乘法公式008.doc

乘法公式008 因式分解的應(yīng)用在一定的條件下，把一個代數(shù)式變換成另一個與它恒等的代數(shù)式稱為代數(shù)式的恒等變形，是研究代數(shù)式、方程和函數(shù)的基礎(chǔ) 因式分解是代數(shù)變形的重要工具在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，因式分解是學(xué)習(xí)分式、一元二次方程等知識的基礎(chǔ)，現(xiàn)階段因式分解在數(shù)值計算，代數(shù)式的化簡求值，不定方程(組)、代數(shù)等式的證明等方面有廣泛的應(yīng)用同時，通過因式分解的訓(xùn)練和應(yīng)用，能使我們的觀察能力、運算能力、變形能力、邏輯思維能力、探究能力得以提高 因此，有人說因式分解是學(xué)好代數(shù)的基礎(chǔ)之一 例題求解 【例1】若，則的值為 (全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)思路點撥 恰當處理兩個等式，分解關(guān)于的二次三項式注：在信息技術(shù)飛速發(fā)展的今天，信息已經(jīng)成為人類生活中最重要的因素在軍事、政治、商業(yè)、生活等領(lǐng)域中，信息的保密工作顯得格外重要現(xiàn)代保密技術(shù)的一個基本思想，在編制密碼的工作中，許多密碼方法，就來自于因數(shù)分解、因式分解技術(shù)的應(yīng)用 代數(shù)式求值的常用方法是： (1)代入字母的值求值； (2)通過變形，尋找字母間的關(guān)系，代入關(guān)系求值；(3)整體代入求值 【例2】已知 a、b、c是一個三角形的三邊，則的值( ) A恒正 B恒負C可正可負D非負 (大原市競賽題) 思路點撥 從變形給定的代數(shù)式入手，解題的關(guān)鍵是由式于的特點聯(lián)想到熟悉的結(jié)果，注意幾何定理的約束 【例3】計算下列各題： （1）； （2） 思路點撥 觀察分子、分母數(shù)字間的特點，用字母表示數(shù)，從一般情形考慮，通過分解變形，尋找復(fù)雜數(shù)值下隱含的規(guī)律 【例4】已知 n是正整數(shù)，且n416n2+100是質(zhì)數(shù)，求n的值 ( “希望杯邀請賽試題) 思路點拔 從因數(shù)分解的角度看，質(zhì)數(shù)只能分解成l和本身的乘積(也可從整除的角度看)，故對原式進行恰當?shù)姆纸庾冃?，是解本例的最自然的思?【例5】(1)求方程的整數(shù)解； (上海市競賽題) (2)設(shè)x、y為正整數(shù)，且，求的值 ( “希望杯”邀請賽試題) 思路點拔 觀察方程的特點，利用整數(shù)解這個特殊條件，運用因式分解或配方，尋找解題突破口鏈接 解題思路的獲得，一般要經(jīng)歷三個步驟： (1)從理解題意中提取有用的信息，如數(shù)式特點、圖形結(jié)構(gòu)特征等； (2)從記憶儲存中提取相關(guān)的信息，如有關(guān)公式、定理、基本模式等； (3)將上述兩組信息進行進行有效重組，使之成為一個舍乎邏輯的和諧結(jié)構(gòu)不定方程(組)的基本解法有： (1)枚舉法； (2)配方法；(3)因數(shù)分解、因式分解法； (4)分離系數(shù)法運用這些方法解不定方程時，都需靈活運用奇數(shù)偶數(shù)、質(zhì)數(shù)合數(shù)、整除等與整數(shù)相關(guān)的知識學(xué)力訓(xùn)練 1已知x+y3，那么的值為 2方程的整數(shù)解是 ( “希望杯”邀請賽試題) 3已知a、b、c、d為非負整數(shù)，且ac+bd+ad+bc=1997，則a+b+c+d 4對一切大于2的正整數(shù)n，數(shù)n5一5n3+4n的量大公約數(shù)是 (四川省競賽題)5已知7241可被40至50之間的兩個整數(shù)整除，這兩個整數(shù)是( ) A41，48 B45，47 C43，48 D4l，47 6，已知2x23xy+y20(xy0)，則的值是( ) A 2， B2 C D2，7a、b、c是正整數(shù)，ab，且a2-ac+bc=7，則ac等于( ) A一2 B一1 C0 D 2 (江蘇省競賽題) 8如果，那么的值等于( ) A1999 B2001 C2003 D2005 （武漢市選拔賽試題）9(1)求證：8l7一279913能被45整除； (2)證明：當n為自然數(shù)時，2(2n+1)形式的數(shù)不能表示為兩個整數(shù)的平方差； （3）計算：10若a是自然數(shù)，則a43a+9是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)?給出你的證明(“五城市”聯(lián)賽題) 11已知a、b、c滿足a+b5，c2ab+b9，則c (江蘇省競賽題)12已知正數(shù)a、b、c滿足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c，則(a+1)(b+1)(c+1)= (北京市競賽題)13整數(shù)a、b滿足6ab9al0b+303，則a+b= (“祖沖之杯”邀請賽試題)14已知，且，則的值等于 ( “希望杯”邀請賽試題)15設(shè)abcd，如果x=(ab)(cd)，y=(a+c)(b+d)，z(a+d)(b+c)，那么x、y、z的大小關(guān)系為( ) Axyz B yzx Cz xb，且，a、b 為自然數(shù)，求a、b的值21已知a、b、c是ABC的三邊長，且滿足，試求ABC的面積22某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個檔次，生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品，每件獲利潤8元，每提高一個檔次，每件產(chǎn)品利潤增加2元用同樣工時，最低檔次產(chǎn)品每天可生產(chǎn)60件，提高一個檔次將減少3件如果獲利潤最大的產(chǎn)晶是第k檔次(最低檔次為第一檔次，檔次依次隨質(zhì)量增加)，求k的值 (山東省競賽題)第十八講 乘法公式 乘法公式是在多項式乘法的基礎(chǔ)上，將多項式乘法的一般法則應(yīng)用于一些特殊形式的多項式相乘，得出的既有特殊性、又有實用性的具體結(jié)論，在復(fù)雜的數(shù)值計算，代數(shù)式的化簡求值、代數(shù)式的恒等變形、代數(shù)等式的證明等方面有著廣泛的應(yīng)用，在學(xué)習(xí)乘法公式時，應(yīng)該做到以下幾點： 1熟悉每個公式的結(jié)構(gòu)特征，理解掌握公式； 2根據(jù)待求式的特點，模仿套用公式； 3對公式中字母的全面理解，靈活運用公式；4既能正用、又可逆用且能適當變形或重新組合，綜合運用公式例題 【例1】 (1)已知兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差為2000，則這兩個連續(xù)奇數(shù)可以是 (江蘇省競賽題) (2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= (重慶市競賽題) 思路點撥 (1)建立兩個連續(xù)奇數(shù)的方程組；(2)視(2000一a)(1998一a)為整體，由平方和想到完全平方公式及其變形 注：公式是怎樣得出來的?一種是由已知的公式，通過推導(dǎo)，得到一些新的公式；另一種是從大量的特殊的數(shù)量關(guān)系入手，并用字母表示數(shù)來揭示一類數(shù)量關(guān)系的一般規(guī)律一公式 從特殊到一般的過程是人類認識事物的一般規(guī)律，而觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律最常用的方法 乘法公式常用的變形有： (1)， (2)； (3) ； （4），【例2】 若x是不為0的有理數(shù)，已知，則M與N的大小是（ ）AMN B M0，bo)，丙商場：第一次提價的百分率為b，第二次提價的百分率為a，則哪個商場提價最多?說明理由 (河北省競賽題) 思路點拔 對于(1)，(2)兩個未知數(shù)一個等式或不等式，須運用特殊方法與手段方能求出x、y的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解題的關(guān)鍵是拆項與重組；對于(3)把三個商場經(jīng)兩次提價后的價格用代數(shù)式表示，作差比較它們的大小注： 有些問題常常不能直接使用公式，而需要創(chuàng)造條件，使之符合乘法公式的特點，才能使用公式常見的方法是：分組、結(jié)合，拆添項、字母化等 完全平方公式逆用可得到兩個應(yīng)用廣泛的結(jié)論： (1)； 揭示式子的非負性，利用非負數(shù)及其性質(zhì)解題 (2)應(yīng)用于代數(shù)式的最值問題 代數(shù)等式的證明有以下兩種基本方法：(1) 由繁到簡，從一邊推向另一邊； (2)相向而行，尋找代換的等量 【例5】 已知a、b、c均為正整數(shù)，且滿足，又a為質(zhì)數(shù) 證明：(1)b與c兩數(shù)必為一奇一偶； (2)2(a+b+1)是完全平方數(shù)思路點撥 從的變形入手；，運用質(zhì)數(shù)、奇偶數(shù)性質(zhì)證明學(xué)力訓(xùn)練1觀察下列各式： (x一1)(x+1)x2一l； (x一1)(x2+x+1)=x3一1； (x一1)(x3十x2+x+1)=x4一1 根據(jù)前面的規(guī)律可得(x一1)(x n+x n-1+x+1)= (武漢市中考題)2已知，則= (杭州市中考題)3計算： (1)1.23452+0.76552+2.4690.7655： ； (2)19492一19502+19512一19522+19972一19982+19992 = ； (3) 4如圖是用四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請利用圖中空白部分的面積的不同表示方法寫出一個關(guān)于a、b的恒等式 (大原市中考題)5已知，則= (菏澤市中考題)6已知，則代數(shù)式的值為( ) A一15 B一2 C一6 D6 (揚州市中考題)7乘積等于( )A B C D (重慶市競賽題)8若，則的值是( ) A4 B20022 C 22002 D420029若，則的個位數(shù)字是( ) A1 B3 C 5 D710如圖，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形(ab)，把余下的部分剪拼成一個矩形(如圖)，通過計算兩個圖形(陰影部分)的面積，驗證了一個等式，則這個等式是( )A BC D (陜西省中考題)11(1)設(shè)x+2z3z，試判斷x2一9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否則請說明理由 (2)已知x2一2x=2，將下式先化簡，再求值：(x1)2+(x+3)(x一3)+(x一3)(x一1) (上海市中考題)12一個自然數(shù)減去45后是一個完全平方數(shù)，這個自然數(shù)加上44后仍是一個完全平方數(shù)，試求這個自然數(shù)13觀察： (1)請寫出一個具有普遍性的結(jié)論，并給出證明； (2)根據(jù)(1)，計算2000200120022003+1的結(jié)果(用一個最簡式子表示) (黃岡市競賽題)14你能很快算出19952嗎? 為了解決這個問題，我們考察個位上的數(shù)字為5的自然數(shù)的平方，任意一個個位數(shù)為5的自然數(shù)可寫成l0n+5(n為自然數(shù))，即求(10n+5)2的值，試分析 n=1，n=2，n3這些簡單情形，從中探索其規(guī)律，并歸納猜想出結(jié)論(1)通過計算，探索規(guī)律 152225可寫成1001(1+1)+25；252=625可寫成1002(2+1)+25；352=1225可寫成100 3(3+1)+25；4522025可寫成1004(4+1)+25；7525625可寫成 ；8527225可寫成 (2)從第(1)題的結(jié)果，歸納、猜想得(10n+5)2= (3)根據(jù)上面的歸納猜想，請算出19952 (福建省三明市中者題)15已知，則= (天津市選拔賽試題)16(1)若x+y10，x3+y3=100，則x2+y2 (2)若a-b=3，則a3-b3-9ab 171，2，3，98共98個自然數(shù)中，能夠表示成兩整數(shù)的平方差的個數(shù)是 (全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)18已知a-b=4，ab+c2+4=0，則a+b=( ) A4 B0 C2 D 一219方程x2-y2=1991，共有( )組整數(shù)解 A6 B7 C8 D920已知a、b滿足等式，則x、y的大小關(guān)系是( ) Axy Bxy Cxy (大原市競賽題)21已知a=1999x+2000，b1999x+2001，c1999x+2002，則多項式a2+b2+c2一abbc-ac的值為( ) A0 B1 C2 D3 (全國初中數(shù)學(xué)競賽題)22設(shè)a+b=1，a2+b2=2，求a7+b7的值 (西安市競賽題)23已知a滿足等式a2-a-1=0，求代數(shù)式的值 (河北省競賽題)24若，且，求證： (北京市競賽題)25有l(wèi)0位乒乓球選手進行單循環(huán)賽(每兩人間均賽一場)，用xl，y1順次表示第一號選手勝與負的場數(shù)；用x2，y2順次表示第二號選手勝與負的場數(shù)；用x10、y10順次表示十號選手勝與負的場數(shù) 求證：26（1）請觀察： 寫出表示一般規(guī)律的等式，并加以證明 (2)2652+12，53=72+22，2653=1378，1378=372+32 任意挑選另外兩個類似26、53的數(shù)，使它們能表示成兩個平方數(shù)的和，把這兩個數(shù)相乘，乘積仍然是兩個平方數(shù)的和嗎?你能說出其中的道理嗎? 注：有人稱這樣的數(shù)“不變心的數(shù)”數(shù)學(xué)中有許多美妙的數(shù)，通過分析，可發(fā)現(xiàn)其中的奧秘 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉曾對26(2)的性質(zhì)作了更進一步的推廣他指出：可以表示為四個平方數(shù)之和的甲、乙兩數(shù)相乘，其乘積仍然可以表示為四個平方數(shù)之和即(a2+b2+c2十d2)(e2+f2+g2+h2)=A2+B2+C2+D2這就是著名的歐拉恒等式 參考答案第十七講 整式的乘法與除法 指數(shù)運算律是整式乘除的基礎(chǔ)，有以下4個：，學(xué)習(xí)指數(shù)運算律應(yīng)注意： 1運算律成立的條件； 2運算律字母的意義：既可以表示一個數(shù)，也可以是一個單項式或者多項式； 3運算律的正向運用、逆向運用、綜合運用 多項式除以多項式是整式除法的延拓與發(fā)展，方法與多位數(shù)除以多位數(shù)的演算方法相似，基本步驟是： 1將被除式和除式按照某字母的降冪排列，如有缺項，要留空位； 2確定商式，豎式演算式，同類項上下對齊；3演算到余式為零或余式的次數(shù)小于除式的次數(shù)為止例題 【例1】 (1)如果，則 ( “希望杯”邀請賽試題) (2)把(x2一x+1)6展開后得，則 (“祖沖之杯”邀請賽試題) 思路點撥 (1)把高次項用低次多項式表示；(2)我們很難將(x2一x+1)6的展開式寫出，因此想通過展開式去求出每一個系數(shù)是不實際的，事實上，上列等式在x的允許值范圍內(nèi)取任何一個值代入計算，等式都成立，考慮用賦值法解 注： 一般地，被除式、除式、商式和余式之間有下面的關(guān)系式： 被除式除式商式+余式 特別地，當余式為零時，稱除式能整除被除式在解數(shù)學(xué)題時，將問題中的某些元素用適當?shù)臄?shù)表示，再進行運算、推理解題的方法叫賦值法，用賦值法解題有兩種類型： (1)常規(guī)數(shù)學(xué)問題中，恰當?shù)貙ψ帜溉≈担喕忸}過程；(2)非常規(guī)數(shù)學(xué)問題通過賦值，把問題“數(shù)學(xué)化” 【例2】 已知，則等于( ) A2 B1 C D ( “希望杯”邀請賽試題) 思路點撥 因為指數(shù)，我們目前無法求出的值，其實只需求出的值或它們的關(guān)系，自然想到指數(shù)運算律 【例3】 設(shè)都是自然數(shù)，且，求d一b的值 (上海市普陀區(qū)競賽題) 思路點撥 設(shè)，這樣可用m的式子表示可用n的式子表示，減少字母的個數(shù)，降低問題的難度 【例4】求A、B的值 思路點撥 等號左右兩邊的式子是恒等的，它們的對應(yīng)項系數(shù)對應(yīng)相等，從而可以通過比較對應(yīng)項系數(shù)來解 【例5】 是否存在常數(shù)p、q使得能被整除?如果存在，求出p、q的值，否則請說明理由 思路點拔 由條件可推知商式是一個二次三項式(含待定系數(shù))，根據(jù)“被除式=除式商式”，運用待定系數(shù)法求出p、q的值，所謂p、q是否存在，其實就是關(guān)于待定系數(shù)的方程組是否有解 注 運用指數(shù)運算率解題，應(yīng)注意以下幾點： (1)善于變異底為同底； (2)適當?shù)貙σ阎仁竭M行運算處理，從整體上解決問題 所謂恒等式，就是指不論用任意數(shù)值來代替式中的字母左右兩邊的值都相等的等式 如果兩個多項式恒等，那么，這兩個多項式的對應(yīng)項系數(shù)一定對應(yīng)相等 待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要方法，在有關(guān)整式的恒等變形的解題中經(jīng)常用到，運用此方法解題的一般步驟是： (1)根據(jù)多項式之間的次數(shù)關(guān)系，設(shè)出一個恒等式，其中有幾個待定系數(shù)； (2)比較對應(yīng)項的系數(shù)，列出方程組；(3)解方程組，求出待定系數(shù)的值學(xué)力訓(xùn)練1如圖，是某住宅的平面結(jié)構(gòu)示意圖，圖中標注了有關(guān)尺寸(墻體厚度忽略不計，單位：米)房的主人計劃把臥室以外的地面都鋪上地磚，如果他選用地磚的價格是a元米2，則買磚至少需要 元(用含a、x、y的代數(shù)式表示)(河北省中考題)2若2x+5y3=0，則4x32y (紹興市競賽題)3滿足(x1)2003200的x的最小正整數(shù)為 (2003年武漢市選拔賽試題)4都是正數(shù)，且，則中，最大的一個是 (“英才杯”競賽題)5化簡得（ ） A B C D (年IT杯全國初中數(shù)學(xué)競賽題)6已知，那么從小到大的順序是( )Aabcd Babdc C bacd Dadbbcd Babdc C bacd Dadbc(北京市“迎春杯”競賽題)17已知均為正數(shù)，又M，N，則M與N的大小關(guān)系是( )AM=N BMN D關(guān)系不確定18若，則的值等于( ) A1997 B1999 C2001 D2003 (北京市競賽題)19已知關(guān)于x的整系數(shù)二次三項式ax2十bx+c當x取1，3，6，8時，某同學(xué)算得這個二次三項式的值分別為l，5，25，50經(jīng)檢驗，只有一個結(jié)果是錯誤的，這個錯誤的結(jié)果是( )A當x=1時，ax2十bx+c=1 B當x3時，ax2十bx+c=5C當x=6時，ax2十bx+c=25 D當x8時，ax2十bx+c=5020已知3x2-x-1=0，求6x3十7x2一5x+1999的值21已知a是方程的一個根，試求代數(shù)式的值22已知，求證：(a一1)(d1)=(b一1)(c一1)23是否存在整數(shù)滿足？若存在，求出的值；若不存在，說明理由24當自然數(shù)n的個位數(shù)分別為0，1，2，9時，n2，n3，n 4，n 5的個位數(shù)如表所示n的個位數(shù)0123456789n2的個位數(shù)0149656941n3的個位數(shù)0187456329n4的個位數(shù)0161656l61n5的個位數(shù)0l23456789 (1)從所列的表中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律? (2)若n為自然數(shù)，和數(shù)1981n+1982 n+1983 n+1984 n不能被10整除，那么n必須滿足什么條件?參考答案第三講 因式分解的應(yīng)用在一定的條件下，把一個代數(shù)式變換成另一個與它恒等的代數(shù)式稱為代數(shù)式的恒等變形，是研究代數(shù)式、方程和函數(shù)的基礎(chǔ) 因式分解是代數(shù)變形的重要工具在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，因式分解是學(xué)習(xí)分式、一元二次方程等知識的基礎(chǔ)，現(xiàn)階段因式分解在數(shù)值計算，代數(shù)式的化簡求值，不定方程(組)、代數(shù)等式的證明等方面有廣泛的應(yīng)用同時，通過因式分解的訓(xùn)練和應(yīng)用，能使我們的觀察能力、運算能力、變形能力、邏輯思維能力、探究能力得以提高 因此，有人說因式分解是學(xué)好代數(shù)的基礎(chǔ)之一 例題求解 【例1】若，則的值為 (全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)思路點撥 恰當處理兩個等式，分解關(guān)于的二次三項式注：在信息技術(shù)飛速發(fā)展的今天，信息已經(jīng)成為人類生活中最重要的因素在軍事、政治、商業(yè)、生活等領(lǐng)域中，信息的保密工作顯得格外重要現(xiàn)代保密技術(shù)的一個基本思想，在編制密碼的工作中，許多密碼方法，就來自于因數(shù)分解、因式分解技術(shù)的應(yīng)用 代數(shù)式求值的常用方法是： (1)代入字母的值求值； (2)通過變形，尋找字母間的關(guān)系，代入關(guān)系求值；(3)整體代入求值 【例2】已知 a、b、c是一個三角形的三邊，則的值( ) A恒正 B恒負C可正可負D非負 (大原市競賽題) 思路點撥 從變形給定的代數(shù)式入手，解題的關(guān)鍵是由式于的特點聯(lián)想到熟悉的結(jié)果，注意幾何定理的約束 【例3】計算下列各題： （1）； （2） 思路點撥 觀察分子、分母數(shù)字間的特點，用字母表示數(shù)，從一般情形考慮，通過分解變形，尋找復(fù)雜數(shù)值下隱含的規(guī)律 【例4】已知 n是正整數(shù)，且n416n2+100是質(zhì)數(shù)，求n的值 ( “希望杯邀請賽試題) 思路點拔 從因數(shù)分解的角度看，質(zhì)數(shù)只能分解成l和本身的乘積(也可從整除的角度看)，故對原式進行恰當?shù)姆纸庾冃?，是解本例的最自然的思?【例5】(1)求方程的整數(shù)解； (上海市競賽題) (2)設(shè)x、y為正整數(shù)，且，求的值 ( “希望杯”邀請賽試題) 思路點拔 觀察方程的特點，利用整數(shù)解這個特殊條件，運用因式分解或配方，尋找解題突破口鏈接 解題思路的獲得，一般要經(jīng)歷三個步驟： (1)從理解題意中提取有用的信息，如數(shù)式特點、圖形結(jié)構(gòu)特征等