人教A版選修23 排列的綜合應(yīng)用 學(xué)案.doc

第2課時(shí)排列的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步加深對(duì)排列概念的理解.2.掌握幾種有限制條件的排列，能應(yīng)用排列數(shù)公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)排列及其應(yīng)用1排列數(shù)公式an(n1)(n2)(nm1)(n，mn*，mn).an(n1)(n2)21n！(叫做n的階乘)另外，我們規(guī)定0！1.2應(yīng)用排列與排列數(shù)公式求解實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)數(shù)問(wèn)題的基本步驟類型一無(wú)限制條件的排列問(wèn)題例1(1)有7本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？(2)有7種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)無(wú)限制條件的排列問(wèn)題解(1)從7本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，相當(dāng)于從7個(gè)元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，所以共有a765210(種)不同的送法(2)從7種不同的書中買3本書，這3本書并不要求都不相同，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有777343(種)不同的送法反思與感悟典型的排列問(wèn)題，用排列數(shù)計(jì)算其排列方法數(shù)；若不是排列問(wèn)題，需用計(jì)數(shù)原理求其方法種數(shù)排列的概念很清楚，要從“n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素”即在排列問(wèn)題中元素不能重復(fù)選取，而在用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的問(wèn)題中，元素可以重復(fù)選取跟蹤訓(xùn)練1(1)有5個(gè)不同的科研小課題，從中選3個(gè)由高二(6)班的3個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行研究，每組一個(gè)課題，共有多少種不同的安排方法？(2)有5個(gè)不同的科研小課題，高二(6)班的3個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組報(bào)名參加，每組限報(bào)一個(gè)課題，共有多少種不同的報(bào)名方法？考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)無(wú)限制條件的排列問(wèn)題解(1)從5個(gè)不同的課題中選出3個(gè)，由興趣小組進(jìn)行研究，對(duì)應(yīng)于從5個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同的安排方法有a54360(種)(2)由題意知3個(gè)興趣小組可能報(bào)同一科研課題，因此元素可以重復(fù)，不是排列問(wèn)題由于每個(gè)興趣小組都有5種不同的選擇，且3個(gè)小組都選擇完才算完成這件事，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有555125(種)報(bào)名方法類型二排隊(duì)問(wèn)題例23名男生、4名女生按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方法的種數(shù)(1)全體站成一排，男、女各站在一起；(2)全體站成一排，男生必須站在一起；(3)全體站成一排，男生不能站在一起；(4)全體站成一排，男、女各不相鄰考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)元素“相鄰”與“不相鄰”問(wèn)題解(1)男生必須站在一起是男生的全排列，有a種排法；女生必須站在一起是女生的全排列，有a種排法；全體男生、女生各視為一個(gè)元素，有a種排法由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有aaa288(種)排隊(duì)方法(2)三個(gè)男生全排列有a種方法，把所有男生視為一個(gè)元素，與4名女生組成5個(gè)元素全排列，有a種排法故有aa720(種)排隊(duì)方法(3)先安排女生，共有a種排法；男生在4個(gè)女生隔成的五個(gè)空中安排，共有a種排法，故共有aa1 440(種)排法(4)排好男生后讓女生插空，共有aa144(種)排法反思與感悟處理元素“相鄰”“不相鄰”問(wèn)題應(yīng)遵循“先整體，后局部”的原則元素相鄰問(wèn)題，一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”為一個(gè)大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個(gè)元素內(nèi)部全排列元素不相鄰問(wèn)題，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之間及兩端插入不相鄰元素跟蹤訓(xùn)練2某次文藝晚會(huì)上共演出8個(gè)節(jié)目，其中2個(gè)唱歌、3個(gè)舞蹈、3個(gè)曲藝節(jié)目，求分別滿足下列條件的節(jié)目編排方法有多少種？(1)一個(gè)唱歌節(jié)目開頭，另一個(gè)放在最后壓臺(tái)；(2)2個(gè)唱歌節(jié)目互不相鄰；(3)2個(gè)唱歌節(jié)目相鄰且3個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)元素“相鄰”與“不相鄰”問(wèn)題解(1)先排唱歌節(jié)目有a種排法，再排其他節(jié)目有a種排法，所以共有aa1 440(種)排法(2)先排3個(gè)舞蹈節(jié)目和3個(gè)曲藝節(jié)目有a種排法，再?gòu)钠渲?個(gè)空(包括兩端)中選2個(gè)排唱歌節(jié)目，有a種插入方法，所以共有aa30 240(種)排法(3)把2個(gè)相鄰的唱歌節(jié)目看作一個(gè)元素，與3個(gè)曲藝節(jié)目排列共a種排法，再將3個(gè)舞蹈節(jié)目插入，共有a種插入方法，最后將2個(gè)唱歌節(jié)目互換位置，有a種排法，故所求排法共有aaa2 880(種)排法例3六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？(1)甲不能在兩端；(2)甲、乙必須在兩端；(3)甲不在最左端，乙不在最右端考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)元素“在”與“不在”問(wèn)題解(1)先考慮甲有a種方案，再考慮其余5人全排列，故naa480(種)；(2)先安排甲、乙有a種方案，再安排其余4人全排列，故naa48(種)；(3)方法一甲在最左端的站法有a種，乙在最右端的站法有a種，且甲在最左端而乙在最右端的站法有a種，共有a2aa504(種)站法方法二以元素甲分類可分為兩類：a.甲站最右端有a種，b.甲在中間4個(gè)位置之一，而乙不在最右端有aaa種，故共有aaaa504(種)站法反思與感悟“在”與“不在”排列問(wèn)題解題原則及方法(1)原則：解“在”與“不在”的有限制條件的排列問(wèn)題時(shí)，可以從元素入手也可以從位置入手，原則是誰(shuí)特殊誰(shuí)優(yōu)先(2)方法：從元素入手時(shí)，先給特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，從位置入手時(shí)，先安排特殊位置，再安排其他位置提醒：解題時(shí)，或從元素考慮，或從位置考慮，都要貫徹到底不能一會(huì)考慮元素，一會(huì)考慮位置，造成分類、分步混亂，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤跟蹤訓(xùn)練3某一天的課程表要排入政治、語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課程表的方法？考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)元素“在”與“不在”問(wèn)題解6門課總的排法是a，其中不符合要求的可分為體育排在第一節(jié)，有a種排法；數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，有a種排法，但這兩種方法，都包括體育排在第一節(jié)，數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，這種情況有a種排法因此符合條件的排法有a2aa504(種)例4將a，b，c，d，e這5個(gè)字母排成一列，要求a，b，c在排列中的順序?yàn)椤癮，b，c”或“c，b，a”(可以不相鄰)則有多少種不同的排列方法？考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)排列中的定序問(wèn)題解5個(gè)不同元素中部分元素a，b，c的排列順序已定，這種問(wèn)題有以下兩種常用的解法方法一(整體法)5個(gè)元素?zé)o約束條件的全排列有a種，由于字母a，b，c的排列順序?yàn)椤癮，b，c”或“c，b，a”，因此，在上述的全排列中恰好符合“a，b，c”或“c，b，a”排列方式的排列有240(種)方法二(插空法)若字母a，b，c的排列順序?yàn)椤癮，b，c”，將字母d，e插入，這時(shí)形成的4個(gè)空中，分兩類：第一類，若字母d，e相鄰，則有aa種排法；第二類，若字母d，e不相鄰，則有a種排法所以有aaa20(種)不同的排列方法同理，若字母a，b，c的排列順序?yàn)椤癱，b，a”，也有20種不同的排列方法因此，滿足條件的排列有202040(種)反思與感悟在有些排列問(wèn)題中，某些元素有前后順序是確定的(不一定相鄰)，解決這類問(wèn)題的基本方法有兩種：(1)整體法，即若有mn個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素之間的先后順序確定不變，先將這mn個(gè)元素排成一列，有a種不同的排法；然后任取一個(gè)排列，固定其他n個(gè)元素的位置不動(dòng)，把這m個(gè)元素交換順序，有a種排法，其中只有一個(gè)排列是我們需要的，因此共有種滿足條件的不同排法(2)插空法，即m個(gè)元素之間的先后順序確定不變，因此先排這m個(gè)元素，只有一種排法，然后把剩下的n個(gè)元素分類或分步插入由以上m個(gè)元素形成的空隙中跟蹤訓(xùn)練4用1,2,3,4,5,6,7組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，若1,3,5,7的順序一定，則有_個(gè)七位數(shù)符合條件考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)排列中的定序問(wèn)題答案210解析若1,3,5,7的順序不定，有a24(種)排法，故1,3,5,7的順序一定的排法數(shù)只占總排法數(shù)的.故有a210(個(gè))七位數(shù)符合條件類型三數(shù)字排列問(wèn)題例5用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)符合下列條件的無(wú)重復(fù)的數(shù)字？(1)六位奇數(shù)；(2)個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù)；(3)不大于4 310的四位偶數(shù)考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)數(shù)字的排列問(wèn)題解(1)第一步，排個(gè)位，有a種排法；第二步，排十萬(wàn)位，有a種排法；第三步，排其他位，有a種排法故共有aaa288(個(gè))六位奇數(shù)(2)方法一(直接法)：十萬(wàn)位數(shù)字的排法因個(gè)位上排0與不排0而有所不同，因此需分兩類第一類，當(dāng)個(gè)位排0時(shí)，有a個(gè)；第二類，當(dāng)個(gè)位不排0時(shí)，有aaa個(gè)故符合題意的六位數(shù)共有aaaa504(個(gè))方法二(排除法)：0在十萬(wàn)位和5在個(gè)位的排列都不對(duì)應(yīng)符合題意的六位數(shù)，這兩類排列中都含有0在十萬(wàn)位和5在個(gè)位的情況故符合題意的六位數(shù)共有a2aa504(個(gè))(3)分三種情況，具體如下：當(dāng)千位上排1,3時(shí)，有aaa個(gè)當(dāng)千位上排2時(shí)，有aa個(gè)當(dāng)千位上排4時(shí)，形如4 02,4 20的各有a個(gè)；形如4 1的有aa個(gè)；形如4 3的只有4 310和4 302這兩個(gè)數(shù)故共有aaaaa2aaa2110(個(gè))反思與感悟數(shù)字排列問(wèn)題是排列問(wèn)題的重要題型，解題時(shí)要著重注意從附加受限制條件入手分析，找出解題的思路常見附加條件有：(1)首位不能為0；(2)有無(wú)重復(fù)數(shù)字；(3)奇偶數(shù)；(4)某數(shù)的倍數(shù)；(5)大于(或小于)某數(shù)跟蹤訓(xùn)練5用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的(1)能被5整除的五位數(shù)；(2)能被3整除的五位數(shù)；(3)若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)數(shù)列an，則240 135是第幾項(xiàng)考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)數(shù)字的排列問(wèn)題解(1)個(gè)位上的數(shù)字必須是0或5.個(gè)位上是0，有a個(gè)；個(gè)位上是5，若不含0，則有a個(gè)；若含0，但0不作首位，則0的位置有a種排法，其余各位有a種排法，故共有aaaa216(個(gè))能被5整除的五位數(shù)(2)能被3整除的條件是各位數(shù)字之和能被3整除，則5個(gè)數(shù)可能有1,2,3,4,5和0,1,2,4,5兩種情況，能夠組成的五位數(shù)分別有a個(gè)和aa個(gè)故能被3整除的五位數(shù)有aaa216(個(gè))(3)由于是六位數(shù)，首位數(shù)字不能為0，首位數(shù)字為1有a個(gè)數(shù)，首位數(shù)字為2，萬(wàn)位上為0,1,3中的一個(gè)，有3a個(gè)數(shù)，240 135的項(xiàng)數(shù)是a3a1193，即240 135是數(shù)列的第193項(xiàng)16位學(xué)生排成兩排，每排3人，則不同的排法種數(shù)為()a36 b120 c240 d720考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)無(wú)限制條件的排列問(wèn)題答案d解析不同的排法有a654321720(種)26位選手依次演講，其中選手甲不排在第一個(gè)也不排在最后一個(gè)演講，則不同的演講次序共有()a240種 b360種 c480種 d720種考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)元素“在”與“不在”問(wèn)題答案c解析第一步：排甲，共有a種不同的排法；第二步：排其他人，共有a種不同的排法，因此不同的演講次序共有aa480(種)3用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有()a144個(gè) b120個(gè) c96個(gè) d72個(gè)考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)數(shù)字的排列問(wèn)題答案b解析當(dāng)五位數(shù)的萬(wàn)位為4時(shí)，個(gè)位可以是0,2，此時(shí)滿足條件的偶數(shù)共有2a48(個(gè))；當(dāng)五位數(shù)的萬(wàn)位為5時(shí)，個(gè)位可以是0,2,4，此時(shí)滿足條件的偶數(shù)共有3a72(個(gè))，所以比40 000大的偶數(shù)共有4872120(個(gè))45位母親帶領(lǐng)5名兒童站成一排照相，兒童不相鄰的站法有_種考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)元素“相鄰”與“不相鄰”問(wèn)題答案86 400解析第1步，先排5位母親的位置，有a種排法；第2步，把5名兒童插入5位母親所形成的6個(gè)空位中，如下所示：母親_母親_母親_母親_母親_，共有a種排法由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的站法共有aa86 400(種)5兩家夫婦各帶一個(gè)小孩一起去公園游玩，購(gòu)票后排隊(duì)依次入園為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個(gè)小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)為_考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)元素“相鄰”與“不相鄰”問(wèn)題答案24解析分3步進(jìn)行分析，先安排兩位爸爸，必須一首一尾，有a2(種)排法，兩個(gè)小孩一定要排在一起，將其看成一個(gè)元素，考慮其順序有a2(種)排法，將兩個(gè)小孩看作一個(gè)元素與兩位媽媽進(jìn)行全排列，有a6(種)排法則共有22624(種)排法求解排列問(wèn)題的主要方法：直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問(wèn)題除法處理對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法一、選擇題1將3張不同的電影票全部分給10個(gè)人，每人至多一張，則不同的分法種數(shù)是()a1 260 b120 c240 d720考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)排列的簡(jiǎn)單應(yīng)用答案d解析相當(dāng)于3個(gè)元素排10個(gè)位置，有a720(種)不同的分法2要從a，b，c，d，e 5個(gè)人中選出1名組長(zhǎng)和1名副組長(zhǎng)，但a不能當(dāng)副組長(zhǎng)，則不同的選法種數(shù)是()a20 b16 c10 d6考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)排列的簡(jiǎn)單應(yīng)用答案b解析不考慮限制條件有a種選法，若a當(dāng)副組長(zhǎng)，有a種選法，故a不當(dāng)副組長(zhǎng)，有aa16(種)選法3一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為()a33! b3(3！)3 c(3！)4 d9!考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)元素“相鄰”與“不相鄰”問(wèn)題答案c解析利用“捆綁法”求解，滿足題意的坐法種數(shù)為a(a)3(3！)4.故選c.4某電視臺(tái)一節(jié)目收視率很高，現(xiàn)要連續(xù)插播4個(gè)廣告，其中2個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益宣傳廣告，要求最后播放的必須是商業(yè)廣告，且2個(gè)商業(yè)廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有()a8種 b16種 c18種 d24種考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)元素“相鄰”與“不相鄰”問(wèn)題答案a解析可分三步：第一步，排最后一個(gè)商業(yè)廣告，有a種；第二步，在前兩個(gè)位置選一個(gè)排第二個(gè)商業(yè)廣告，有a種；第三步，余下的兩個(gè)位置排公益宣傳廣告，有a種根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的播放方式共有aaa8(種)，故選a.5由1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列an，則a72等于()a1 543 b2 543 c3 542 d4 532考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)數(shù)字的排列問(wèn)題答案c解析首位是1的四位數(shù)有a24(個(gè))，首位是2的四位數(shù)有a24(個(gè))，首位是3的四位數(shù)有a24(個(gè))，由分類加法計(jì)數(shù)原理得，首位小于4的所有四位數(shù)共32472(個(gè))由此得a723 542.6在制作飛機(jī)的某一零件時(shí)，要先后實(shí)施6個(gè)工序，其中工序a只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，工序b和c在實(shí)施時(shí)必須相鄰，則實(shí)施順序的編排方法共有()a34種 b48種 c96種 d144種考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)元素“相鄰”與“不相鄰”問(wèn)題答案c解析由題意可知，先排工序a，有2種編排方法；再將工序b和c視為一個(gè)整體(有2種順序)與其他3個(gè)工序全排列共有2a種編排方法故實(shí)施順序的編排方法共有22a96(種)故選c.7由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有()a210個(gè) b300個(gè) c464個(gè) d600個(gè)考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)數(shù)字的排列問(wèn)題答案b解析由于組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，個(gè)位小于十位的與個(gè)位大于十位的一樣多，故有300(個(gè))8某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天若7位員工中的甲、乙被安排在相鄰兩天值班，丙不在10月1日值班，丁不在10月7日值班，則不同的安排方案共有()a504種 b960種 c1 108種 d1 008種考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)元素“在”與“不在”問(wèn)題答案d解析由題意知，滿足甲、乙兩人被安排在相鄰兩天值班的方案共有aa1 440(種)，其中滿足甲、乙兩人被安排在相鄰兩天值班且丙在10月1日值班的方案共有aa240(種)，滿足甲、乙兩人被安排在相鄰兩天值班且丁在10月7日值班的方案共有aa240(種)，滿足甲、乙兩人安排在相鄰兩天值班且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有aa48(種)因此滿足題意的方案共有1 4402240481 008(種)二、填空題95個(gè)人排成一排，要求甲、乙兩人之間至少有一人，則不同的排法有_種考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)元素“相鄰”與“不相鄰”問(wèn)題答案72解析甲、乙兩人相鄰共有aa種排法，則甲、乙兩人之間至少有一人共有aaa72(種)排法10從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4100 m接力賽，甲不能跑第一棒和第四棒，問(wèn)共有_種參賽方案考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)元素“在”與“不在”問(wèn)題答案240解析方法一從人(元素)的角度考慮，優(yōu)先考慮甲，分以下兩類：第1類，甲不參賽，有a種參賽方案；第2類，甲參賽，可優(yōu)先將甲安排在第二棒或第三棒，有2種方法，然后安排其他3棒，有a種方法，此時(shí)有2a種參賽方案由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有a2a240(種)方法二從位置(元素)的角度考慮，優(yōu)先考慮第一棒和第四棒，則這兩棒可以從除甲之外的5人中選2人，有a種方法；其余兩棒從剩余4人中選，有a種方法由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有aa240(種)方法三(排除法)：不考慮甲的約束，6個(gè)人占4個(gè)位置，有a種安排方法，剔除甲跑第一棒和第四棒的參賽方案有2a種，所以甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有a2a240(種)11六個(gè)停車位置，有3輛汽車需要停放，若要使三個(gè)空位連在一起，則停放的方法數(shù)為_考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)元素“相鄰”與“不相鄰”問(wèn)題答案24解析把3個(gè)空位看作一個(gè)元素，與3輛汽車共有4個(gè)元素全排列，故停放的方法有a432124(種)三、解答題12分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)(1)6名