帶寬為B 則信噪比r可表示為而最佳接收機(jī)的 49 實際的帶通濾波器帶寬B總是大于或等于1 T 上述分析表明 由于實際的帶通濾波器帶寬B總是大于或等于1 T 故在同樣的輸入條件下 普通接收系統(tǒng)的性能總是比最佳接收系統(tǒng)的差 這個差值 將取決于B與Eb n0的比值 50 8 8匹配濾波器 對最佳線性濾波器的設(shè)計有兩種準(zhǔn)則 一種是使濾波器輸出的信號波形與發(fā)送信號波形之間的均方誤差最小 最小差錯概率準(zhǔn)則 由此而導(dǎo)出的最佳線性濾波器稱為維納濾波器 另一種是使濾波器輸出信噪比在某一特定時刻達(dá)到最大 最大輸出信噪比準(zhǔn)則 由此而導(dǎo)出的最佳線性濾波器稱為匹配濾波器 在數(shù)字通信中 匹配濾波器具有更廣泛的應(yīng)用 51 8 8 1匹配濾波器的原理 輸入r t s t n t s t 為輸入數(shù)字信號 其頻譜函數(shù)為S n t 為高斯白噪聲 其雙邊功率譜密度為n0 2 52 將解調(diào)器中抽樣判決以前各部分電路用一個線性濾波器來等效 由數(shù)字信號的判決原理可知 抽樣判決器輸出數(shù)據(jù)是否正確 與濾波器輸出信號波形和發(fā)送信號波形之間的相似程度無關(guān) 與濾波器輸出信號波形的失真程度無關(guān) 而只取決于抽樣時刻信號的瞬時功率與噪聲平均功率之比 即信噪比 信噪比越大 錯誤判決的概率就越小 反之 信噪比越小 錯誤判決概率就越大 53 當(dāng)所選擇的濾波器傳輸特性使輸出信噪比達(dá)到最大值時 這種濾波器稱為輸出信噪比最大的最佳線性濾波器 設(shè)輸出信噪比最大的最佳線性濾波器的傳輸函數(shù)為H 濾波器輸入信號與噪聲的合成波為s t 為輸入數(shù)字信號 其頻譜函數(shù)為S n t 為高斯白噪聲 其雙邊功率譜密度為 54 濾波器H 是線性濾波器 滿足線性疊加原理 因此濾波器輸出也由輸出信號和輸出噪聲兩部分組成 即輸出信號的頻譜函數(shù)為So 對應(yīng)的時域信號為 濾波器輸出噪聲的平均功率為 55 在抽樣時刻t0 線性濾波器輸出信號的瞬時功率與噪聲平均功率之比為使輸出信噪比ro達(dá)到最大的傳輸函數(shù)H 就是所要求的最佳濾波器的傳輸函數(shù) 這是一個泛函求極值的問題 采用施瓦茲 Schwartz 不等式可以解決該問題 施瓦茲不等式為 X KY 等式才能成立 K為任意常數(shù) 56 令X H Y S ej t0可得 根據(jù)帕塞瓦爾定理有 式中 E為輸入信號的能量 57 線性濾波器所能給出的最大輸出信噪比為 根據(jù)施瓦茲不等式中等號成立的條件X KY 可得不等式 8 1 10 中等號成立的條件為H KS e j t0K為常數(shù) 通?？蛇x擇為K 1 S 是輸入信號頻譜函數(shù)S 的復(fù)共軛 H 就是所要求的最佳線性濾波器的傳輸函數(shù) 該filter在給定時刻t0能獲得最大輸出信噪比 58 這種濾波器的傳輸函數(shù)除相乘因子Ke j t0外 與信號頻譜的復(fù)共軛相一致 所以稱該濾波器為匹配濾波器 從匹配濾波器傳輸函數(shù)H 所滿足的條件 也可以得到匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)h t 59 即匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)為 匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)h t 是輸入信號s t 的鏡像函數(shù) t0為輸出最大信噪比時刻 對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng) 匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)h t 應(yīng)滿足 t 0t 0 必須有 t 0 即 t0 t 0或t t0 60 說明 對于一個物理可實現(xiàn)的匹配濾波器 其輸入信號s t 必須在它輸出最大信噪比的時刻t0之前結(jié)束 也就是說 若輸入信號在T時刻結(jié)束 則對物理可實現(xiàn)的匹配濾波器 其輸出最大信噪比時刻t0必須在輸入信號結(jié)束之后 即t0 T 對于接收機(jī)來說 t0是時間延遲 通常總是希望時間延遲盡可能小 因此一般情況可取t0 T 若輸入信號為s t 則匹配濾波器的輸出信號為為輸入信號s t 的自相關(guān)函數(shù) 表明 匹配濾波器的輸出波形是輸入信號s t 的自相關(guān)函數(shù)的K倍 61 因此 匹配濾波器可以看成是一個計算輸入信號自相關(guān)函數(shù)的相關(guān)器 其在t0時刻得到最大輸出信噪比romax 由于輸出信噪比與常數(shù)K無關(guān) 所以通常取K 1 例 設(shè)輸入信號如下 試求該信號的匹配濾波器傳輸函數(shù)和輸出信號波形 其他 62 63 匹配濾波器的傳輸函數(shù)為 匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)為 取t0 T 則有 解 1 輸入信號s t 的頻譜函數(shù)為 64 2 由式 8 1 21 可得匹配濾波器的輸出為 其他 匹配濾波器的輸出波形如圖8 3 c 所示 可見 匹配濾波器的輸出在t T時刻得到最大的能量 65 例 試求與射頻脈沖波形匹配的匹配濾波器之特性 并確定其輸出波形 66 令t0 最大信噪比時刻為 則 67 假設(shè) kT0k是整數(shù)T0為載頻周期則 68 69 8 8 2匹配濾波器的實現(xiàn) 矩形包絡(luò)信號的匹配濾波器LC諧振式動態(tài)濾波器模擬計算式動態(tài)濾波器數(shù)字濾波式動態(tài)濾波器聲表面波匹配濾波器 70 LC諧振式動態(tài)濾波器 7