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解析延拓與孤立奇點(diǎn)備課講稿 第三章解析延拓與孤立奇點(diǎn)解析延拓與孤立奇點(diǎn)單值函數(shù)的孤立奇點(diǎn)多值函數(shù)二維調(diào)和函數(shù)與平面場(chǎng)保角變換法函數(shù)解析延拓解析函數(shù)與全純函數(shù)?名稱的羅朗級(jí)數(shù)例子可去奇點(diǎn)有限值無(wú)負(fù)冪項(xiàng)極點(diǎn)無(wú)限大含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)本性奇點(diǎn)無(wú)定值含無(wú)限多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)lim()z bf z?0z bR?0()()kkkf z a z b?()()kkk mfza zb?()()kkkf zazb?sin()zf zz?31() (2)f zz z i?1()zf ze?根據(jù)零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系，即如果b點(diǎn)是函數(shù)f（x）的一個(gè)m階零點(diǎn)則b點(diǎn)就是函數(shù)的一個(gè)m階極點(diǎn)；反之亦然，來(lái)尋找函數(shù)的極點(diǎn)，并判斷極點(diǎn)的階數(shù)()1xf奇點(diǎn)分類可去奇點(diǎn)m階奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)極限性質(zhì)（當(dāng)z無(wú)窮大）有限值無(wú)窮大無(wú)定值洛朗展開(kāi)性質(zhì)不含正冪項(xiàng)含有限個(gè)正冪項(xiàng)含無(wú)限個(gè)正冪項(xiàng)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)多值函數(shù)多值函數(shù)w=f(Z)及支點(diǎn)定義多值函數(shù)函數(shù)值的確定多值函數(shù)的解析性與黎曼面復(fù)變函數(shù)單值函數(shù)多值函數(shù)本節(jié)研究復(fù)變函數(shù)中的多值函數(shù)。 一、多值函數(shù)w=f(Z)定義對(duì)于自變量z的每一個(gè)值，一般有兩個(gè)或者兩個(gè)以上的函數(shù)值w與之對(duì)應(yīng)。 注意復(fù)變函數(shù)的多值性源于函數(shù)幅角的多值性多值函數(shù)有根式函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)定義支點(diǎn)對(duì)于每一個(gè)特定的多值函數(shù)，都存在一些特殊的點(diǎn)。 當(dāng)Z環(huán)繞該點(diǎn)轉(zhuǎn)一圈回到原處時(shí)，w(z)的值將由一個(gè)單值分支變到另一個(gè)單值分支。 這些特殊的點(diǎn)就稱為多值函數(shù)的支點(diǎn)。 二、多值函數(shù)函數(shù)值的確定多值函數(shù)的研究方法首先將多個(gè)單值分支分開(kāi)，在多值函數(shù)的兩個(gè)支點(diǎn)之間做割縫，并規(guī)定Z在連續(xù)變化過(guò)程中不能跨越割縫。 下一步是規(guī)定割縫上下岸的幅角值，這樣就完全確定了函數(shù)的單值分支。 1、根據(jù)以上方法確定那個(gè)函數(shù)的單值分支后，在一個(gè)單值分支中研究函數(shù)。 先確定函數(shù)的模，再通過(guò)變量Z的變化路徑可求得相應(yīng)的函數(shù)值的幅角值。 2、在已知函數(shù)在某一點(diǎn)Z的值的情況下，也可以不做割縫，而是規(guī)定Z由參考點(diǎn)到終點(diǎn)的變化路徑，因?yàn)樯弦环N方法做割縫的作用就是限制Z的變化路徑。 三、多值函數(shù)的解析性與黎曼面 1、由于多值函數(shù)的多值性，不存在，因此多值函數(shù)不具有解析性。 但是對(duì)于它的每一個(gè)單值分支，我們可以像前面一樣討論函數(shù)的解析性。 000()()limz zfz fzzz? 2、為了把多值函數(shù)的多個(gè)分枝作為整體來(lái)研究，我們引入一個(gè)概念黎曼面。 假定某個(gè)多值函數(shù)只有兩個(gè)單值分枝，使一個(gè)單值分枝確定的z平面的割縫下岸得幅角值與第二個(gè)單值分枝確定的平面的割縫上岸幅角值相等。 分別使兩者的上下面兩兩粘接起來(lái)。 這樣形成一個(gè)完整的雙頁(yè)面，稱為該多值函數(shù)的黎曼面。 在黎曼面的每一頁(yè)上，函數(shù)單值；而在上下兩葉的同一位置處，函數(shù)值不同。 黎曼面:二維調(diào)和函數(shù)用u（x，y）表示兩個(gè)實(shí)變量x和y的二元函數(shù)，方程22220u uxy?02222?yuxu),(),()()(y xiv yx uiy xfzf w?稱為二維拉普拉斯方程，具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)并滿足二維拉普拉斯方程的函數(shù)稱為二維調(diào)和函數(shù)。 定理一設(shè)復(fù)變函數(shù)w=f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)在復(fù)平面的區(qū)域D內(nèi)解析，則它的實(shí)部u(x,y)和虛部v(x,y)都是(x,y)平面的區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。 定理二設(shè)由(x,y)到(u,v)的變換為保角變換，即w=w(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則如果U(x,y)滿足拉普拉斯方程，則(u,v)也滿足拉普拉斯方程。 22220u v?且222222222()()U Uwzxy uv?幾種常用的保角變換1.線性變換其中，a和b是復(fù)常數(shù)。 線性變換只是把圖形變?yōu)樗南嗨菩巍?2.冪函數(shù)和根式冪函數(shù)常用于使的角域變?yōu)樯习肫矫妗?根式常用于使的角域變?yōu)樯习肫矫妗?3.指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)將將的帶域變?yōu)榈慕怯颉?對(duì)數(shù)函數(shù)將將的角域變?yōu)榈膸в颉?4.分式線性變換常用于將圓變成圓，而且對(duì)于圓的對(duì)稱點(diǎn)保持為對(duì)稱點(diǎn)。 總結(jié)一下保角變換的解題步驟（ （1）選擇適