三視圖體積習題精選.doc

三視圖 習題精選1填出下列幾何體的三視圖2三種視圖都相同的幾何體有_、_3有兩種視圖相同的幾何體有_、_4請你畫了下圖中兩個幾何體的三種視圖5請你根據(jù)下圖給出的俯視圖，畫出棱柱的主視圖和左視圖6畫出下圖中幾何體的三種視圖7下列視圖中，可能是棱柱的三視圖的是（ ）8根據(jù)三視圖，填寫幾何體的名稱（1）幾何體是_（2）（1）（2）幾何體是_（3）幾何體是_（3）（4）（4）幾何體是_（5）幾何體是_（5）9一物體的三視圖如下圖所示，試畫出它的草圖10如圖所示，桌上放著一個杯子和一本書，則下列三個視圖從左到右依次是_視圖，_視圖和_視圖12將一個乒乓球，一個羽毛球和一個圓盤如下圖所示放在一起，你能畫出它的三種視圖嗎？13如圖，根據(jù)主視圖和俯視圖找出物體14請畫出圖中所示棱柱的三視圖多面體和旋轉(zhuǎn)體一、考綱要求1.理解棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓臺、球及其有關概念和性質(zhì).2.掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺和圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積公式(球缺體積公 式不要求記住)，并能運用這些公式進行計算.3.了解多面體和旋轉(zhuǎn)體的概念，能正確畫出直棱柱、正棱住、正棱臺、圓柱、圓錐、圓臺的 直觀圖.4.對于截面問題，只要求會解決與幾種特殊的截面(棱柱、棱錐、棱臺的對角面，棱柱的直 截面，圓柱、圓錐、圓臺的軸截面和平行于底面的截面，球的截面)以及已給出圖形或它的 全部頂點的其他截面的有關問題.二、知識結構1.幾種常凸多面體間的關系2.棱柱、棱錐、棱臺的基本概念和主要性質(zhì)名稱棱柱直棱柱正棱柱圖 形定 義有兩個面互相平行，而其余每相鄰兩個面的交線都互相平行的多面體側棱垂直于底面的棱柱底面是正多邊形的直棱柱側棱平行且相等平行且相等平行且相等側面的形狀平行四邊形矩形全等的矩形對角面的形狀平行四邊形矩形矩形平行于底面的截面的形狀與底面全等的多邊形與底面全等的多邊形與底面全等的正多邊形名稱棱錐正棱錐棱臺正棱臺圖形定義有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形的多面體底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的射影是底面和截面之間的部分用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分由正棱錐截得的棱臺側棱相交于一點但不一定相等相交于一點且相等延長線交于一點相等且延長線交于一點側面的形狀三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形對角面的形狀三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形狀與底面相似的多邊形與底面相似的正多邊形與底面相似的多邊形與底面相似的正多邊形其他性質(zhì)高過底面中心；側棱與底面、側面與底面、相鄰兩側面所成角都相等兩底中心連線即高；側棱與底面、側面與底面、相鄰兩側面所成角都相等3.幾種特殊四棱柱的特殊性質(zhì)名稱特殊性質(zhì)平行六面體底面和側面都是平行四邊行；四條對角線交于一點，且被該點平分直平行六面體側棱垂直于底面，各側面都是矩形；四條對角線交于一點，且被該點平分長方體底面和側面都是矩形；四條對角線相等，交于一點，且被該點平分正方體棱長都相等，各面都是正方形四條對角線相等，交于一點，且被該點平分4.面積和體積公式下表中S表示面積，c、c分別表示上、下底面周長，h表斜高，h表示斜高，l表示側棱長 .名稱側面積(S側)全面積(S全)體 積(V)棱柱棱柱直截面周長lS側+2S底S底h=S直截面h直棱柱chS底h棱錐棱錐各側面積之和S側+S底S底h正棱錐ch棱臺棱臺各側面面積之和S側+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱臺 (c+c)h5.正四面體的性質(zhì) 設正四面體的棱長為a，則這個正四面體的(1)全面積 S全=a2；(2)體積 V=a3；(3)對棱中點連線段的長 d=a；(4)相鄰兩面所成的二面角 =arccos(5)外接球半徑 R=a；(6)內(nèi)切球半徑 r=a.(7)正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和為定值(等于正四面體的高).直角四面體的性質(zhì) 有一個三面角的各個面角都是直角的四面體叫做直角四面體.直角四面 體有下列性質(zhì)：如圖，在直角四面體AOCB中，AOB=BOC=COA=90，OA=a,OB=b,OC=c.則 不含直角的底面ABC是銳角三角形；直角頂點O在底面上的射影H是ABC的垂心；體積 V=abc；底面ABC=；S2ABC=SBHCSABC；S2BOC=S2AOB+S2AOC=S2ABC=+; 外切球半徑 R=；內(nèi)切球半徑 r=6.旋轉(zhuǎn)體 圓柱、圓錐、圓臺、球的公式(1)面積和體積公式圓柱圓錐圓臺球S側2rlrl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h(即r2l)r2hh(r21+r1r2+r22)R3表中l(wèi)、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，r1、r2分別表示圓臺 上、下底面半徑，R表示半徑.(2)圓錐、圓臺某些數(shù)量關系圓錐 圓錐軸截面兩腰的夾角叫圓錐的頂角.如圖，圓錐的頂角為，母線與下底面所成角為，母線為l，高為h，底面半徑為r，則 sin=cos = ，+=90 cos=sin = .圓臺 如圖，圓臺母線與下底面所成角為，母線為l，高為h，上、下底面半徑分別為r 、r，則h=lsinr-r=lcos.球的截面 用一個平面去截一個球，截面是圓面.(1)過球心的截面截得的圓叫做球的大圓；不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫做球的小圓.(2)球心與截面圓圓心的連線垂直于截面.(3)球心和截面距離d,球半徑R，截面半徑r有關系：r=.(3)球冠、球帶和球缺球缺 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓(圓周)叫做球冠的底，垂直于截面 的直徑被截得的一段叫做相應球冠的高.球冠也可以看作一段圓弧繞經(jīng)過它的一個端點的直徑旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面.球冠的面積公式 若球的半徑為R，球冠的高為h，則S球冠=2Rh其中h表示球冠的高，R是球冠所在的球的半徑.球帶 球面在兩個平行截面之間的部分叫做球帶.球帶也可以看作一段圓弧繞它所在的半圓的直徑旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面.球帶的面積公式 若球的半徑為R，球帶的高為h，則S球帶=2Rh球缺 用一個平面截球體所得的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑 被截得的線段長叫做球缺的高.球缺的體積公式 若球的半徑為R，球缺的高h，底面半徑為r，則V球缺=h2(3R-h)= h(3r2+h2)三、知識點、能力點提示(一)多面體例1 如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分別為AB、AC 的中點，平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1V2= _.解：設三棱柱的高為h，上下底的面積為S，體積為V，則V=V1+V2Sh.E、F分別為AB、AC的中點，SAEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，V1V2=75.例2 一個長方體全面積是20cm2，所有棱長的和是24cm，求長方體的對角線長.解：設長方體的長、寬、高、對角線長分別為xcm、ycm、zcm、lcm 2(xy+yz+zx)=20 依題意得： 4(x+y+Z)=24 由2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36 由-得 x2+y2+z2=16即l2=16 l=4(cm).例3 如圖，正三棱錐SABC的側棱和底面 邊長相等，如果E、F分別為AB、SC的中點，那么異面直線EF與SA所成的角等于( ) A.90 B.60 C .450 D.30解：取AC的中點G，連結FG，EGFGSAGFE為異面直線EF與SA所成的角.正三棱錐的棱長為1，則GF=GE=.頂點到A、B、C等距，ABC等邊頂點在底面ABC的射影O是ABC的中心，從而SA在底面上的射影BCSABC，即“正三 棱錐中兩相對棱垂直”.FGE=90.tgEFG=1,EFG=45.應選C.例4 設正六棱錐的底面邊長為1，側棱長為，那么它的體 積為( )A.6 B.2 C. D.2解：由已知可得正六棱錐的底面積S=6設正六棱錐的高為h，則h=2.V=2=.應選C.例5 如果三棱錐SABC的底面是不等邊三角形，側 面與 底面所成的二面角都相等，且頂點S在底面的射影O在ABC內(nèi)，那么O是ABC的( )A.垂心 B.重心 C.外心 D .內(nèi)心解：作OEAB，OFBC，OMCASEO=SFO=SMO,SEOSFOSMO.OE=OF=OM.O為ABC的內(nèi)心，應選D.例6 在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點，那么直線AM和CN所成角的余弦值是( )A. B. C. D.解：如圖，設P為AA1的中點，Q為A1M的中點，則DPCN，PQAM，DPQ是異面直線AM和CN的成角.在DPQ中，DP= =，PQ=AM=，DQ=.由余弦定理得cosDPQ=-.又異面直線所成的角的范圍是（0，90）.直線AM和CN所成角的余弦值是.應選D.例7 已知三棱錐ABCD的體積是V，棱BC的長是a，面ABC 和面 DBC的面積分別是S1和S2.設面ABC和面DBC所成的二面角是，那么sin=_.解：如圖，作AO面BCD于O，作OEBC于E，連結AE.由V=AOS2，得AO=又S1=AEBC，得AE=由三垂線定理知，AEBC，AEO是二面角ABCD的平面角.即AEO=，sin=sinAEO=.例8 若正棱錐的底面邊長與側棱長相等，則該棱錐 一定不是( )A.三棱錐 B.四棱錐C.五棱錐 D.六棱錐解：該棱錐一定不是正六棱錐.否則設正棱錐SABCDEF符合題設，則在SAB和OAB中(O為頂點S在底面的射影)，SA=SB=AB=OA=OB,SABOAB但OAB是SAB在底面的射影，不可能.應選D.例9 如圖，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA= 90，點D1 、F1分別是A1B1、A1C1的中點，若BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成的角的余 弦值是( )A. B. C. D. 解：設BC=CA=CC1=1.取BC中點E，連結EF、D1F，則EFBD1EFA為BD1和AF所成的角.易知FE=D1B= =.由BCA=90，得AE=.AF= =由余弦定理有cosEFA= = = 即BD1和AF1成角的余弦值是.應選A.例10 一個三棱錐，如果它的底面是直角三角形，那么它的三個側面( )A.必然都是非直角三角形 B.至多只能有一個是直角三角形C.至多只能有二個直角三角形 D.可能都是直角三角形解：如圖，三棱錐PABC中，ABC=90，PA面ABC.則PAAC，PAAB，PAC和PAB都是直角三角形.又ACB=90，即ACBC，PCCB，即PCB=90，PCB也是直角三角形.應選D.例11 側棱長為3cm，底面邊長為4cm的正四棱錐的體積為_cm3.解：由已知有底面對角線長為4cm.h=1(cm)V=hS= (cm)3例12 已知長方體ABCDABCD中，棱AA=5，AB=12，那么直 線BC和平面ABCD的距離是_.解：如 圖BCBC，BC面AC，BC面AC，BC面AC.點B到平面ABCD的距離即直線BC到平面ABCD的距離.作BHAB于H，又CB面AABB，BH面AABB，BH面AB，所 以BHCB，從而BH平面ABCD.BHAB=BABB，BH=即直線BC到平面ABCD的距離是.(二)旋轉(zhuǎn)體例13 如果圓臺的上底面半徑為5，下底面半徑為R， 中截面把圓臺分為上、下兩個圓臺，它們的側面積的比為1：2，那么R=( )A.10 B.15 C.20 D.25解D.例14 長方體一個頂點上三條棱的長度分別為3，4，5，且它的8個頂點都在 同一球面上，這個球的 表面積是( )A.20 B.25 C.50 D.200 解：設長方體的對角線長為l，球半徑為R，由已知及對稱性知l=2R,l=5，得R=.S球=4R2=50應選C.例15 若母線長為4的圓錐的軸截面的面積為8,則圓錐的側面積為_(結果中保留).解：設軸截面為SAB，則SA=SB=4,SSAB=8=SASBsinSBA，得sinASB=1，ASB=90，AB=SA=4,S側=rl=()SA=24=8.例16 如果等邊圓柱(即底面直徑與母線相等的圓柱)的體 積是16cm3，那么它的底半徑等于( )A.4cm B.4cm C.2cm D.2cm解：16=r2(2r)=2r3，得r=2(cm)應選D.例17 圓柱軸截面的周長1為定值，那么圓柱體積的最 大值是( )A.()3 B.()3 C.()3 D. ()3解：設r為底半徑，l為母線.由4r+2l=1，得l=V=r2l=(2r)(2r)(2l)()3=()3=()3=()3 .等號僅當2r=2l即r=l=時成立.應選A.例18 設圓錐底面圓周上兩點A、B間的距離為2，圓錐 頂點到 直線AB的距離為，AB和圓錐的軸的距離為1,則該圓錐的體積為_.解：如圖O為底面圓心，OCAB于C.由OA=OB得C為AB中點，由SA=SB，C為AB中點得SCAB于C.OC=1,SC=,AC=CB=1, SO=， OB= = .V=OB2SO= ()2=.例19 在一個實心圓錐體的零部件，它的軸截面是邊 長為10厘米的等邊三角 形，現(xiàn)要在它的整個表面鍍上一層防腐材料，已知每平方厘米的工料價為0.1元，則需要費 用_元(取3.2).解：設圓錐的底半徑為r,由已知有r=5cm,母線長為10cm.S全=52+510=75240(cm2)工料價為2400.1=24元.例20 圓錐母線長為l，側面展開圓心角為240，該 圓錐的體積是( )A. B. C. D. 解：設圓錐底半徑為r，由已知有240=，得r= .h=.V=r2h=()2=應選C.(三)綜合題賞析例21 如圖，平面和相交于直線MN，點A在平面上，點B在平面上， 點C在直線MN上，ACM=BCN =45，A-MN-B是60的二面角，AC=1.求：(1)點A到平面的距離； (2)二面角ABCM的大小.解：(1)作AH平面于H，HDMN于D，連結AD，則ADMN于D，故ADH是二面角AMNB 的平面角，所以ADH=60.在RtACD中，ACD=45，ADC=90，AD=AC=1=.在RtADH中，AH=ADsinADH=sin60即點A到平面的距離是，(2)設二面角ABCM為度，在等腰RtADC中，由斜邊AC=1，得DC=AD=在RtADH中，DH= =在RtDHC中，HC= =作HE直線BC于E，則AEH是二面角ABCM的平面角.HCB =180-(HCD+BCN)=180-HCD-45，sinHCE=sin(45+HCD)=(sinHCD+cosHCD)=HE=HCsinHCE=tgAEH=.即=arctg為所求.例22 如圖，ABCD是邊長為4的 正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直平面ABCD，GC=2.求點B到平面EFG的距離.解：連GB、GE、GF、FE、FB，設點B到面EFG的距離為d.VBEFG=dSGFE. VBEFG=VG-BEF=GCSBEF=BEFd=SBEF=ABF=(AFAB)=2, 在EFG中，GF=GE=2,EF=2,故它的周長之 半P=(EF+FG+GE)=2+2SEFG= P(P-EF)(P-EF)(P-GE)=2d=.即點B到平面EFG的距離是2例23 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，ACB=90，BAC=30，BC=1,AA1=,M是CC的中點.求證：AB1A1M證明：由題設知B1C1A1C1，B1C1C1CB1C1側面A1ACC1.連C1A，則C1A是B1A在面A1ACC1上的射影.設AC1與A1M交于點D.在RtA1B1C1中，B1C1=1,B1A1C1=BAC=30，得A1 C1= .=在RtA1C1M中，=，又AA1C1=A1C1M=90，AA1C1A1C1M,得3=4由 AA1CC1，得1=2，C1DM=C1A1A90，AC1A1M.由三垂線定理，得AB1A1M.例24 如圖，圓錐的軸截面為 等腰RtSAB，Q為底面圓周上一點.(1)若QB 的中點為C，OHSC，求證OH平面SBQ；(2)如果AOQ=60，QB=2，求此圓錐的體積；(3)如果二面角ASBQ的大小為arctg，求 AOQ的大小.解：(1)連OC.SQ=SB，OQ=OB,QC=CB，QBSC，QBOC，得OB面SOC.OH面SOC，得QBOH，又OHSC，OH面SQB.(2)連AQ.Q為底面圓周上的一點，AB為直徑，AQQB在RtAQB中，QBA=30，QB=2AB=4SAB是等腰直角三角形.SO=AB=2，V圓錐=OA2SO=(3)過Q作QMAB于M.由于面SAB面ABQ，得QM面SAB.作MPSB于P，連PQ，則由三垂線定理知QPSB.MPQ是二面角ASBQ的平面角.MPQ=arctg為已知，設圓錐底半徑為r,AOQ=，在RtMPB中，PBM=45，MB=r(1+cos)，MP=r(1+cos)tgMPQ=，=,即=.即tg=，故AOQ=60例25 如圖，A1B1C1 ABC是正三棱柱，D是AC中點.(1)證明AB1平面DBC1；(2)假設AB1BC1，求以BC1為棱、以DBC1與CBC1為面的二面角 的度數(shù).證明：(1)由于A1B1C1ABC是正三棱柱，故四邊形B1BCC1是矩形連B1C交BC1于E，則B1E=EC,連DE.在AB1C中，AD=DC，得DEAB1又AB1面DBC1，DE面DBC1，AB1平面DBC1.(2)作DFBC于F，則DF面B1BCC1；連EF，則EF是ED在面B1BCC1上的射影.AB1B1C1，又由(1)知，AB1DE，DEBC1，從而BC1EFDEF是二面角的平面角.設AC=1,則DC=.ABC是正三角形.在RtDCF中，DF=DCsinC=，CF=DCcosC=.取BC中點G，因BE=EC，故EGBC.在RtBEF中，EF2=BFGF，又BF=BC-FC=,GF=.EF2=，得EF=tgDEF=1.DEF=45即二面角為45.例26 如圖，梯形ABCD中，ADBC,ABC=,AB=a,AD=3a,ADC=arcsin,PA面ABCD,PA=a求:(1)二面角PCDA的大小(用反三角函數(shù)表示)：(2)點A到平面PBC的距離.解：(1)作AE直線CD于E連PE.由PA面ABCD據(jù)三垂線定理知PECD.PEA是二面角PCDA的平面角.在RtAED中,AD=3a,ADE=arcsin.AE=ADsinADE=a在RtPAE,中tgPEA=.PEA=arctg即二面角PCDA的大小為arctg.(2)作AHPB于H由PA面ABCD,得PBBC.又ABBC,得BC面PAB得BCAHAH面PBC，AH的長為點A到面PBC的距離在等腰RtPAB中,AH=a.點A到平面PBC的距離是a例27 如圖，已知RtABC的兩直角邊AC=2、BC=3，P為 斜邊AB上一點，現(xiàn)沿C P將此直三角形析成直二面角APCB，AB=，求二面角PACB的大小.解：由已知ACPB是直二面角，作BDCP于D，則BD平面ACP作DEAC于E，則BEAC， BED是二面角PACB的平面角.作AFDC于F，連BF，則AFB=.設ACP=，則BCP=-，在RtAFB中AB2=AF2+FB2=AF2+DB2+DF2=7AF=2sin,CF=2cosBD=3sin(90-)-3cosCD=3sin(90-)-3cosDF=CD-CF=3sin-2cos(2sin)2+(3cos)2+(3sin-2cos )2=7解得=.在RtBED中DE=CDsin=3sin2=.tgBED=.BED=arctg即二面角PACB的大小是arctg例28 設三棱錐SABC的底面為等腰直角三角形，已知該直角三角形的斜邊 AC長為10，三棱錐的側棱SA=SB=SC=13，求：(1)頂點S到底面的距離；(2)側棱SB與底面所有角的大小(用反三角函數(shù)表示)；(3)二面角ASBC的大小(用反三角函數(shù)表示)；解：如圖(1)作SO底面ABC，由已知SA=SB=SC知，O為底面ABC的外心，又ABC為直角三角形，故O為斜邊AC的中點.SO=12.即頂點S到底面的距離是12.(2)SOB是SB與底面ABC所成的角.COB=arcsin=arcsin(3)作ADSB于D，連結CD.SBAD,SBAC.SB平面ADCCDSB,ADC是二面角ASBC的平面角.易得 AB=BC=5AD=DC=ADC=arccos(-)即二面角ASBC的大小是arccos(-).例29 如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AB=5.AD=4,AA1=3,ABAD,A1AB=A1AD=.(1)求證：頂點A1在底面ABCD的射影O在BAD的平分線上；(2)求這個平行六面體的體積V.解：(1)連A1O，則A1O底面，作OMAB于M，ONAD于N，連AM，AN，A O，由三垂線定理得A1MAB，A1NAD又A1AM=A1AN.RtA1NARtA1MAA1M=A1N,得OM=ON.點O在BAD的平分線上(2)V=30 用等體積法解點到面的距離和體積立幾題 立體幾何是每年高考中的一個重要考查對象,在每年的高考中都占有很大的比例。解立體幾何題需要我們的看圖、讀圖、繪圖能力；也需要我們的轉(zhuǎn)化能力及空間想象能力.因此許多同學學習起感覺到很困難很麻煩，導致在高考中失分較多，影響考試的成績?？v觀近年的高考,我們不難發(fā)現(xiàn)，在立體幾何的考試中，經(jīng)?？疾榈角簏c到面的距離和體積的問題，而這些問題的解決有時借助常規(guī)的方法并不能輕松地獲得結果.這時如果能想到等體積法，則可以給你一種“柳暗花明又一村”的感覺.下面我們將從幾道高考題中感受到這種方法帶給我們的好處。（一） 用等體積法求點到平面的距離 AA1BDECB1C1D1【2005贛文（理）20】如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AB上移動(1) 證明：D1EA1D；(2) 當E為AB的中點時,求點E到面ACD1的距離；(3) AE等于何值時，二面角D1ECD的大小為（）解：設點到平面D1的距離為h，在D1中，D1，D1，故， 而 h=【04年文（21）理（20）】如圖，已知四棱錐PABCD ，PBAD，側面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側面PAD與底面ABCD所成的二面角為120。（）求點P到平面ABCD的距離；（）求面APB與面CPB所成二面角的大小。PBCDEA（）解：取AD的中點E，連結PE，BE。PAD為等邊三角形 PEAD 又PBADAD平面PBE ADBE PEB為平面PAD與平