整體把握與實施高中函數概念教.doc

整體把握與實施高中函數概念教函數概念是中學數學的核心概念，在新課程理念下立足高中數學教學的整體，深入研究函數概念教學具有理論和實踐的價值基于學生對函數概念認識和領悟的歷程較長，需多次反復和不斷深化的實際，以及以往教學中存在的忽略學生認知基礎、過快地呈現函數形式化定義、脫離函數概念相對孤立地研究函數性質和具體函數等問題，本文提出要站在數學教學整體的高度，宏觀把握學生在不同學段對函數認識的層次，緊緊抓住教學中多次認識和理解函數概念的機會，不是停留在概念表層，而是凸現概念的本質屬性，不斷深化學生對函數概念的理性認識為此，本文分析了高中學生學習函數概念的認知基礎和思維水平；細化了立足概念本質關注概括過程的函數概念教學；提出了函數性質教學中回歸函數概念的關鍵；指出了具體函數教學中加深理解函數概念的方法；最后，舉例說明解決有關函數問題可促進函數概念的進一步深化一、由學生認知基礎定位高中函數概念教學學生對函數的認識可以追溯到小學，那時，他們主要感受了“對應”和“關系”在初中，學生學習實數、代數式、方程和不等式，感受了“對應”和“變量間的關系”，潛移默化地研究了函數的局部性質，這些都為建立函數的描述性定義奠定了基礎，學生在初二年級正式學習函數概念，根據認知年齡特點，初中學生更容易從觀察變量的角度認識函數，看到當一個量變化時，往往影響（或伴隨）另一個量的變化雖然此時的函數概念中已經蘊含了對應的本質，但是，作為初中的學生更關注變化，他們很自然地把變化作為函數最重要的特征，把函數概念緊緊地與“變化”、“表達式”聯系在一起我們了解了高一學生繼續(xù)深入學習函數概念的知識基礎：有一次函數等一些具體函數的例證，知道它們的解析式和圖象，對函數概念的認識多數處在感性認識階段經驗基礎是：了解函數在實際中應用廣泛，對函數能描述客觀世界某些變化規(guī)律有初步認識思維水平是：雖然從形象思維逐步過渡到邏輯思維階段，但剛進入高中，還要從經驗型的邏輯思維向辯證邏輯思維發(fā)展為此，在高中函數概念教學中，我們要客觀地面對學生的思維水平和對函數概念處于較淺層次認識的實際，站在數學教學整體的高度，不失時機地幫助學生在已有認知基礎上不斷提高他們對抽象的函數概念的認識和理解，把“對應法則”作為函數概念的核心，理解定義域對于刻畫函數的重要作用，能用多種方式表示函數，善于發(fā)揮圖形在認識和理解函數概念中的作用，引導學生在研究函數性質、具體函數、函數應用中，多次回歸函數概念本原，反復體會，逐步加深對這一概念的理性認識二、在函數概念教學中細化概括過程概念教學的核心是“概括”：將凝結在數學概念中的數學家的思維活動打開，以若干典型具體事例為載體，引導學生展開分析各事例屬性、抽象概括本質屬性、歸納得出概念等思維活動而獲得概念1. 豐富函數概念的背景，關注問題情境的設置在高中函數概念新課中教師創(chuàng)設怎樣的問題情境？追尋函數概念歷史發(fā)展的軌跡，始終遵循人的認知過程，是先有函數定義的變量說，后來認識到變量概念難以精確化，因變量如何“依賴”自變量，也沒有細化，對函數的認識需要進一步深化，繼而出現了函數定義的對應說歷史上認識函數概念的“漸進性”給教學帶來啟示，問題情境設置關注兩點：一是讓學生自然地銜接初中學過的函數概念；二是讓學生從豐富實例中產生認知沖突，感到再次學習函數概念的必要性例如，用幾何畫板演示一個變化的圓一個半徑不斷增大的圓的運動過程在學生觀察圓的變化時，提出問題：這個運動變化過程中有哪些變量？哪些變量之間存在依賴關系？這些依賴關系是函數嗎？學生發(fā)現了變量間的關系 ， (半徑 ，面積 ,周長 )，喚起他們對初中學過的函數概念的回憶然后，教師繼續(xù)提供給學生一些認識函數的感性材料：2. 增加學生的感性認識，重視概念本質屬性的抽象過程介紹表示函數的符號 是讓學生再次體會函數對應本質的良好時機，可以調整板書 的順序：在黑板上先寫“ ”，然后寫“ ”（剛才的 被括在括號內），最后在 前寫“ ”，一邊板書一邊口述函數定義，通過動態(tài)板書和口頭強化會加深學生對符號 內涵的理解再通過舉例 與 是同一個函數，讓學生感受到它們定義域，對應法則都相同，得出值域也相同，用哪個字母表示解析式中自變量并不是本質的為了加深學生對定義域在刻畫函數中意義的理性認識，可以引導學生分析，在函數 中， 與 的地位不同， 的變化起絕對性作用， 處于從屬地位，函數的值域是由定義域和對應法則所決定的，除對應法則外，定義域是描述函數的另一個基本要素可以通過具體例子（如， 與 是不同的函數）來豐富學生對定義域在刻畫函數中作用的感性認識3. 突出圖形語言的作用，強化對概念本質的理解從前面的調查中我們知道，學生對函數表示方式印象最深的是解析式，其實，在一種表示法中看似理解了概念并不意味著在另一種表示法中也理解了概念，教學中可突出圖形語言對理解函數概念的作用，從“形”的角度強化對概念本質的理解在學生知道函數定義后，不能過早地盲目應用概念，為了讓學生更加清晰地把握概念本質特征“對應”，可以讓學生舉出更多的不同于課堂呈現的函數的正例，用圖象表示在學生對函數概念有了一定理解的基礎上，教師舉出反例讓學生進行概念的辨析三、在函數性質教學中不斷回歸函數概念研究函數性質離不開函數概念的支撐，要克服孤立地就性質論性質的傾向，在研究如何刻畫函數變化規(guī)律的過程中不斷回歸函數概念，真正完成函數概念的初步建立1. 由函數圖象上點的變化規(guī)律回歸函數概念研究函數的單調性、奇偶性都離不開其非常直觀的形象函數圖象，數形結合是研究函數性質的重要方法然而，從直觀的函數圖象特征提升到用抽象的函數表達式表示性質有很大的思維跨度，需要給學生搭建一個從直觀到抽象，從宏觀到微觀，從描述到刻畫的平臺圖象是由點構成的，圖象上任意一點的坐標 是由自變量 ，以及按照確定的對應法則 ，得到唯一確定的與其對應的函數值 構成的，研究圖象上點的坐標變化規(guī)律實質上是在研究自變量變化特征和函數值變化特征，由此可揭示函數的變化規(guī)律2. 揭示定義域對于刻畫函數性質的作用函數定義域是函數三要素中除了對應法則外的基本要素，定義域在刻畫函數的單調性和奇偶性中不容忽視例如，函數奇偶性刻畫的是在定義域上的整體性質，任取 ，都有 或 成立，說明這個性質是在定義域上的整體性質而非局部性質，對定義域 內的任意一個 ，都有 ，也就是 有意義， ， 同屬于定義域 ，定義域關于原點對稱再如，函數單調性是函數的局部性質，單調性是在單調區(qū)間上具有的，離開了相應的區(qū)間就談不上單調性對于某個具體函數來說，單調區(qū)間可以是整個定義域，可以是定義域的一部分，也可以沒有單調區(qū)間可以通過對常見錯誤（如反比例函數在它的定義域上是減函數）的分析加深理解四、在具體函數教學中加深對函數概念的理解函數概念是從大量具體函數例子中抽象概括的，如果沒有豐富的具體函數的實例，函數概念也成了無源之水，無本之木每一個具體函數又是非常鮮活、生動的函數實例，它具有函數的共性研究具體函數需要以函數概念為指導，同時，通過對具體函數的學習又可以加深對函數一般概念的理解和掌握1. 用概念同化的方式學習具體函數概念數學概念的學習方式主要有兩種，即概念形成和概念同化冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等具體函數是“函數”的下位概念，可以用概念同化的方式學習.教學中最重要的是引導學生善于遷移函數概念的本質，用對應的觀點描述該具體函數，指出其對應法則、定義域、值域同時，兼顧具體函數的特殊性，其特有的對應法則，相應的定義域、值域，特有的函數性質，函數圖象等，以此來再次充實函數的例證，豐富對函數概念的理解2. 函數模型的實際背景是函數概念背景的具體化每個基本初等函數都有其豐富的實際背景，每個基本初等函數模型都簡潔地刻畫了一類客觀世界變化規(guī)律聯系學生已有生活經驗，呈現他們熟悉的實際背景是對函數概念背景的具體化再現例如，指數函數的實際背景有：細胞分裂，細菌繁殖，復利計算，物質衰變，這些現象在一定條件下其數量與時間（或次數）的關系都是按指數規(guī)律增長的，可以用指數函數模型 刻畫如果研究細胞分裂次數與個數的關系，物質衰變年數與該物質含量的關系，就可以用對數函數模型 來刻畫冪函數的實際背景有：正方形的面積與邊長的關系，正方體的體積與棱長的關系，某段時間走了單位路程，速度與時間的關系等，可以分別用冪函數模型 等來刻畫三角函數的實際背景有：圓上一點的勻速圓周運動、彈簧振子、單擺、波浪、潮汐等這些各具特點的實際背景再次豐富了學生認識函數概念的原有背景3. 對應法則是聯系新舊概念的橋梁奧蘇伯爾的認知同化論把學習解釋為學習者利用原有認知結構中與新學習知識有關的觀念去同化新知識，將知識納入認知結構，并對其進行改組和再構，形成新的認知結構的過程實現認知同化的最佳方式是有意義學習，其實質是新學習的知識與認知結構中有關內容存在某種合理的或邏輯基礎上的聯系4在具體函數的教學中，我們要明確學生對即將學習的具體函數與他們已有概念間的聯系，特別關注聯系新舊概念的橋梁是每一個具體的對應法則，為學習新的概念找到“同化”和“順應”的基礎例如，對數函數的概念是建立在函數概念、對數與對數運算、指數函數等概念基礎上的一個新概念函數概念具有統領作用，可以指導對數函數的學習；研究指數函數的經驗可以遷移；對數與對數運算是此具體函數對應法則的具體化在諸多合理的或有邏輯的聯系中，對應法則求對數是聯系新舊概念的橋梁，教學中可以利用細胞分裂的實例，建立細胞分裂次數與細胞個數之間的對應關系，其定義域、值域完全可以從分析指數函數中得到，研究方法也可以類比指數函數的研究方法4. 用對應的觀點理解具體函數在冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等具體函數的學習過程中，仍然要突出函數的三要素，核心是對應法則五、在解決問題的過程中進一步深化函數概念有關函數的常見問題一般有兩類：一類是數學中有關函數的問題，包括單純的函數問題和函數與其它知識交匯的問題；另一類是建立函數模型解決實際問題靈活解決有關函數問題可以促進對函數概念的進一步深化1. 在解決數學問題的過程中把握函數概念本質研究函數三要素、性質、圖象是常見的問題，問題中所給函數的形式往往更為復雜或更為抽象，如給出的函數是分段函數、由一些基本初等函數經過四則運算得到的函數、復合函數、含有字母的函數、抽象函數等，雖然函數形式發(fā)生了很多變化，但它畢竟是非本質變化，對應的本質不會改變從“形”的角度觀察，兩個圖形都關于原點對稱，左圖中，當 時，與它對應的值有兩個 ，這不是函數圖象，此圖可以加深對函數概念的理解從“數”的角度抽象函數性質，右圖所描述的函數是奇函數，容易求得其解析式 ，證明它是奇函數則需要理解奇函數的本質先觀察其定義域關于原點對稱，然后，分類討論 以及