定值、最值、范圍問題》(命題方向把握).doc

必考問題17與圓錐曲線有關的定點、定值、最值、范圍問題1(2011新課標全國)已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|12，P為C的準線上一點，則ABP的面積為()A18 B24 C36 D48答案： C不妨設拋物線的標準方程為y22px(p0)，由于l垂直于對稱軸且過焦點，故直線l的方程為x.代入y22px得yp，即|AB|2p，又|AB|12，故p6，所以拋物線的準線方程為x3，故SABP61236.2(2011山東)設M(x0，y0)為拋物線C：x28y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則y0的取值范圍是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)答案：Cx28y，焦點F的坐標為(0,2)，準線方程為y2.由拋物線的定義知|MF|y02.以F為圓心、|FM|為半徑的圓的標準方程為x2(y2)2(y02)2.由于以F為圓心、|FM|為半徑的圓與準線相交，又圓心F到準線的距離為4，故4y02，y02.3(2010福建)若點O和點F(2,0)分別為雙曲線y21(a0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則OF的取值范圍為()A32，) B32，)C. D.答案：B如圖，由c2得a214，a23，雙曲線方程為y21. 設P(x，y)(x)，OF(x，y)(x2，y)x22xy2x22x1x22x1(x)令g(x)x22x1(x)，則g(x)在，)上單調(diào)遞增g(x)ming()32.OF的取值范圍為32，)4(2012浙江)定義：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離已知曲線C1：yx2a到直線l：yx的距離等于曲線C2：x2(y4)22到直線l：yx的距離，則實數(shù)a_.解析因曲線C2：x2(y4)22到直線l：yx的距離為 2 ，則曲線C1與直線l不能相交，即x2ax，x2ax0.設C1：yx2a上一點為(x0，y0)，則點(x0，y0)到直線l的距離d，所以a.答案本部分主要以解答題形式考查，往往是試卷的壓軸題之一，一般以橢圓或拋物線為背景，考查定點、定值、最值、范圍問題或探索性問題，試題難度較大復習時不能把目標僅僅定位在知識的掌握上，要在解題方法、解題思想上深入下去解析幾何中基本的解題方法是使用代數(shù)方程的方法研究直線、曲線的某些幾何性質，代數(shù)方程是解題的橋梁，要掌握一些解方程(組)的方法，掌握一元二次方程的知識在解析幾何中的應用，掌握使用韋達定理進行整體代入的解題方法；其次注意分類討論思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想等的應用，如解析幾何中的最值問題往往需建立求解目標的函數(shù)，通過函數(shù)的最值研究幾何中的最值.必備知識有關弦長問題有關弦長問題，應注意運用弦長公式及韋達定理，“設而不求”；有關焦點弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運用，以簡化運算(1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長|P1P2| |x2x1|或|P1P2|y2y1|，其中求|x2x1|與|y2y1|時通常使用韋達定理，即作如下變形：|x2x1| ；|y2y1| .(2)弦的中點問題有關弦的中點問題，應靈活運用“點差法”，“設而不求法”來簡化運算圓錐曲線中的最值(1)橢圓中的最值F1、F2為橢圓1(ab0)的左、右焦點，P為橢圓的任意一點，B為短軸的一個端點，O為坐標原點，則有|OP|b，a；|PF1|ac，ac；|PF1|PF2|b2，a2；F1PF2F1BF2.(2)雙曲線中的最值F1、F2為雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點，P為雙曲線上的任一點，O為坐標原點，則有|OP|a；|PF1|ca.(3)拋物線中的最值點P為拋物線y22px(p0)上的任一點，F(xiàn)為焦點，則有|PF|；A(m，n)為一定點，則|PA|PF|有最小值必備方法1定點、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關系不受變化的量所影響的一個點、一個值，就是要求的定點、定值化解這類問題的關鍵就是引進變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量2解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標函數(shù)和建立不等關系，根據(jù)目標函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點，就是如何建立目標函數(shù)和不等關系建立目標函數(shù)或不等關系的關鍵是選用一個合適變量，其原則是這個變量能夠表達要解決的問題，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點的坐標等，要根據(jù)問題的實際情況靈活處理.該類問題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等知識交匯，形成了過定點、定值等問題的證明難度較大【例1】 (2012湖南)在直角坐標系xOy中，曲線C1上的點均在圓C2：(x5)2y29外，且對C1上任意一點M，M到直線x2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值(1)求曲線C1的方程；(2)設P(x0，y0)(y03)為圓C2外一點，過P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點A，B和C，D.證明：當P在直線x4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值審題視點 聽課記錄審題視點 (1)直接根據(jù)曲線與方程的概念求解，或者轉化為根據(jù)拋物線的定義求解均可；(2)首先建立圓的兩條切線的斜率與點的坐標之間的關系，其次把圓的切線方程與拋物線方程聯(lián)立消元，根據(jù)根與系數(shù)的關系得出縱坐標之和和縱坐標之積，最后從整體上消去參數(shù)(圓的切線斜率)即可得證(1)解法一設M的坐標為(x，y)，由已知得|x2|3.易知圓C2上的點位于直線x2的右側，于是x20，所以x5.化簡得曲線C1的方程為y220x.法二由題設知，曲線C1上任意一點M到圓心C2(5,0)的距離等于它到直線x5的距離因此，曲線C1是以(5,0)為焦點，直線x5為準線的拋物線故其方程為y220x.(2)證明當點P在直線x4上運動時，P的坐標為(4，y0)，又y03，則過P且與圓C2相切的直線的斜率k存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個交點，切線方程為yy0k(x4)，即kxyy04k0.于是3.整理得72k218y0ky90.設過P所作的兩條切線PA，PC的斜率分別為k1，k2，則k1，k2是方程的兩個實根，故k1k2.由得k1y220y20(y04k1)0.設四點A，B，C，D的縱坐標分別為y1，y2，y3，y4，則y1，y2是方程的兩個實根，所以y1y2.同理可得y3y4.于是由，三式得y1y2y3y46 400.所以，當P在直線x4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值6 400. 解圓錐曲線中的定點、定值問題可以先研究一下特殊情況，找出定點或定值，再視具體情況進行研究同時，也要掌握巧妙利用特殊值解決相關的定值、定點問題的選擇題或填空題，如將過焦點的弦特殊化，變成垂直于對稱軸的弦來研究等【突破訓練1】 設拋物線C：y24x，F(xiàn)為C的焦點，過F的直線L與C相交于A，B兩點(1)設L的斜率為1，求|AB|的大小；(2)求證：是一個定值(1)解F(1,0)，直線L的方程為yx1，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x26x10，x1x26，x1x21.|AB|8.(2)證明設直線L的方程為xky1，由得y24ky40.y1y24k，y1y24，(x1，y1)，(x2，y2)Ox1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143.是一個定值該類試題設計巧妙、命制新穎別致，常求特定量、特定式子的最值或范圍常與函數(shù)解析式的求法、函數(shù)最值、不等式等知識交匯，成為近年高考熱點【例2】 (2012浙江)如圖，橢圓C：1(ab0)的離心率為，其左焦點到點P(2,1)的距離為.不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分(1)求橢圓C的方程；(2)求ABP面積取最大值時直線l的方程審題視點 聽課記錄審題視點 (1)利用橢圓的離心率為，其左焦點到點P(2,1)的距離為求解(2)由題意可知直線l的斜率存在，設為ykxm，結合橢圓方程，線段AB被直線OP平分可求k值然后以AB為底，點P到直線AB的距離為高表示出SABP的表達式，借助導數(shù)求最值解(1)設橢圓左焦點為F(c,0)，則由題意得得所以橢圓方程為1.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點為M.當直線AB與x軸垂直時，直線AB的方程為x0，與不過原點的條件不符，舍去故可設直線AB的方程為ykxm(m0)，由消去y，整理得(34k2)x28kmx4m2120，(1)則64k2m24(34k2)(4m212)0，所以線段AB的中點M.因為M在直線OP：yx上，所以.得m0(舍去)或k.此時方程(1)為3x23mxm230，則3(12m2)0，所以|AB|x1x2|.設點P到直線AB距離為d，則d.設ABP的面積為S，則S|AB|d.其中m(2 ，0)(0,2 )令u(m)(12m2)(m4)2，m2 ，2 ，u(m)4(m4)(m22m6)4(m4)(m1)(m1)所以當且僅當m1，u(m)取到最大值故當且僅當m1，S取到最大值綜上，所求直線l方程為3x2y2 20. 求最值或范圍常見的解法：(1)幾何法若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用圖形性質來解決；(2)代數(shù)法若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求最值；(3)求函數(shù)最值常用的代數(shù)法有配方法、判別式法、導數(shù)法、基本不等式法及函數(shù)的單調(diào)性、有界性法等【突破訓練2】 (2012陜西五校聯(lián)考)已知雙曲線x21的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則的最小值為()A2 B C1 D0答案： A由已知得A1(1,0)，F(xiàn)2(2,0)設P(x，y)(x1)，則(1x，y)(2x，y)4x2x5.令f(x)4x2x5，則f(x)在1，)上單調(diào)遞增，所以當x1時，函數(shù)f(x)取最小值，即取最小值，最小值為2.此類問題命題背景寬，涉及知識點多，綜合性強，探究平分面積的線、平分線段的線，或探究等式成立的參數(shù)值常與距離、傾斜角、斜率及方程恒成立問題綜合，形成知識的交匯【例3】 (2011重慶卷改編)如圖，橢圓的中心為原點O，離心率e，且2.(1)求該橢圓的標準方程；(2)設動點P滿足：2，其中M、N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為.問：是否存在兩個定點F1，F(xiàn)2，使得|PF1|PF2|為定值？若存在，求F1，F(xiàn)2的坐標；若不存在，說明理由審題視點 聽課記錄審題視點 (1)利用e，2求a，c.(2)設P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由2可得xx12x2，yy12y2，又點M、N在橢圓x22y24上，可得x2y4，x2y4，再結合直線OM與ON的斜率之積為.可求得點P滿足方程x22y220.由橢圓的定義可求解解(1)由e，2，解得a2，c，b2a2c22，故橢圓的標準方程為1.(2)設P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由2，得(x，y)(x1，y1)2(x2，y2)(x12x2，y12y2)，即xx12x2，yy12y2.因為點M、N在橢圓x22y24上，所以x2y4，x2y4，故x22y2(x4x4x1x2)2(y4y4y1y2)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)設kOM，kON分別為直線OM，ON的斜率，由題設條件知kOMkON，因此x1x22y1y20，所以x22y220.所以P點是橢圓1上的點，設該橢圓的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，則由橢圓的定義|PF1|PF2|為定值，又因c，因此兩焦點的坐標為F1(，0)，F(xiàn)2(，0) 探究是否存在的問題，一般均是先假設存在，然后尋找理由去確定結論，如果真的存在，則能得出相應結論，如果不存在，則會由條件得出相互矛盾的結論【突破訓練3】 (2012濟南模擬)在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個不同的交點P和Q.(1)求k的取值范圍；(2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由解(1)由已知，得直線l的方程為ykx，代入橢圓方程，得(kx)21，整理，得x22kx10，直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于8k244k220，解得k或k，即k的取值范圍為.(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由方程，得x1x2，又y1y2k(x1x2)2.而A(，0)，B(0,1)，(，1)，所以與共線等價于x1x2(y1y2)，將代入上式，解得k，由(1)知k或k，故沒有符合題意的常數(shù)k.圓錐曲線“最”有應得橢圓、雙曲線、拋物線的最值問題的解題方法較靈活，學生時常感到無從下手常遇到面積最大最小問題，距離的最長最短問題，不定量的最大最小問題等等，下面給同學們提供兩種解法，只要掌握了它們，就可以“最”有應得一、幾何法求最值【示例1】 拋物線的頂點O在坐標原點，焦點在y軸負半軸上，過點M(0，2)作直線l與拋物線相交于A，B兩點，且滿足(4，12)(1)求直線l和拋物線的方程；(2)當拋物線上一動點P從點A運動到點B時，求ABP面積的最大值滿分解答(1)根據(jù)題意可設直線l的方程為ykx2，拋物線方程為x22py(p0)由得x22pkx4p0.(2分)設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22pk，y1y2k(x1x2)42pk24.所以(4，12)，所以解得故直線l的方程為y2x2，拋物線方程為x22y.(6分)(2)設P(x0，y0)，依題意，知當拋物線過點P的切線與l平行時，ABP的面積最大對yx2求導，得yx，所以x02，即x02，y0x2，即P(2，2)此時點P到直線l的距離d.(9分)由得x24x40，則x1x24，x1x24，|AB| 4 .于是，ABP面積的最大值為4 8 .(12分)老師叮嚀：當所求的最值是圓錐曲線上的點到某條直線的距離的最值問題時，可以通過作與這條直線平行的圓錐曲線的切線，則兩條平行線間的距離，就是所求的最值，切點就是曲線上取得最值的點，這種求最值的方法稱為切線法切線法的基本思想是數(shù)形結合，其中求曲線的切線方程需要利用導數(shù)知識，判斷切線與曲線的最值需要借助幾何圖形的直觀性，通過圖形來確定何時取得最大值，何時取得最小值二、函數(shù)法求最值【示例2】 (2012廣東)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率e ，且橢圓C上的點到點Q(0,2)的距離的最大值為3.(1)求橢圓C的方程；(2)在橢圓C上，是否存在點M(m，n)，使得直線l：mxny1與圓O：x2y21相交于不同的兩點A、B，且OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的OAB的面積；若不存在，請說明理由滿分解答(1)由e ，得ab，橢圓C：1，即x23y23b2，設P(x，y)為C上任意一點，則|PQ| ，byb.若b1，則b1，當yb時，|PQ|max 3，又b0，得b1(舍去)，若b1，則b1，當y1時，|PQ|max 3，得b1.橢圓C的方程為y21.(6分)(2)法一假設存在這樣的點M(m，n)滿足題意，則有n21，即n21，m.由題意可得SAOB|OA|OB|sinAOB