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文檔簡介

第十九講 范數(shù)理論及其應用一、向量范數(shù)范數(shù)可以看作長度概念的推廣，主要用于逼近的程度。 1. 向量范數(shù)定義：設V為數(shù)域K上的向量空間，若對于V的任一向量x，對應一個實值函數(shù)，并滿足以下三個條件： （1）非負性 ，等號當且僅當x=0時成立； （2）齊次性 （3）三角不等式。則稱為V中向量x的范數(shù)，簡稱為向量范數(shù)。例1. ，它可表示成， 就是一種范數(shù)證明：（i）非負性 ，當且僅當時，即x0時，0 （ii）齊次性 （iii） ， 根據(jù)Hlder不等式：， 2. 兩類向量范數(shù)（1）推廣到 ，A為厄米正定矩陣（橢圓范數(shù)）當， 加權范數(shù)（2） （p1）,稱為向量的p-范數(shù)或范數(shù)。證明：顯然滿足非負性和齊次性 （iii），應用Hlder不等式 即 3. 向量范數(shù)的等價性定理1. 設、為的兩種向量范數(shù)，則必定存在正數(shù)m、M，使得 ，（m、M與x無關），它就稱為向量范數(shù)的等價性。同時有二、矩陣范數(shù)1. 矩陣范數(shù)定義：設表示數(shù)域k上全體階矩陣的集合。若對于中任一矩陣A，均對應一個實值函數(shù)，并滿足以下四個條件： （1）非負性： ，等號當且僅當A=0時成立； （2）齊次性： （3）三角不等式：則稱為廣義矩陣范數(shù)； （4）相容性： 則稱為矩陣范數(shù)。2. 常用的矩陣范數(shù)（1）p-范數(shù)：，,x為所有可能的向量， ，可以證明： 列（和）范數(shù)譜范數(shù) 行（和）范數(shù) （2）Frobenius范數(shù)（F-范數(shù)）和導出性范數(shù) F-范數(shù)： 導出性范數(shù)：設為數(shù)域k上n維向量空間（k=R或C）的一種向量范數(shù)。可定義矩陣范數(shù)為： 三、應用逼近和誤差估計是矩陣范數(shù)應用的主要領域。 矩陣條件數(shù)：由相容性可知：對于導出性范數(shù) 條件數(shù)反映了誤差放大的程度，條件數(shù)越大，矩陣越病態(tài)。對于方程 考慮兩種情況：(1) b存在誤差； (2) A存在誤差（1） b存在誤差，求出的x存在誤差，考察相對誤差，求 （2） A存在誤差，求出

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