人教A版選修45 3.2一般形式的柯西不等式 課件（43張）.ppt

二一般形式的柯西不等式 自主預習 1 三維形式的柯西不等式設a1 a2 a3 b1 b2 b3是實數(shù) 則 a12 a22 a32 b12 b22 b32 當且僅當 或存在一個數(shù)k 使得ai kbi i 1 2 3 時等號成立 a1b1 a2b2 a3b3 2 bi 0 i 1 2 3 2 一般形式的柯西不等式設a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn是實數(shù) 則 a12 a22 an2 b12 b22 bn2 當且僅當 或存在一個數(shù)k 使得ai i 1 2 n 時 等號成立 a1b1 a2b2 anbn 2 bi 0 i 1 2 n kbi 即時小測 1 若a12 a22 a32 4 b12 b22 b32 9 則a1b1 a2b2 a3b3的最大值為 a 4b 6c 9d 3 解析 選b 根據(jù)柯西不等式 知 a1b1 a2b2 a3b3 2 a12 a22 a32 b12 b22 b32 36 所以 6 a1b1 a2b2 a3b3 6 2 已知x y z a r 且x2 4y2 z2 6 則使不等式x 2y 3z a恒成立的a的最小值為 a 6b c 8d 解析 選b 由x2 4y2 z2 6 利用柯西不等式可得 x 2y 3z 2 x2 4y2 z2 12 12 32 66 故有x 2y 3z 當且僅當時 取等號 再根據(jù)不等式x 2y 3z a恒成立 可得a 3 已知a b c r a 2b 3c 6 則a2 4b2 9c2的最小值為 解析 因為 a2 4b2 9c2 1 1 1 a 2b 3c 2 所以a2 4b2 9c2 12 答案 12 知識探究 探究點一般形式的柯西不等式1 三維形式的柯西不等式中等號成立的條件寫成可以嗎 提示 不可以 因為若出現(xiàn)bi 0 i 1 2 3 的情況 則分式不成立了 但是 可以利用分式的形式來形象地記憶 2 在一般形式的柯西不等式中 等號成立的條件記為ai kbi i 1 2 3 n 可以嗎 提示 不可以 若bi 0 而ai 0 則k不存在 歸納總結 1 對柯西不等式一般形式的說明一般形式的柯西不等式是二維形式 三維形式 四維形式的柯西不等式的歸納與推廣 其特點可類比二維形式的柯西不等式來總結 左邊是平方和的積 右邊是積的和的平方 在使用時 關鍵是構造出符合柯西不等式的結構形式 2 等號成立的條件ai k bi i 1 2 n 或bi 0 即 或b1 b2 bn 0 3 柯西不等式的兩個變式 1 設ai r bi 0 i 1 2 n 當且僅當bi ai時等號成立 2 設ai bi同號且不為0 i 1 2 n 則 當且僅當bi ai時 等號成立 類型一利用柯西不等式證明不等式 典例 已知a b c 1 且a b c是正數(shù) 求證 解題探究 本例不等式右邊的9如何拆分才能運用柯西不等式 提示 9 1 1 1 2 證明 左邊 2 a b c a b b c c a 1 1 1 2 9 當且僅當a b c 時 等號成立 所以 原不等式成立 方法技巧 利用柯西不等式證明不等式時常用的技巧 1 構造符合柯西不等式的形式及條件 可以巧拆常數(shù) 2 構造符合柯西不等式的形式及條件 可以重新安排各項的次序 3 構造符合柯西不等式的形式及條件 可以改變式子的結構 從而達到使用柯西不等式的目的 4 構造符合柯西不等式的形式及條件 可以添項 變式訓練 1 已知a b c r 求證 證明 由柯西不等式知所以原不等式成立 2 已知a1 a2 an都是正實數(shù) 且a1 a2 an 1 求證 證明 左邊 a1 a2 a2 a3 an 1 an an a1 補償訓練 利用柯西不等式證明a2 b2 c2 d2 ab bc cd da a b c d是正數(shù) 證明 a2 b2 c2 d2 b2 c2 d2 a2 ab bc cd da 2 所以a2 b2 c2 d2 ab bc cd da 類型二利用柯西不等式求最值 典例 已知a b c均為正數(shù) 且a 2b 4c 3 求的最小值 解題探究 本例中的題設條件如何轉化為與所求式子的分母有關的形式 提示 由a 2b 4c 3可得 a 1 2 b 1 4 c 1 10 解析 因為a 2b 4c 3 所以 a 1 2 b 1 4 c 1 10 因為a b c為正數(shù) 所以 a 1 2 b 1 4 c 1 當且僅當 a 1 2 2 b 1 2 4 c 1 2 等式成立 故的最小值為 延伸探究 1 本例取得最小值時a b c的值是什么 解析 由 a 1 2 2 b 1 2 4 c 1 2及 a 1 2 b 1 4 c 1 10得2 c 1 2 c 1 4 c 1 10 所以 2 若本例條件不變 改為求的最大值 解析 由柯西不等式得當且僅當a 1 2b 1 4c 1 即a 1 b c 時等號成立 所以的最大值為3 方法技巧 利用柯西不等式求最值的方法技巧利用柯西不等式可求某些含有約束條件的多變量函數(shù)的最值問題 其關鍵是對原目標函數(shù)通過巧變結構 巧拆常數(shù) 巧換位置 巧添項等技巧以保證柯西不等式的結構特征且出現(xiàn)常數(shù)結果 同時要注意等號成立的條件 變式訓練 1 設a b c為正數(shù) a 2b 3c 13 則的最大值為 解析 選c 根據(jù)柯西不等式 2 2015 福建高考 已知a 0 b 0 c 0 函數(shù)f x x a x b c的最小值為4 1 求a b c的值 2 求a2 b2 c2的最小值 解題指南 利用絕對值三角不等式和柯西不等式求解 解析 1 因為f x x a x b c x a x b c a b c 當且僅當 a x b時 等號成立 又a 0 b 0 所以 a b a b 所以f x 的最小值為a b c 又已知f x 的最小值為4 所以a b c 4 2 由 1 知a b c 4 由柯西不等式得 4 9 1 a b c 2 16 即a2 b2 c2 當且僅當 即時等號成立 故a2 b2 c2的最小值為 自我糾錯求代數(shù)式的值 典例 設x y z r 且滿足 x2 y2 z2 1 x 2y 3z 則x y z 失誤案例 分析解題過程 找出錯誤之處 并寫出正確答案 提示 錯誤的根本原因是弄錯