線性代數(shù)考試卷及答案.pdf

南京工業(yè)大學線 性 代 數(shù)試題 A 卷 閉 2008 2009 學年第 二 學期使用班級 計軟 0801 3 班級學號姓名 題號一二三四五六七八總分 得分 符號說明 E表示單位矩陣 R表示矩陣的秩 表示行列式 T表示矩陣的轉(zhuǎn)置 trace A 表示矩陣 A 的足跡 一 填空題 每題 3 分 共 15 分 1 已知2 111 320 zyx 則 111 542 653zyx 2 u為 n 維非零單位列向量 則矩陣 T uu的 n 個特征值分別為 3 設(shè)矩陣 210 120 001 A 矩陣B滿足 2ABABAE 其中 A為A的伴隨矩陣 則 B 4 方程組 121 232 313 xxa xxa xxa 有解的充要條件為 5 已知02 2 EAA 則 1 AE 二 選擇題 每題 3 分 共 15 分 1 設(shè)CBA 是三個同階方陣 E為同階單位矩陣 且EABC 下列等式 EACB EBAC EBCA ECAB ECBA 其中正確的個數(shù)有 A 2 個 B 1 個 C 3 個 D 4 個 2 設(shè) n 21 線性無關(guān) 211 111322 nnnnn 則關(guān)于向量組 n 21 的論述正確的是 A 一定線性無關(guān) B 一定線性相關(guān) C 相關(guān)與否與 n 有關(guān) D 以上均不正確 3 設(shè)三階方矩A的三個特征值分別為 1 2 4 又矩陣 2 3BAAE 則如下正確的是 A 矩陣 不可逆 B 矩陣 三個特征值為 1 3 17 C 矩陣B不可以對角化 D 18trace B 4 設(shè)nm 階矩陣 R Ar 則如下結(jié)論正確的是 A TT R A AR A B TT R A AR A C T R A AR A D T R A AR A 5 如 21321 都 是 四 維 列 向 量 且 4 階 行 列 式m 1321 n 3221 則 4 階行列式 21123 等于 A nm B nm C nm D mn 三 10分 計算n階行列式 mxxx xmxx xxmx n n n 21 21 21 四 12 分 設(shè)四階矩陣 7600 0540 0032 0001 A 方陣B滿足矩陣方程BEAAB 試給出 1 EB 五 12 分 求向量組 1234 1 1 0 1 2 0 1 3 0 2 1 1 0 1 1 1 5 6 1 3 9 的秩和它的一個極大線性無關(guān)組 并把其余向量表示為所求的極大線 性無關(guān)組的線性組合 六 13分 當 a b為何值時 線性非齊次方程組 1234 1234 234 1234 0 23441 3 2 321 xxxx xxxx xaxxb xxxax 無解 有唯一解 或有無窮多組解 在有無窮多解時 求出其通解 七 16分 已知二次型 222 12312312 22f x x xxxxx x 試回答下列問題 1 寫出此二次型的矩陣A 2 利用正交變換QYX 該二次型化為標準型 并給出所使用的正交變換和標準型 3 判斷該二次型是何種二次型 八 7分 設(shè)矩陣 A B均為實正交矩陣且1 A 1B 試證明 0AB 南京工業(yè)大學線 性 代 數(shù)試題 A 卷 試 題 標 準 答 案 2008 2009 學年第一學期使用班級計軟 0801 3 一 填空題 每題 3 分 共 15 分 1 2 2 1 0 n 1 重 3 1 9 4 123 0aaa 5 1 2 A 二 選擇題 每題 3 分 共 15 分 1 A2 C3 B4 B5 D 三 10分 第n 3 2 列加到第1列 2 2 12 2 1 1 1 n n n n xx xmx Dxxxm xxm 4 分 2 12 1 0 00 n n n xx mx xxxm m 8 分 11 12 1 nn n mxxxm 10 分 四 12 分 解 由方陣B滿足矩陣方程BEAAB 可得 EEBAAB2 即 EEBEBA2 6 分 EEBEA2 由 7600 0540 0032 0001 A 故 4300 0320 0021 0001 2 1 1 EAEB 12 分 五 12 分 解 以 521 為列 構(gòu)成矩陣A并進行初等行變換 12345 1200612006 1021101102 0111300011 1311900000 TTTTT A 6 分 秩為 3 8 分 極大線性無關(guān)組為 134 10 分 2135134 2 62 12 分 六 13 分 對方程組的增廣矩陣進行初等行變換 11110 23441 0132 3211 A b ab a 21 31 2 3 rr rr 11110 01221 0132 01231 ab a 32 42 rr rr 11110 01221 00101 00010 B ab a 5 分 顯然可見 當1 1ab 時方程組無解 當1a 時方程組有唯一解 當1 1ab 時 方程組有無窮多組解 8 分 當1 1ab 時繼續(xù)將矩陣B化為行最簡形得 B 11110 01221 00000 00000 12 rr 10111 01221 00000 00000 與原方程組等價的方程組為 134 234 1 122 xxx xxx 令 3 4 0 0 x x 得原方程組的一個特解為 1 1 0 0 11 分 與原方程組對應(yīng)的齊次方程組等價的方程組為 134 234 22 xxx xxx 令 3 4 10 01 x x 得齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系為 12 11 22 10 01 故原方程組有無窮多組解時的通解為 1 122 Xkk 12 k k為任意常數(shù) 13 分 七 16 分 解 1 此二次型的矩陣 110 110 002 A 4 分 2 矩陣的特征多項式為 2 110 110 2 002 A fAE 故矩陣 A 的三個特征值為 0 2 二重 當2 時 求 解 方 程 組 0 AE X 得 兩 個 線 性 無 關(guān) 的 特 征 向 量 12 1 1 1 0 0 0 1 2 TT 當0 時 求解方程組 0 AE X 得特征向量 3 1 1 1 0 2 T 令 123 Q 作 變 換XQY 即 為 正 交 變 換 可 將 二 次 型 化 為 標 準 型 222 1