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解析幾何一、填空題1.(2007年)在平面直角坐標系xOY中,已知ABC頂點A(-4,0)和C(4,0),頂點B在橢圓上,則 。2(2008年)在平面直角坐標系中,橢圓的焦距為2c,以O(shè)為圓心,為半徑作圓,若過作圓的兩條切線相互垂直,則橢圓的離心率為 3.(2009年)如圖,在平面直角坐標系中,為橢圓的四個頂點,為其右焦點,直線與直線相交于點T,線段與橢圓的交點恰為線段的中點,則該橢圓的離心率為 . 4.(2011年)在平面直角坐標系中,已知點P是函數(shù)的圖象上的動點,該圖象在P處的切線交y軸于點M,過點P作的垂線交y軸于點N,設(shè)線段MN的中點的縱坐標為t,則t的最大值是_5.(2012年)在平面直角坐標系中,圓C的方程為,若直線上至少存在一點,使得以該點為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點,則k的最大值是 二、解答題1(2007年)(本小題滿分14分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,過y軸正方向上一點C(0,c)任作一直線,與拋物線y=x2相交于AB兩點,一條垂直于x軸的直線,分別與線段AB和直線交于P,Q。(1)若,求c的值;(5分)(2)若P為線段AB的中點,求證:QA為此拋物線的切線;(5分)(3)試問(2)的逆命題是否成立?說明理由。(4分)2(2008年)在平面直角坐標系中,記二次函數(shù)()與兩坐標軸有三個交點經(jīng)過三個交點的圓記為(1)求實數(shù)b的取值范圍;(2)求圓的方程;(3)問圓是否經(jīng)過定點(其坐標與的無關(guān))?請證明你的結(jié)論3.(2009年)(本小題滿分16分) 在平面直角坐標系中,已知圓和圓.(1)若直線過點,且被圓截得的弦長為,求直線的方程;(2)設(shè)P為平面上的點,滿足:存在過點P的無窮多對互相垂直的直線和,它們分別與圓和圓相交,且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等,試求所有滿足條件的點P的坐標。4.(2010年)(本小題滿分16分)在平面直角坐標系中,如圖,已知橢圓的左、右頂點為A、B,右焦點為F。設(shè)過點T()的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、,其中m0,。(1)設(shè)動點P滿足,求點P的軌跡;(2)設(shè),求點T的坐標;(3)設(shè),求證:直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關(guān))。5.(2011年)(本小題滿分16分)如圖,在平面直角坐標系中,M、N分別是橢圓的頂點,過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點,其中P在第一象限,過P作x軸的垂線,垂足為C,連接AC,并延長交橢圓于點B,設(shè)直線PA的斜率為k(1)當直線PA平分線段MN時,求k的值;(2)當k=2時,求點P到直線AB的距離d;(3)對任意k0,求證:PAPB 6.(2012年)(本小題滿分16分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓的左、右焦點分別為,已知和都在橢圓上,其中e為橢圓的離心率(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點,且直線與直線平行,與交于點P(i)若,求直線的斜率;(ii)求證:是定值答案一、填空題1.2.解析:設(shè)切線PA、PB 互相垂直,又半徑OA 垂直于PA,所以O(shè)AP 是等腰直角三角形,故,解得3.解析: 考查橢圓的基本性質(zhì),如頂點、焦點坐標,離心率的計算等。以及直線的方程。直線的方程為:;直線的方程為:。二者聯(lián)立解得:,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 則在橢圓上,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解得:4.解析:設(shè)則,過點P作的垂線,所以,t在上單調(diào)增,在單調(diào)減,。5.解析:圓C的圓心為,半徑為1;由題意,直線上至少存在一點,以該點為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點;故存在,使得成立,即;而即為點C到直線的距離,故,解得,即k的最大值是.二、解答題1.(1)設(shè)直線AB的方程為y=kx+c,將該方程代入y=x2得x2kxc=0令A(yù)(a,a2),B(b,b2),則ab=c 因為,解得c=2,或c=1(舍去)故c=2(2)由題意知,直線AQ的斜率為又r=x2的導(dǎo)數(shù)為r=2x,所以點A處切線的斜率為2a因此,AQ為該拋物線的切線(3)(2)的逆命題成立,證明如下:設(shè)Q(x0,c)若AQ為該拋物線的切線,則kAQ=2a又直線AQ的斜率為,所以得2ax0=a2+ab,因a0,有2.本小題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、圓的方程的求法()令0,得拋物線與軸交點是(0,b);令,由題意b0 且0,解得b1 且b0()設(shè)所求圓的一般方程為令0 得這與0 是同一個方程,故D2,F(xiàn)令0 得0,此方程有一個根為b,代入得出Eb1所以圓C 的方程為.()圓C 必過定點,證明如下:假設(shè)圓C過定點 ,將該點的坐標代入圓C的方程,并變形為 (*)為使(*)式對所有滿足的都成立,必須有,結(jié)合(*)式得,解得經(jīng)檢驗知,點均在圓C上,因此圓C 過定點。3.本小題主要考查直線與圓的方程、點到直線的距離公式,考查數(shù)學運算求解能力、綜合分析問題的能力。滿分16分。(1)設(shè)直線的方程為:,即由垂徑定理,得:圓心到直線的距離,結(jié)合點到直線距離公式,得: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 化簡得:求直線的方程為:或,即或(2) 設(shè)點P坐標為,直線、的方程分別為:,即:因為直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等,兩圓半徑相等。由垂徑定理,得:圓心到直線與直線的距離相等。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故有:,化簡得:關(guān)于的方程有無窮多解,有: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解之得:點P坐標為或。4.本小題主要考查求簡單曲線的方程,考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識??疾檫\算求解能力和探究問題的能力。滿分16分。(1)設(shè)點P(x,y),則:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。由,得 化簡得。故所求點P的軌跡為直線。(2)將分別代入橢圓方程,以及得:M(2,)、N(,)直線MTA方程為:,即,直線NTB 方程為:,即。聯(lián)立方程組,解得:,所以點T的坐標為。(3)點T的坐標為直線MTA方程為:,即,直線NTB 方程為:,即。分別與橢圓聯(lián)立方程組,同時考慮到,解得:、。(方法一)當時,直線MN方程為: 令,解得:。此時必過點D(1,0);當時,直線MN方程為:,與x軸交點為D(1,0)。所以直線MN必過x軸上的一定點D(1,0)。(方法二)若,則由及,得,此時直線MN的方程為,過點D(1,0)。若,則,直線MD的斜率,直線ND的斜率,得,所以直線MN過D點。因此,直線MN必過軸上的點(1,0)。5.(1)M(-2,0),N(0,),M、N的中點坐標為(-1,),所以(2)由得,AC方程:即:所以點P到直線AB的距離(3)法一:由題意設(shè),A、C、B三點共線,又因為點P、B在橢圓上,兩式相減得:法二:設(shè),A、C、B三點共線,又因為點A、B在橢圓上,兩式相減得:,6.【命題意圖】本題主要考查橢圓的定義、標準方程及幾何性質(zhì)、直線方程、兩點間的距離公式等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力和推理論證能力.【解析】(1)設(shè)題設(shè)知,由點(1,)在橢圓上,得=1,解得=1,
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