數(shù)學人教版八年級上冊含圖形變換的全等探究.doc

含圖形變換的幾何綜合題探究（全等）一、復習回顧1如圖1，在ABC中，BAC=90，D是BC的中點，若C=，則ADB=_2如圖2，在ABC中，AB=5，AC=3，D是BC的中點，則AD的取值范圍為_例：已知：在中，在中，連接，取的中點，連接和（1）若點在邊上，點在邊上且與點不重合，如圖，探索、的關系并給予證明；（2）如果將圖中的繞點逆時針旋轉(zhuǎn)小于45的角，如圖，那么（1）中的結論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明解：（1）與的關系是：，理由如下： ，即：，（2）解法一：（中線倍長法）延長至，使得，連接，延長交于 又又解法二：（構造中位線法）取的中點，取的中點，連接，是的中位線，是的中位線，又又 即解法三：（旋轉(zhuǎn)法）連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，則點旋轉(zhuǎn)至點，點 旋轉(zhuǎn)至點，則 ， 又 ，三點共線是的中點 練習1已知：點P是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A、C重合），分別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點E、F，點O為AC的中點（1）當點P與點O重合時如圖1，易證OE=OF（不需證明）（2）直線BP繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當OFE=30時，如圖2、圖3的位置，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你對圖2、圖3的猜想，并選擇一種情況給予證明解：(2)圖2的結論為：CFOEAE.圖3的結論為：CFOEAE.選圖2的結論證明如下：延長EO交CF于點G.AEBP，CFBP，AECF.EAOGCO.EOAGOC，OAOC，EOAGOC.EOGO，AECG.在RtEFG中，EOGO，OEOFGO.OFE30 ，OFG90 30 60 ，OFG是等邊三角形OFFG.OEOF，OEFG，CFFGCG，CFOEAE.選圖3的結論證明如下：延長EO交FC的延長線于點G.AEBP，CFBP，AECF.AEOG.AOECOG，OAOC，AOECOG.OEOG，AECG.在RtEFG中，OEOG，OEOFOG.OFE30 ，OFG90 30 60 .OFG是等邊三角形，OFFG.OEOF，OEFG.CFFGCG，CFOEAE.2如圖1，ABC與CDE是等腰直角三角形，直角邊AC，CD在同一條直線上，點M，N分別是斜邊AB，DE的中點，點P為AD的中點，連接AE，BD.(1)猜想PM與PN的數(shù)量關系及位置關系，請直接寫出結論；(2)現(xiàn)將圖1中的CDE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)(090)，得到圖2，AE與MP，BD分別交于點G，H.請判斷(1)中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；解：(1)PMPN，PMPN.(2)成立，證明如下：ACB和ECD是等腰直角三角形，ACBC，ECCD，ACBECD90 .ACBBCEECDBCE，即ACEBCD.ACEBCD(SAS)AEBD，CAECBD.又AOCBOE，BHOACO90 .點P，M，N分別為AD，AB，DE的中點，PMBD，PMBD，PNAE，PNAE.PMPN，MGEMPN，MGEBHA180 .又BHA90 ，MGE90 .MPN90 .PMPN.(1)中的結論成立3如圖，已知BAD和BCE均為等腰直角三角形，BAD=BCE=90，點M為DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點N（1）當A，B，C三點在同一直線上時（如圖1），求證：M為AN的中點；（2）將圖1中的BCE繞點B旋轉(zhuǎn)，當A，B，E三點在同一直線上時（如圖2），求證：ACN為等腰直角三角形；（3）將圖1中BCE繞點B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時，（2）中的結論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請說明理由（1）證明：如圖1，ENAD，MAD=MNE，ADM=NEM點M為DE的中點，DM=EM在ADM和NEM中，MADMNE，ADMNEM，DMEM，ADMNEM，AM=MNM為AN的中點（2）證明：如圖2，BAD和BCE均為等腰直角三角形，AB=AD，CB=CE，CBE=CEB=45ADNE，DAENEA=180DAE=90，NEA=90NEC=135A，B，E三點在同一直線上，ABC=180CBE=135ABC=NECADMNEM（已證），AD=NEAD=AB，AB=NE在ABC和NEC中，ABNE，ABCNEC，BCEC，ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN為等腰直角三角形（3）ACN仍為等腰直角三角形證明：如圖3，此時A、B、N三點在同一條直線上ADEN，DAB=90，ENA=DAN=90BCE=90，CBNCEN=3609090=180A、B、N三點在同一條直線上，ABCCBN=180ABC=NECADMNEM（已證），AD=NEAD=AB，AB=NE在ABC和NEC中，ABNE，ABCNEC，BCEC，ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN為等腰直角三角形4已知ABC中，M為BC的中點，直線m繞點A旋轉(zhuǎn)，過B、M、C分別作BDm于D，MEm于E，CFm于F（1）當直線m經(jīng)過B點時，如圖1，易證EM=CF（不需證明）（2）當直線m不經(jīng)過B點，旋轉(zhuǎn)到如圖2、圖3的位置時，線段BD、ME、CF之間有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你的猜想，并選擇一種情況加以證明（1）如圖1，MEm于E，CFm于F，MECFM為BC的中點，E為BF中點，ME是BFC的中位線，EM=CF（2）圖2的結論為ME=（BDCF），圖3的結論為ME=（CFBD）圖2的結論證明如下：連接DM并延長交FC的延長線于K，又BDm，CFm，BDCF，DBM=KCM在DBM和KCM中，DBMKCM，BMCM，BMDKMC，DBMKCM（ASA），DB=CK，DM=MK，由題意知EM=FK，ME=（CFCK）=（CFD