高中數學2.3圓的方程2.3.2圓的一般方程教案.docx

2.3.2 圓的一般方程示范教案教學分析教材利用圓的標準方程推導出了圓的一般方程，并討論了二元二次方程與圓的關系，值得注意的是在教學中引導學生分析圓的兩種方程形式的特點和各自適用的范圍三維目標1掌握圓的一般方程的特點，培養(yǎng)分類討論的數學思想2會求圓的方程，提高分析問題、解決問題的能力重點難點教學重點：圓的一般方程及其與標準方程的互化教學難點：對條件“D2E24F0”的理解課時安排1課時導入新課設計1.寫出圓心為(a，b)，半徑為r的圓的標準方程(xa)2(yb)2r2.將圓的標準方程展開并整理，得x2y22ax2bya2b2r20.如果設D2a，E2b，Fa2b2r2，得到方程x2y2DxEyF0，這說明圓的方程還可以表示成另外一種非標準方程形式能不能說方程x2y2DxEyF0所表示的曲線一定是圓呢？這就是我們本堂課學習的內容設計2.問題：求過三點A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圓的方程利用圓的標準方程解決此問題顯然有些麻煩，用直線的知識解決又有其簡單的局限性，那么這個問題有沒有其他解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式推進新課(1)前一章我們研究直線方程用的什么順序和方法？,(2)這里我們研究圓的方程是否也能類比研究直線方程的順序和方法呢？,(3)給出式子x2y2DxEyF0，請你利用配方法化成不含x和y的一次項的式子.,(4)把式子(xa)2(yb)2r2與x2y2DxEyF0配方后的式子比較，得出x2y2DxEyF0表示圓的條件.,(5)對圓的標準方程與圓的一般方程作一比較，看各自有什么特點？討論結果：(1)以前學習過直線，我們首先學習了直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式，最后學習一般式大家知道，我們認識一般的東西，總是從特殊入手如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的公式(點斜式、兩點式、)展開整理而得到的(2)我們想求圓的一般方程，可仿照直線方程試一試！我們已經學習了圓的標準方程，把標準形式展開，整理得到，也是從特殊到一般(3)把式子x2y2DxEyF0配方得(x)2(y)2.(4)(xa)2(yb)2r2中，r0時表示圓，r0時表示點(a，b)，r0時，表示以(，)為圓心，為半徑的圓；當D2E24F0時，方程僅有一組實數解x，y，即只表示一個點(，)；當D2E24F0時，它表示的曲線才是圓因此x2y2DxEyF0表示圓的條件是D2E24F0.我們把形如x2y2DxEyF0表示圓的方程稱為圓的一般方程(5)圓的一般方程形式上的特點x2和y2的系數相同，不等于0.沒有xy這樣的二次項圓的一般方程中有三個待定的系數D、E、F，因此只要求出這三個系數，圓的方程就確定了與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯思路1例1將下列圓的方程化為標準方程，并寫出圓的圓心坐標和半徑：(1)x2y24x6y120；(2)4x24y28y4y150.解：(1)對方程左邊配方，方程化為(x2)2(y3)225.所以圓心的坐標為(2,3)，半徑為5.(2)方程兩邊除以4，得x2y22xy0.方程左邊配方，得(x1)2(y)25.所以圓心的坐標為(1，)，半徑為.變式訓練1圓x2y24x8y0的圓心坐標是_，半徑r_.答案：(2,4)22圓x2y2Dx4y10的半徑r4，則D_.答案：2例2求過三點A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)的圓的方程解：設所求圓的方程為x2y2DxEyF0.根據題設條件，用待定系數法確定D，E，F.因為點A，B，C的圓上，所以它們的坐標是方程的解，把它們的坐標依次代入上面的方程，整理得到關于D，E，F的三元一次方程組解這個方程組，得于是得到所求圓的方程x2y26x2y150.點評：我們也可以設圓的方程為(xa)2(yb)2r2.同樣，根據已知條件可以列出三個未知數的方程組通過解方程組，求出a，b，r.那樣做，會有較大的運算量變式訓練求過三點O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圓的方程，并求圓的半徑和圓心坐標解：設所求圓的方程為x2y2DxEyF0，由O，M1，M2在圓上，則有解得D8，E6，F0.故所求圓的方程為x2y28x6y0，即(x4)2(y3)252.所以圓心坐標為(4，3)，半徑為5.例3已知一曲線是與兩個定點O(0,0)，A(3,0)距離的比為的點的軌跡，求這個曲線的方程，并畫出曲線解：在給定的坐標系中，設M(x，y)是曲線上的任意一點，點M在曲線上的條件是.由兩點之間的距離公式，上式用坐標表示為，兩邊平方并化簡，得曲線方程x2y22x30，將方程配方，得(x1)2y24.所以所求曲線是圓心為C(1,0)，半徑為2的圓(如下圖)點評：到兩定點A(a，b)，B(c，d)距離的比為(0)的點的軌跡為C，當1時，C為直線即線段AB的垂直平分線；當1或00，即m15.由韋達定理因為PRQR，所以kPRkQR1.所以1，即(x11)(x21)(y11)(y21)0，即x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)20.因為y13，y23，所以y1y2(3)(3)9(x1x2)9，y1y26.代入，得x1x250，即(m12)50.所以m10，適合m15.所以實數m的值為10.本節(jié)課學習了：圓的一般方程，軌跡方程的求法本節(jié)練習B1,2題這是一節(jié)介紹新知識的課，而且這節(jié)課還非常有利于展現知識的形成過程因此，在設計這節(jié)課時，力求“過程、結論并重，知識、能力、思想方法并重”在展現知識的形成過程中，盡量避免學生被動接受，引導學生探索，重視探索過程一方面，把直線一般方程探求過程進行回顧、類比，學生從中領會探求方法；另一方面，“把標準方程展開認識一般方程”這一過程充分運用了“通過特殊認識一般”的科學思想方法同時，通過類比進行條件的探求“D2E24F”與“”(判別式)類比在整個探求過程中充分利用了“舊知識”及“舊知識的形成過程”，并用它探求新知識這樣的過程，既是學生獲得新知識的過程，更是培養(yǎng)學生能力的過程備選習題1若方程x2y2xya0表示圓，則a的取值范圍是()Aa BaCR Da0.解之，可得2a0，從而f(x，y)f(x0，y0)x2y2DxEyFxyDx0Ey0F0，過點A(x0，y0)與圓C同心的圓答案：C4判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心坐標及半徑(1)4x24y24x12y90；(2)4x24y24x12y110.解：(1)由4x24y24x12y90，得D1，E3，F，而D2E24F19910，所以方程4x24y24x12y90表示圓的方程，其圓心為(，)，半徑為；(2)由4x24y24x12y110，得D1，E3，F，D2E24F191110，所以方程4x24y24x12y110不表示圓的方程點評：對于形如Ax2By2DxEyF0的方程判斷其是否表示圓，先化為x2y2DxEyF0的形式，再利用條件D2E24F與0的大小判斷，不能直接套用另外，直接配方也可以判斷5已知P(2,