蘇教版選修21 第三章 §3.1　空間向量及其運(yùn)算 學(xué)案.doc

3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.1空間向量及其線性運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示與字母表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算(加法、減法和數(shù)乘)及其運(yùn)算律知識(shí)點(diǎn)一空間向量的概念思考類比平面向量的概念，給出空間向量的概念答案在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量梳理(1)在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或?？臻g向量也用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，向量a的起點(diǎn)是a，終點(diǎn)是b，則向量a也可記作，其模記為|a|或|.(2)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量知識(shí)點(diǎn)二空間向量及其線性運(yùn)算1空間向量的線性運(yùn)算已知空間向量a，b，在空間任取一點(diǎn)o，作a，b，c，與平面向量的運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的意義為：ac；abc.若p在直線oa上，則a(r)2空間向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算滿足如下運(yùn)算律：(1)abba；(2)(ab)ca(bc)；(3)(ab)ab(r)知識(shí)點(diǎn)三共線向量(或平行向量)1定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量若向量a與b平行，記作ab，規(guī)定零向量與任意向量共線2共線向量定理：對空間任意兩個(gè)向量a，b(a0)，b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使ba.1在空間中，單位向量唯一()2在空間中，任意一個(gè)向量都可以進(jìn)行平移()3在空間中，互為相反向量的兩個(gè)向量必共線()4空間兩非零向量相加時(shí)，一定可用平行四邊形法則運(yùn)算()類型一空間向量的概念及應(yīng)用例1如圖所示，以長方體abcda1b1c1d1的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：(1)試寫出與相等的所有向量；(2)試寫出的相反向量；(3)若abad2，aa11，求向量的模解(1)與向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3個(gè)(2)向量的相反向量有，共4個(gè)(3)|3.引申探究如圖，在長方體abcdabcd中，ab3，ad2，aa1，則分別以長方體的頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：(1)單位向量共有多少個(gè)？(2)試寫出模為的所有向量解(1)由于長方體的高為1，所以長方體的四條高所對應(yīng)的向量，共8個(gè)向量都是單位向量，而其他向量的模均不為1，故單位向量共有8個(gè)(2)由于長方體的左右兩側(cè)面的對角線的長均為，故模為的向量有，.反思與感悟在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關(guān)概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個(gè)向量的方向相同、模相等兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反跟蹤訓(xùn)練1給出以下結(jié)論：兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同；若空間向量a，b滿足|a|b|，則ab；在正方體abcda1b1c1d1中，必有；若空間向量m，n，p滿足mn，np，則mp.其中不正確的命題的序號(hào)為_答案解析兩個(gè)空間向量相等，它們的起點(diǎn)、終點(diǎn)不一定相同，故不正確；若空間向量a，b滿足|a|b|，則不一定能判斷出ab，故不正確；在正方體abcda1b1c1d1中，必有成立，故正確；顯然正確類型二空間向量的線性運(yùn)算例2如圖，已知長方體abcdabcd，化簡下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量(1)；(2).解(1).(2)().向量，如圖所示引申探究利用本例題圖，化簡.解結(jié)合加法運(yùn)算，得，0.故0.反思與感悟1.化簡向量表達(dá)式時(shí)，要結(jié)合空間圖形，分析各向量在圖形中的表示，然后利用運(yùn)算法則，把空間向量轉(zhuǎn)化為平面向量解決，并化簡到最簡為止2首尾相接的若干個(gè)向量的和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量；若首尾相接的若干個(gè)向量構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則這些向量的和為0.跟蹤訓(xùn)練2在如圖所示的平行六面體中，求證：2.證明平行六面體的六個(gè)面均為平行四邊形，()()()2()又，.2.類型三向量共線定理的理解與應(yīng)用例3如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，e在a1d1上，且2，f在對角線a1c上，且.求證：e，f，b三點(diǎn)共線證明設(shè)a，b，c，因?yàn)?，所以，所以b，()()abc.所以abcbabc.又bcaabc，所以，又因?yàn)榕c有公共點(diǎn)e，所以e，f，b三點(diǎn)共線反思與感悟1.判定共線：判定兩向量a，b(b0)是否共線，即判斷是否存在實(shí)數(shù)，使ab.2求解參數(shù)：已知兩非零向量共線，可求其中參數(shù)的值，即利用若ab，則ab(r)3判定或證明三點(diǎn)(如p，a，b)是否共線(1)是否存在實(shí)數(shù)，使.(2)對空間任意一點(diǎn)o，是否有t.(3)對空間任意一點(diǎn)o，是否有xy(xy1)跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四面體abcd中，點(diǎn)e，f分別是棱ad，bc的中點(diǎn)，用，表示向量.解()().1下列說法中正確的是_(填序號(hào))若|a|b|，則a，b的長度相等，方向相同或相反；若向量a是向量b的相反向量，則|a|b|；空間向量的減法滿足結(jié)合律；在四邊形abcd中，一定是.答案解析若|a|b|，則a，b的長度相等，方向不確定，故不正確；相反向量是指長度相同，方向相反的向量，故正確；空間向量的減法不滿足結(jié)合律，故不正確；在abcd中，才有，故不正確2在平行六面體abcdabcd的各條棱所在的向量中，與向量相等的向量有_個(gè)答案33在正方體abcda1b1c1d1中，已知下列各式：()；()；()；().其中運(yùn)算的結(jié)果為的有_個(gè)答案4解析根據(jù)空間向量的加法運(yùn)算以及正方體的性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷：()；()；()；().所以4個(gè)式子的運(yùn)算結(jié)果都是.4化簡2233_.答案0解析223322220.5若非零空間向量e1，e2不共線，則使ke1e2與e1ke2共線的k_.考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用答案1解析由ke1e2與e1ke2共線，得ke1e2(e1ke2)，即故k1.空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧：(1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果一、填空題1下列命題中，假命題是_(填序號(hào))任意兩個(gè)向量都是共面向量；空間向量的加法運(yùn)算滿足交換律及結(jié)合律；只有零向量的模等于0；共線的單位向量都相等答案解析容易判斷是假命題，共線的單位向量是相等向量或相反向量2已知空間四邊形abcd中，a，b，c，則_.(用a，b，c表示)答案cab解析如圖，0，即abc0，cab.3在長方體abcda1b1c1d1中，_.答案2解析()()2.4對于空間中的非零向量，有下列各式：ab；|a|b|a|；|a|a|b|.其中一定不成立的是_(填序號(hào))答案解析根據(jù)空間向量的加減法運(yùn)算，對于：aba恒成立；對于：當(dāng)a，b，a方向相同時(shí)，有|a|b|a|；對于：當(dāng)b，a，a在一條直線上且b與a，a方向相反時(shí)，有|a|a|b|.只有一定不成立5在三棱錐abcd中，若bcd是正三角形，e為其中心，則化簡的結(jié)果為_答案0解析延長de交邊bc于點(diǎn)f，則，故0.6.如圖，在平行六面體abcda1b1c1d1中，_，_.答案解析，().7在直三棱柱abca1b1c1中，若ca，cb，c1c，則_.答案abc解析如圖，()cba.8在正方體abcda1b1c1d1中，xy()，則x_，y_.答案1解析()，x1，y.9已知正方體abcda1b1c1d1中，若點(diǎn)f是側(cè)面cd1的中心，且mn，則m，n的值分別是_答案，解析由于()，所以m，n.10在空間四邊形abcd中，若e，f，g，h分別為ab，bc，cd，da邊上的中點(diǎn)，則下列各式中成立的是_(填序號(hào))0；0；0；0.答案解析易知四邊形efgh為平行四邊形，所以0.11.如圖，已知在空間四邊形abcd中，a2c，5a6b8c，對角線ac，bd的中點(diǎn)分別為e，f，則_.(用向量a，b，c表示)答案3a3b5c解析設(shè)g為bc的中點(diǎn)，連結(jié)eg，fg，則(a2c)(5a6b8c)3a3b5c二、解答題12.如圖所示，在平行六面體abcdabcd中，化簡下列表達(dá)式(1)；(2)；(3)；(4).解(1).(2).(3).(4)()().13.如圖，設(shè)o為abcd所在平面外任意一點(diǎn)，e為oc的中點(diǎn)，若xy，求x，y的值解()()()，x，y.三、探究與拓展14設(shè)e1，e2