華中師范大學常微分習題.doc

習 題 821.證明：線性方程零解的漸近穩(wěn)定性等價于它的全局漸近穩(wěn)定性證 只需證 的零的解漸近穩(wěn)定的零解全局漸近穩(wěn)定。事實上，只需證：若 ，當且則對一切有 同為 所以 當 故對任何解 有 故得讓 解 方程滿足初值條件 的解為 (1) 當, 存在,故當 是有界的,設它的界為M,即當 于是對,取,則當時,有 所方議程的零解是穩(wěn)定的.反之,若方程的零解是穩(wěn)定的,容易推出 (2)當時, .同而當時,是有界的,即存在 時,有于是對,取.則當時, 就有 ,且 所以方程的零解的是穩(wěn)定的. 反之,若方程的零解是漸近穩(wěn)定的,容易推出.3.對于極坐標下的方程.Q=1, 試做出原點附近的排圖,并研究平均衡點 的穩(wěn)定性質.解 是方程的一個奇點,它的特解族 K=1, 2,是以為半徑以(0,0)為圓心的同心圓族,逆時針運行.在內部,無窮多個同心圓軌道中.相鄰兩個同心圓之間的環(huán)域出發(fā)的軌道亦繞(0,0)逆時針旋轉 且 時, , 時, .,.其中，由每個環(huán)域的軌線之向徑是嚴格單調函數(shù)，所以除外，已無別拼閉軌。顯然，平衡點是穩(wěn)定的，但不是漸近穩(wěn)定的。4.設二階常系數(shù)線性方程式 其中A是一個22的常短陣，記(短陣A的跡反號) （短陣A的行列式）再設，試證：（1）當，零解是漸近穩(wěn)定的；（2）當時，零解是穩(wěn)定的，但不是漸近穩(wěn)定的；（3）在其他情形下，零解都是不穩(wěn)定的。證 設線性方程為則特征方程為 記 則變?yōu)?特征根為 于是（1）當， 故由定理8.0， 1）知零解是漸近穩(wěn)定的2）當且 時， 或且時，顯然特征根所對應的若當塊都是一階的，故由定理8.1 2)知,零解是穩(wěn)定的。3）在其他情形下，即。不論取何值，特征根中至少有一個實部為正，或，故特征根至少有一個為正實根，又由，所以不會出現(xiàn)，故由定理8.1 3)知,零解都是不穩(wěn)定的。5討論二維方程 的零解的穩(wěn)定性，其中函數(shù)在（0，0）點附近是連續(xù)可微的。解 因為在（0，0）點附近是連續(xù)可微的。從而方程的右端也是連續(xù)可微的，因而原方程組的由初始條件所確定的解，在原點的某個領域內存在且惟一，是方和組的特解，取，則其通過方程組的全導數(shù) 因此，在原點的領域內如，則定負零解為漸近穩(wěn)定；如，則定正，零解為不穩(wěn)定；如則，則常負，零解為穩(wěn)定。6設函數(shù)連續(xù)，且.當.試證方程 的零解是穩(wěn)定的,但不是漸近穩(wěn)定的.證 令,則原方程可化為與之等價的方程但 取定正函數(shù) (由條件知,它是定正函數(shù)).其中 ,當時, ,則有故由定理8.4知.方程組的零解是穩(wěn)定的,但不漸近穩(wěn)定。7討論下列方程零解的穩(wěn)定性1) ,2) , 3) , 4) , 解1）取定正函數(shù)散 ,則 常負，故方程組的零解是穩(wěn)定的。2）取定正函數(shù) 則定負，故方程組的零解是4) , 解1）取定正函數(shù)散 ,則 常負，故方程組的零解是穩(wěn)定的。2）取定正函數(shù) 則 定負，故方程組的零解是漸近穩(wěn)定的。3）取定正函數(shù) 則當時， 定負，故零解是漸近穩(wěn)定的。4）取 則 由此可知，是正定函數(shù)，而是變號函數(shù)，所以方程組的零解是不穩(wěn)定的。習 題 831.判斷下列方程的奇點（0，0）的類型，并作出該奇點的附近的相圖：1）；2） ；3） ；4） ；解 1）0（0，0）為系統(tǒng)的惟一奇點,特征方程為 特征根 ,實部，故奇點為中心點。2該系統(tǒng)的一次近似系統(tǒng)為 ， 特征方程 特征根 為大于零的相異的實數(shù)，所以一次近系統(tǒng)的奇點0（0，0）是不穩(wěn)定兩向結點。又 當；、在原點的一個小領域內對連續(xù)可微，故由定理8.6知,原系統(tǒng)的奇點0(0.0)也是不穩(wěn)定兩向結點。3）令系統(tǒng)右端等于零，得 求得惟一奇點0（0.0）.將與分別在按泰勒分式展開得其中滿足定理8.6的條件,上述系統(tǒng)的一次系統(tǒng)為特征方程 特征方程因而一次近似系統(tǒng)的奇點0(0.0)為鞍點,由定理8.6知,原系統(tǒng)的奇點0(0.0)也是鞍點。4）原系統(tǒng)可寫為 其中 。 它的一次近似系統(tǒng)特征方程為 特征根 由于。 故矩陣的標準列為所以一次近似系統(tǒng)的奇點0（0，0）是不穩(wěn)定的單向結點，又，當，故由定理8.6知,原系統(tǒng)的奇點0(0,0)也是不穩(wěn)定的單向結點。2.設函數(shù)在單連通區(qū)域口內連續(xù)可微，且，當。試證系統(tǒng)，在口內不存在閉軌線。 證：反讓法、若不然，設原方程但有一