第六章-定積分及其應(yīng)用.doc

第六章 定積分及其應(yīng)用1 證明：設(shè)為上連續(xù)且非負(fù)，則的充要條件為在上恒為零，即。證明：充分性是顯然的，以下證明必要性。法1：反證法。若存在為的某一連續(xù)點(diǎn)，且，則，使 ，從而有與已知矛盾。從而結(jié)論成立。法2：對一切的有從而 ，。那么 即 。2利用定積分求極限： 1）； 2）。 解：1）2） 3設(shè)在上為連續(xù)函數(shù)，為單調(diào)的連續(xù)可微函數(shù)。證明：存在，使得 。 證明：這是加強(qiáng)條件的積分第二中值定理，有一個不難的證明。設(shè) ，則有 由假設(shè)為單調(diào)函數(shù)，故不變號，從而，使得 4設(shè)連續(xù)，求。 解：令 ，則所以 。5設(shè)連續(xù)，且，求。 解：令 ，對兩邊積分有：所以 。則 。6設(shè)在區(qū)間上可微，且滿足條件。試證：存在，使 。證明：令 ，則存在，使 又由在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且，由Rolle定理可知：存在，使。即 。7設(shè)在區(qū)間上是連續(xù)且遞增的函數(shù)，證明： 。 證明：法1：只要證 令 ，則。 所以為遞增的函數(shù)，因此。法2：由遞增，所以。因此即 法3： 8設(shè)在上單調(diào)減少且連續(xù)，證明：對，恒有不等式 。 證明：法1：令 ，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，所以使 由于在上單調(diào)減少且連續(xù)，則當(dāng)時，當(dāng)時，；即是的最大值點(diǎn)；的最小值只能在端點(diǎn)取得，又，所以。命題得證。 法2： 。 法3：其中 ，。又在上單調(diào)減少，則。故原命題得證。法4：故原命題得證。9證明：。 證明：左= 右= = 左10證明： （）。 證明：左=， 令 ，則左=又令 ，則有 所以左 右 。11設(shè)，求。 解：法1：令 ，則 ， 法2：即 原式 12若函數(shù)在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明： 。證明：由 ，利用Cauchy-Schwarz不等式 同理由 ，記，于是 13證明Cauchy-Schwarz不等式：若和都在上可積，則有 證明：法1： 對任意實(shí)數(shù)上式右端是的二次三項(xiàng)式，則其判別式非正，即 故原式得證。法2：令 ，則。 所以在上單調(diào)遞增，即 。14（Young不等式）設(shè)（）是嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，。是它的反函數(shù)，求證： （，）等號僅當(dāng)時成立。證明：1先證 成立。 （2）由是嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，故在也是嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，故式（2）中的積分有意義。將等份，記分點(diǎn)為 相應(yīng)的點(diǎn)（）構(gòu)成區(qū)間的一個劃分。由在連續(xù)，故一致連續(xù)，故當(dāng)時，對上述劃分有： 故 故式（2）得證。2由式（2）可知，若，則所要證的不等式中等號成立。3若，則由的連續(xù)性可知，存在，使，于是 （） 4若的情形，只要將看成的反函數(shù)，即可由3的結(jié)論得到。5聯(lián)系2、3、4可知所要證明的不等式成立。當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。15證明Minkowski不等式：若和都在上可積，則有 其更一般的形式是（）。證明： 又由Cauchy-Schwarz不等式得 所以 從而 16計算下列積分的值（1） （2） （3） 解：（1）。（2）。（3）。17設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)有，證明存在唯一的使曲線與，所圍圖形的面積是曲線與，所圍圖形的面積的三倍。證明：設(shè)對任意，則，令 ，。問題是要證明存在唯一的使。顯然在上連續(xù)，且則存在使。又，即單增，故存在唯一的使。18求擺線，的一拱（），與軸所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：本題用柱殼法求較易。故 19半徑為、比重為的球沉入水中。試求把球提提出水面需作的功。分析：由于球的比重與水相同，處于懸浮狀態(tài)，因此可設(shè)初始時刻球的頂部與水面相齊；而且把球從水中提出的作功問題，相當(dāng)于把球形水罐中的水從頂部全部抽出的作功問題。只是這里在把球的每一薄片提升至水面時并不需要作功，需要克服重力作功的是將它繼續(xù)提升至使整個球離開水面的那一段距離。解：設(shè)球的頂與水面相