蘇教版必修5 余弦定理 學案(2).doc

第2課時余弦定理(2)1理解余弦定理，能用余弦定理確定三角形的形狀2熟練邊角互化(重點)基礎(chǔ)初探教材整理射影定理和平行四邊形的性質(zhì)定理閱讀教材p16p17，完成下列問題1射影定理在abc中，(1)bcos cccos ba；(2)ccos aacos cb；(3)acos bbcos ac.2平行四邊形性質(zhì)定理平行四邊形兩條對角線平方的和等于四邊平方的和特別地，若am是abc中bc邊上的中線，則am.1在abc中，若bc3，則ccos bbcos c .【解析】ccos bbcos cbc3.【答案】32若abc中，ab1，ac3，a60，則bc邊上的中線ad .【解析】在abc中，由余弦定理可知bc.ad.【答案】小組合作型利用正、余弦定理解決實際問題某巡邏艇在a處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的c處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10 n mile/h的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14 n mile/h的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？【精彩點撥】先畫出示意圖，再借助正、余弦定理求解【自主解答】如圖，設(shè)該巡邏艇沿ab方向經(jīng)過x h后在b處追上走私船，則cb10x，ab14x，ac9，acb7545120，由余弦定理，得(14x)292(10x)22910xcos 120，化簡得32x230x270，即x或x(舍去)，巡邏艇需要1.5 h才追趕上該走私船bc10x15，ab14x21.在abc中，由正弦定理，得sinbac.bac3813，或bac14147(鈍角不合題意，舍去)，3813458313.答巡邏艇應該沿北偏東8313方向去追，經(jīng)過1.5 h才追趕上該走私船準確理解應用題中的有關(guān)名稱、術(shù)語，如仰角、俯角、方位角等，將要求解的問題歸納到一個或幾個三角形中，通過合理運用余弦定理等解三角形的有關(guān)知識，建立數(shù)學模型，然后正確求解.再練一題1兩船同時從a港出發(fā)，甲船以20 n mile/h的速度向北偏東80的方向航行，乙船以12 n mile/h的速度向北偏西40方向航行，求一小時后，兩船相距多少n mile.【解】一小時后甲船到b處，乙船到c處，如圖，abc中，ab20，ac12，cab4080120，由余弦定理，得bc220212222012cos 120784，bc28(n mile)即一小時后，兩船相距28 n mile.利用正、余弦定理判斷三角形的形狀在abc中，已知(abc)(abc)3ab，且2cos asin bsin c，試確定abc的形狀. 【導學號：92862015】【精彩點撥】(abc)(abc)3ab求c；2cos asin bsin c求a與b的關(guān)系【自主解答】(abc)(abc)3ab，a2b2c2ab，2abcos cab，cos c，c.法一：又2cos asin bsin csin(ab)sin acos bcos asin b，sin acos bcos asin b0，sin(ab)0，ab，abc，abc為等邊三角形法二：由2cos asin bsin c可知2bc，即b2a2，ab，abc，abc為等邊三角形利用正、余弦定理判定三角形形狀的策略再練一題2在abc中，若b60，2bac，試判斷abc的形狀【解】法一根據(jù)余弦定理得b2a2c22accos b.b60，2bac，a2c22accos 60，整理得(ac)20，ac.又2bac，2b2a，即ba.abc是正三角形法二根據(jù)正弦定理，2bac可轉(zhuǎn)化為2sin bsin asin c.又b60，ac120，c120a，2sin 60sin asin(120a)，整理得sin(a30)1，a60，c60，abc是正三角形探究共研型利用正、余弦定理度量平面圖形探究1在abc中，若adbc，則abcos baccos c的值為多少？【提示】如圖，易知abcos bbd，accos ccd，又bdcdbc，故abcos baccos cbc.探究2在abc中，若ad是bac的平分線，則bd與dc有什么關(guān)系？【提示】bddcabac.探究3在abc中，若ad是bc邊上的中線，則ad與ab，ac，bc間存在怎樣的等量關(guān)系？【提示】4ad22(ab2ac2)bc2.abc中，d是bc上的點，ad平分bac，abd面積是adc面積的2倍(1)求；(2)若ad1，dc，求bd和ac的長【精彩點撥】(1)利用正弦定理和三角形的面積公式求解即可(2)利用余弦定理和(1)中得到的結(jié)論求解【自主解答】(1)sabdabadsinbad，sadcacadsincad.因為sabd2sadc，badcad，所以ab2ac.由正弦定理，得.(2)因為sabdsadcbddc，所以bd.在abd和adc中，由余弦定理，知ab2ad2bd22adbdcosadb，ac2ad2dc22addccosadc.故ab22ac23ad2bd22dc26.由(1)，知ab2ac，所以ac1.1平面幾何中的面積、長度問題常借助正、余弦定理求解，合理轉(zhuǎn)化已知條件是求解此類問題的關(guān)鍵2求解此類問題要特別注意隱含條件的挖掘，如(1)中隱含角平分線的性質(zhì)定理；(2)中隱含著adbadc180.再練一題3.如圖121，abc中，abac2，bc2，點d在bc邊上，adc45，求ad的長度圖121【解】在abc中，abac2，bc2，由余弦定理，得cos c，sin c.在adc中，由正弦定理得，ad.1在銳角abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且a4bsin a，則cos b .【解析】a4bsin a，由正弦定理知sin a4sin bsin a，sin b，cos b.【答案】2若平行四邊形兩鄰邊的長分別是和，它們的夾角是45，則這個平行四邊形的兩條對角線的長分別是 【解析】兩條對角線的長分別為和.【答案】3已知a，b兩地的距離為10 km，b，c兩地的距離為20 km，經(jīng)測量，abc120，則a，c兩地的距離為 km. 【導學號：92862016】【解析】ac210220221020cos 120，ac10.【答案】104在abc中，b60，b2ac，則abc的形狀為 【解析】b2a2c22accos 60a2c2ac，a2c2acac，a22acc20，ac.又b60，abc為正三角形【答案】正三角形5如圖122所示，在四邊形abcd中，bc20，dc40，圖122b105，c60，d150，求：(1)ab的長；(2)四邊形abcd的面積【解】(1)連結(jié)bd，因為abc105，c60，adc150，所以a3601056015045.在bcd中，bd2bc2cd22bccdcos c20