北師大版選修45 幾個重要的不等式 課件（33張）.pptx

第二章幾個重要的不等式 章末復習 學習目標1 梳理本章的重點知識 構建知識網絡 2 進一步理解柯西不等式 排序不等式和貝努利不等式 并能夠熟練應用 3 理解數學歸納法的基本思想 初步形成 歸納 猜想 證明 的思維模式 知識梳理 達標檢測 題型探究 內容索引 知識梳理 1 柯西不等式定理1 對任意實數a b c d 有 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 當向量 a b 與向量 c d 共線時 等號成立 2 排序不等式定理1 設a b和c d都是實數 如果a b c d 那么ac bd ad bc 當且僅當a b 或c d 時取 號 定理2 排序不等式 設有兩個有序實數組a1 a2 an及b1 b2 bn 則 順序和 a1b1 a2b2 anbn 亂序和 逆序和 a1bn a2bn 1 anb1 其中j1 j2 jn是1 2 n的任一排列方式 上式當且僅當a1 a2 an 或b1 b2 bn 時取 號 3 貝努利不等式對任何實數x 1和任何正整數n 有 1 x n 1 nx 4 數學歸納法數學歸納法原理是證明關于正整數n的命題 步驟 1 驗證當n取第一個值n0 如n0 1或2等 時命題正確 2 假設當n k時 k n k n0 命題正確 證明當n k 1時命題也正確 題型探究 類型一利用柯西不等式證明不等式 證明 又已知a b c d不全相等 則 中等號不成立 反思與感悟利用柯西不等式證題的技巧 2 利用柯西不等式證明其他不等式的關鍵是構造兩組數 并向著柯西不等式的形式進行轉化 運用時要注意體會 原結論成立 證明 類型二利用排序不等式證明不等式 證明不妨設a b c 于是a b c 由排序不等式 得aa bb cc aa bb cc aa bb cc ba cb ac aa bb cc ca ab bc 三式相加 得3 aa bb cc a b c a b c 證明 引申探究 證明 證明不妨設a b c 于是a b c 由0 b c a 0 a b c 0 a c b 有0 a b c a c a b c b a c b a b c a b a c b c a b c a 2a b 2b c 2c a b c 2 aa bb cc 反思與感悟利用排序不等式證明不等式的策略 1 在利用排序不等式證明不等式時 首先考慮構造出兩個合適的有序數組 并能根據需要進行恰當地組合 這需要結合題目的已知條件及待證不等式的結構特點進行合理選擇 2 根據排序不等式的特點 與多變量間的大小順序有關的不等式問題 利用排序不等式解決往往很簡捷 證明由a b c的對稱性 不妨設a b c 證明 等號成立的條件為a b c 類型三歸納 猜想 證明 例3已知數列 an 的第一項a1 5且sn 1 an n 2 n n 1 求a2 a3 a4 并由此猜想an的表達式 解答 解a2 s1 a1 5 a3 s2 a1 a2 10 a4 s3 a1 a2 a3 5 5 10 20 2 用數學歸納法證明 an 的通項公式 證明 證明 當n 2時 a2 5 22 2 5 公式成立 假設當n k時成立 即ak 5 2k 2 k 2 k n 當n k 1時 由已知條件和假設 有ak 1 sk a1 a2 ak 5 5 10 5 2k 2 故當n k 1時公式也成立 由 可知 對n 2 n n 均有an 5 2n 2 反思與感悟利用數學歸納法解決探索型不等式的思路 觀察 歸納 猜想 證明 即先通過觀察部分項的特點 進行歸納 判斷并猜想出一般結論 然后用數學歸納法進行證明 跟蹤訓練3在數列 an bn 中 a1 2 b1 4 且an bn an 1成等差數列 bn an 1 bn 1成等比數列 n n 1 求a2 a3 a4及b2 b3 b4 并猜想an bn的表達式 解答 猜想an n n 1 bn n 1 2 2 用數學歸納法證明你的猜想 證明 證明 當n 1時 由a1 2 b1 4知 結論正確 假設當n k k 1 k n 時結論正確 即ak k k 1 bk k 1 2 則當n k 1時 ak 1 2bk ak 2 k 1 2 k k 1 k 1 k 2 即當n k 1時結論正確 由 知猜想的結論正確 類型四利用柯西不等式或排序不等式求最值 例4 1 求實數x y的值 使得 y 1 2 x y 3 2 2x y 6 2達到最小值 解答 解由柯西不等式 得 12 22 12 y 1 2 3 x y 2 2x y 6 2 1 y 1 2 3 x y 1 2x y 6 2 1 解設b1 b2 b3 b4 b5是a1 a2 a3 a4 a5的一個排列 且b1 b2 b3 b4 b5 因此b1 1 b2 2 b3 3 b4 4 b5 5 解答 反思與感悟利用柯西不等式或排序不等式求最值的技巧 1 有關不等式問題往往要涉及對式子或量的范圍的限定 其中含有多變量限制條件的最值問題往往難以處理 在這類題目中 利用柯西不等式或排序不等式處理往往比較容易 2 在利用柯西不等式或排序不等式求最值時 要關注等號成立的條件 不能忽略 解答 達標檢測 1 2 4 3 5 y 3 y的最大值為3 答案 解析 1 2 4 3 5 答案 解析 p q 當且僅當a1 a2 an 0時等號成立 1 2 4 3 5 a p qb p qc p qd p q 答案 解析 解析設a1 a2 an 0 1 2 4 3 5 解析 k 1 3 5 k 1 k3 3k2 3k 1 5k 5 k3 5k 3k2 3k 6 k3 5k 3k k 1 6 4 用數學歸納法證明 n3 5n能被6整除 的過程中 當n k 1時 對式子 k 1 3 5 k 1 應變形為 答案 解析 k3 5k 3k k 1 6 1 2 4 3 5 解析當n k 1時 左端 1 2 3 k2 k2 1 k 1 2 所以增加了 k2 1 k 1 2 k2 1 k 1 2 答案 解析 1 對于柯西不等式要特別注意其向量形式的幾何意義 從柯西不等式的幾何意義出發(fā)就得到了三角形式的柯西不等式 柯西不等式的一般形式也可以寫成向量形式 2 參數配方法是由舊知識得到的新方法 注意體會此方法的數學思想 3 對于排序不等式要抓住它的本質含