人教A版選修22 1．3.3　函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(一) 學(xué)案.docx

13.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)最值的概念，了解其與函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)系.2.會(huì)求某閉區(qū)間上函數(shù)的最值知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)如圖為函數(shù)yf(x)，xa，b的圖象思考1觀察區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象，試找出它的極大值、極小值答案極大值為f(x1)，f(x3)，極小值為f(x2)，f(x4)思考2結(jié)合圖象判斷，函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分別為多少？答案存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3)梳理(1)函數(shù)的最大(小)值的存在性一般地，如果在區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值(2)一般地，求函數(shù)yf(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟如下：求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值1函數(shù)的最大值不一定是函數(shù)的極大值()2函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最大值與最小值一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得()3有極值的函數(shù)一定有最值，有最值的函數(shù)不一定有極值()類(lèi)型一求函數(shù)的最值例1求下列各函數(shù)的最值：(1)f(x)x42x23，x3,2；(2)f(x)x33x26x2，x1,1考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值解(1)f(x)4x34x，令f(x)4x(x1)(x1)0，得x1，x0，x1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)及f(x)的變化情況如下表：x3(3，1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x)000f(x)60極大值極小值極大值5當(dāng)x3時(shí)，f(x)取最小值60；當(dāng)x1或x1時(shí)，f(x)取最大值4.(2)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，f(x)在1,1內(nèi)恒大于0，f(x)在1,1上為增函數(shù)故當(dāng)x1時(shí)，f(x)min12；當(dāng)x1時(shí)，f(x)max2.即f(x)的最小值為12，最大值為2.反思與感悟求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最值，需注意以下幾點(diǎn)(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo)，并檢驗(yàn)f(x)0的根是否在給定區(qū)間內(nèi)(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確確定極值和端點(diǎn)函數(shù)值(3)比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小，確定最值跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的最值(1)f(x)；(2)f(x)xsin x，x0,2考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閞.f(x)，當(dāng)f(x)0時(shí)，x2，當(dāng)f(x)0時(shí)，x2，當(dāng)f(x)2.所以f(x)在(，2)上單調(diào)遞增，在(2，)上單調(diào)遞減，所以f(x)無(wú)最小值，且當(dāng)x2時(shí)，f(x)maxf(2).(2)f(x)cos x，x0,2，令f(x)0，得x或x.因?yàn)閒(0)0，f(2)，f，f，所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)有最小值f(0)0，當(dāng)x2時(shí)，f(x)有最大值f(2).例2已知函數(shù)f(x)exax2bx1，其中a，br，e2.718 28為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上的最小值考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求含參數(shù)函數(shù)的最值解因?yàn)閒(x)exax2bx1，所以g(x)f(x)ex2axb，又g(x)ex2a，因?yàn)閤0,1，1exe，所以：(1)若a，則2a1，g(x)ex2a0，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，g(x)ming(0)1b.(2)若a，則12ae，于是當(dāng)0xln(2a)時(shí)，g(x)ex2a0，當(dāng)ln(2a)x0，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0，ln(2a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間ln(2a)，1上單調(diào)遞增，g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)b.(3)若a，則2ae，g(x)ex2a0，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，g(x)ming(1)e2ab.綜上所述，當(dāng)a時(shí)，g(x)在區(qū)間0,1上的最小值為1b；當(dāng)a時(shí)，g(x)在區(qū)間0,1上的最小值為2a2aln(2a)b；當(dāng)a時(shí)，g(x)在區(qū)間0,1上的最小值為e2ab.引申探究1若a1，b2，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上的最小值解因?yàn)閍1，b2，g(x)f(x)ex2x2，又g(x)ex2，令g(x)0，因?yàn)閤0,1，解得xln 2，已知當(dāng)xln 2時(shí)，函數(shù)取極小值，也是最小值，故g(x)ming(ln 2)22ln 2242ln 2.2當(dāng)b0時(shí)，若函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上的最小值為0，求a的值解當(dāng)b0時(shí)，因?yàn)閒(x)exax21，所以g(x)f(x)ex2ax，又g(x)ex2a，因?yàn)閤0,1，1exe，所以：(1)若a，則2a1，g(x)ex2a0，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，g(x)ming(0)1，不符合題意(2)若a，則12ae，于是當(dāng)0xln(2a)時(shí)，g(x)ex2a0，當(dāng)ln(2a)x0，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0，ln(2a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間ln(2a)，1上單調(diào)遞增，g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)0，解得a不符合題意，舍去(3)若a，則2ae，g(x)ex2a0，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，g(x)ming(1)e2a0，解得a.反思與感悟?qū)?shù)進(jìn)行討論，其實(shí)質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0，等于0，小于0三種情況若導(dǎo)函數(shù)恒不等于0，則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最值在端點(diǎn)處取得；若導(dǎo)函數(shù)可能等于0，則求出極值點(diǎn)后求極值，再與端點(diǎn)值比較后確定最值跟蹤訓(xùn)練2已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)x2(xa)，求f(x)在區(qū)間0,2上的最大值考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求含參數(shù)函數(shù)的最值解f(x)3x22ax.令f(x)0，解得x10，x2.當(dāng)0，即a0時(shí)，f(x)在0,2上單調(diào)遞增，從而f(x)maxf(2)84a.當(dāng)2，即a3時(shí)，f(x)在0,2上單調(diào)遞減，從而f(x)maxf(0)0.當(dāng)02，即0a0，且當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得極大值b，也就是函數(shù)在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.當(dāng)af(1)，f(2)16a293，解得a2.綜上可得，a2，b3或a2，b29.反思與感悟已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(或范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)，探索最值點(diǎn)，根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問(wèn)題其中注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)h(x)x33x29x1在區(qū)間k,2上的最大值是28，求k的取值范圍考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用題點(diǎn)已知最值求參數(shù)解h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21，當(dāng)x變化時(shí)，h(x)，h(x)的變化情況如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)h(x)00h(x)284當(dāng)x3時(shí)，取極大值28；當(dāng)x1時(shí)，取極小值4.而h(2)3e時(shí)，f(x)0；當(dāng)0x0.f(x)極大值f(e)，且函數(shù)在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值，所以f(x)max.4函數(shù)f(x)2x36x2m(m是常數(shù))在區(qū)間2,2上有最大值3，則在區(qū)間2,2上的最小值為_(kāi)考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用題點(diǎn)已知最值求參數(shù)答案37解析f(x)6x212x6x(x2)，由題意知，在區(qū)間2,2上，x0是f(x)的最大值點(diǎn)，f(x)maxf(0)m3.f(2)1624337，f(2)162435，f(x)min37.5已知函數(shù)f(x)ax3bxc在點(diǎn)x2處取得極值c16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有極大值28，求f(x)在3,3上的最小值考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用題點(diǎn)最值與極值的綜合應(yīng)用解(1)因?yàn)閒(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b.由于f(x)在點(diǎn)x2處取得極值c16，故有即化簡(jiǎn)得解得a1，b12.(2)令f(x)0，得x12，x22.當(dāng)x(，2)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(，2)上為增函數(shù)；當(dāng)x(2,2)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(2，)上為增函數(shù)由此可知f(x)在x12處取得極大值，f(2)16c，f(x)在x22處取得極小值，f(2)c16.由題設(shè)條件知16c28得c12.此時(shí)f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4.因此，f(x)在3,3上的最小值為f(2)4.1求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，只需比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值即可；若函數(shù)在一個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值，這個(gè)極值就是最值2已知最值求參數(shù)時(shí)，可先確定參數(shù)的值，用參數(shù)表示最值時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論.一、選擇題1設(shè)m，m分別是函數(shù)f(x)在a，b上的最大值和最小值，若mm，則f(x)()a等于0 b小于0c等于1 d不確定考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用題點(diǎn)已知最值求導(dǎo)數(shù)答案a解析因?yàn)閙m，所以f(x)為常數(shù)函數(shù)，故f(x)0，故選a.2函數(shù)f(x)x44x(|x|1)()a有最大值，無(wú)最小值b有最大值，也有最小值c無(wú)最大值，有最小值d既無(wú)最大值，也無(wú)最小值考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點(diǎn)最值存在性問(wèn)題答案d解析f(x)4x344(x1)(x2x1)令f(x)0，得x1.又x(1,1)且1(1,1)，該方程無(wú)解，故函數(shù)f(x)在(1,1)上既無(wú)極值也無(wú)最值，故選d.3函數(shù)f(x)2，x(0,5的最小值為()a2 b3c. d2考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值答案b解析由f(x)0，得x1，且當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x1時(shí)，f(x)最小，最小值為f(1)3.4若函數(shù)f(x)asin xsin 3x在x處有最值，則a等于()a2 b1c. d0考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用題點(diǎn)已知最值求參數(shù)答案a解析f(x)在x處有最值，x是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)又f(x)acos xcos 3x，facos cos 0，解得a2.5已知函數(shù)f(x)，g(x)均為a，b上的可導(dǎo)函數(shù)，在a，b上連續(xù)且f(x)g(x)，則f(x)g(x)的最大值為()af(a)g(a) bf(b)g(b)cf(a)g(b) df(b)g(a)考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值答案a解析令f(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)，f(x)f(x)g(x)0，f(x)在a，b上單調(diào)遞減，f(x)maxf(a)f(a)g(a)6已知函數(shù)f(x)x22x3在區(qū)間a,2上的最大值為，則a等于()a b.c d.或考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用題點(diǎn)已知最值求參數(shù)答案c解析由題意知a2，令f(x)2x20，則x1.當(dāng)a1時(shí)，最大值為4，不符合題意當(dāng)1a0)的導(dǎo)數(shù)f(x)的最大值為5，則在函數(shù)f(x)圖象上的點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程是_考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用題點(diǎn)已知最值求參數(shù)答案15x3y20解析f(x)2x24ax32(xa)232a2，f(x)max32a25，a0，a1.f(x)2x24x3，f(1)2435.又f(1)23，所求切線方程為y5(x1)即15x3y20.10函數(shù)f(x)ex(sin xcos x)在區(qū)間上的值域?yàn)開(kāi)考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值答案解析f(x)ex(sin xcos x)ex(cos xsin x)excos x，當(dāng)0x時(shí)，f(x)0，所以f(x)在上是增函數(shù)，故f(x)的最大值為f，f(x)的最小值為f(0).11已知yf(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)ln xax，當(dāng)x(2,0)時(shí)，f(x)的最小值為1，則a的值為_(kāi)考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用題點(diǎn)已知最值求參數(shù)答案1解析由題意知，當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)的最大值為1.令f(x)a0，得x，當(dāng)0x0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0，得0x1，令f(x)1，所以f(x)在上單調(diào)遞增，在(1，e上單調(diào)遞減，所以f(x)在上的最大值為f(1).四、探究與拓展14已知函數(shù)f(x)x3x2xm在0,1上的最小值為，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用題點(diǎn)已知最值求參數(shù)答案2解析由f(x)x3x2xm，可得f(x)x22x1，令x22x10，可得x1.當(dāng)x(1，1)時(shí)，f(x)0，即函數(shù)f(x)在(1，1)上是減函數(shù)，即f(x)在0,1上為減函數(shù)，故f(x)在0,1上的最小值為f(1)，所以11m，解得m2.15已知函數(shù)f(x)ln x.(1)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在1，e上的最小值是，求a的值考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用題點(diǎn)已知最值求參數(shù)解函數(shù)f(x)ln x的定義域?yàn)?0，)，f(x)，(1)a0，故函數(shù)在其定義域(0，)上單調(diào)遞增(2)當(dāng)x1，e