靜電場(chǎng)練習(xí)題.ppt

1 一個(gè)半徑為R的球體內(nèi) 分布著電荷體密度 kr 式中r是徑向距離 k是常量 求空間的場(chǎng)強(qiáng)分布 并畫出E r圖 補(bǔ)充題 球內(nèi)時(shí) 據(jù)高斯通量定理 得 解 R dr 球外時(shí) O E r R 2 例 圖為一球?qū)ΨQ電荷分布的靜電場(chǎng)的曲線 請(qǐng)指出它是下面哪一種帶電體產(chǎn)生的 1 半徑為R的均勻帶電球面 2 半徑為R的均勻帶電球體 4 半徑為R 電荷體密度 A為常數(shù) 的非均勻帶電球體 3 半徑為R 電荷體密度 A為常數(shù) 的非均勻帶電球體 解 1 2 3 4 常數(shù) 3 半徑為R的無限長圓柱體 柱內(nèi)電荷體密度 ar br r為某點(diǎn)到圓柱軸線的距離 a b為常量 試求帶電圓柱體內(nèi)外電場(chǎng)分布 解 選取長為l 半徑為r 與帶電圓柱同軸的柱形高斯面S 2 補(bǔ)充題 R l r 因此可用高斯定理求解 由高斯定理可知 當(dāng)r R時(shí) 高斯面S內(nèi)所包圍電荷的代數(shù)和為 代入 1 可得 當(dāng)r R時(shí) 高斯面S內(nèi)所包圍電荷的代數(shù)和為 代入 1 可得 因?yàn)殡姾上鄬?duì)軸線呈對(duì)稱分布 所以距軸線為r的場(chǎng)點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)數(shù)值相等 場(chǎng)強(qiáng)方向沿圓柱徑向 S 4 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn) 在地球大氣層的一個(gè)廣大區(qū)域中存在著電場(chǎng) 其方向是豎直向下的 在2 0 102米高度 場(chǎng)強(qiáng)為1 0 102伏特 米 而在3 0 102米高度 場(chǎng)強(qiáng)為0 60 102伏特 米 求從離地200米至300米之間大氣中電荷的平均體密度 解 選取厚為h 半徑為r的園柱形高斯面S 由高斯定理 得 h r E 補(bǔ)充題 5 補(bǔ)充題如圖所示 一半徑為R的半球面 其上均勻地帶有正電荷 電荷面密度為 試求球心處的電場(chǎng)強(qiáng)度E 解 取坐標(biāo)軸OX 將帶電半球面分成許多寬度極窄的半徑不同的帶電圓環(huán) 其上任意一個(gè)圓環(huán)上的帶電量為 為便于計(jì)算 可采用角量描述 因?yàn)?據(jù)帶電圓環(huán)在軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)公式 可得該帶電圓環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)dE的大小為 注意 斜邊 由于dq為正 故dE方向沿X軸正方向 將dq帶入上式 可得 則整個(gè)半球面在球心P點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的大小為 方向沿X軸正方向 6 補(bǔ)充題如圖所示 一無限大均勻帶電平面 電荷面密度為 其上挖去一半徑為R的圓孔 通過圓孔中心O 并垂直于平面的X軸上有一點(diǎn)P OP x 試求P點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng) 解 本題可用取圓環(huán)帶的方法求解 也可用補(bǔ)償法求解 解法一取一細(xì)圓環(huán)帶 其半徑為r r R 帶寬為dr 則圓環(huán)帶的面積為dS 2 rdr 其上帶電量為dq dS 2 rdr 應(yīng)用已知帶電細(xì)圓環(huán)在軸線上的場(chǎng)強(qiáng)公式 可得該圓環(huán)帶在軸線上 7 P點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)的大小 因此 該系統(tǒng)在P點(diǎn)產(chǎn)生總場(chǎng)強(qiáng)的大小為 方向沿X軸正方向 8 解法二半徑為R的圓孔可以看成是其上均勻地分布著電荷面密度為 和 的兩種電荷 若在圓孔上補(bǔ)一個(gè)半徑為R 電荷面密度為 的圓盤 則P點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)可以看成是電荷面密度為 的無限大均勻帶電平面在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)E1和電荷面密度為 半徑為R的帶電圓盤在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)E2的矢量和 由于E1和E2方向均沿X軸方向 P點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)E的大小為 方向沿X軸正方向 9 補(bǔ)充題 解 據(jù)高斯通量定理 得 當(dāng)r R時(shí) 當(dāng)r R時(shí) q R O E R r p p 10 電荷q均勻分布在半徑為R的球體內(nèi) 求距離球心r處 r小于R 的電勢(shì) 據(jù)高斯通量定理 得 p 解 p 補(bǔ)充題 11 兩個(gè)均勻帶電的同心球面 內(nèi)半徑為 外半徑為 電量分別為 求內(nèi)球和外球的電勢(shì) 要求 用多種方法求解 q1 q2 R1 R2 方法 一 由高斯定理可得帶電系統(tǒng)在空間的電場(chǎng)分布為 解 用電勢(shì)定義求解 補(bǔ)充題 由電勢(shì)的定義可得 內(nèi)球電勢(shì)為 外球電勢(shì)為 12 q1 q2 R1 R2 解 方法 二 應(yīng)用電勢(shì)疊加原理求解 半徑為R的均勻帶電球面的電勢(shì)分布為 球內(nèi) 球外 根據(jù)疊加原理 有 13 高斯面 兩同心均勻帶電球面 帶電量分別為q1 q2 半徑分別為R1 R2 求各區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì) 三個(gè)區(qū)域中的任意點(diǎn)分別作同心球面高斯球面 設(shè)面內(nèi)電荷為 q 則 解 補(bǔ)充題 14 高斯面 電勢(shì)分布可由疊加原理和場(chǎng)強(qiáng)積分 兩種方法求出 下面用疊加原理方法求解 15 據(jù)高斯通量定理 得 又 補(bǔ)充題球形電容器是由內(nèi)半徑為RA和外半徑RB的兩個(gè)同心的金屬球殼所組成 求其電容為多少 設(shè)內(nèi)球帶電 q 外球帶電 q 解 RA RB O q q 16 例計(jì)算電量為Q的帶電球面球心的電勢(shì) 解 在球面上任取一電荷元 則電荷元在球心的電勢(shì)為 由電勢(shì)疊加原理球面上電荷在球心的總電勢(shì) 思考 電量分布均勻 圓環(huán) 圓弧 17 18 兩條平行的無限長直均勻帶電線 相距為a 電荷線密度分別為 求 1 這兩根線構(gòu)成的平面上任一點(diǎn)P的場(chǎng)強(qiáng) 2 任一帶電線每單位長度上所受的吸引力 作業(yè)題1 12 19 20 根據(jù)量子理論 正常狀態(tài)的氫原子可以看成一電量為 e的點(diǎn)電荷和球?qū)ΨQ地分布在其周圍的電子云 電子云的電荷密度 式中 試求 1 氫原子內(nèi)的電場(chǎng)分布 2 計(jì)算處的電場(chǎng)強(qiáng)度 并與經(jīng)典原子模型計(jì)算所得的結(jié)果相比較 稱為玻爾半徑 作業(yè)題1 14 7 1 在半徑為r的球面內(nèi)的電子電量與之比為 由對(duì)稱性和高斯定理得 解 21 2 當(dāng)取時(shí) 按經(jīng)典原子模型 電子以半徑作繞核運(yùn)動(dòng) 原子核帶電e它在電子所在處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為 22 解 選取厚為h 半徑為r的園柱形高斯面S 由高斯定理 得 h r E 實(shí)驗(yàn)表明 靠近地面處存在著電場(chǎng) 場(chǎng)強(qiáng)E垂直于地面向下 大小約為100V m 在離地面1 5km高的地方 場(chǎng)強(qiáng)E也是垂直于地面向下的 大小約為25V m 1 計(jì)算從地面到此高度的大氣中電荷的平均體密度 2 若這些電荷全部分布在地球表面 求面電荷密度 作業(yè)題1 15 2 當(dāng)電荷全部分布在地球表面時(shí) 地表面可以看成無限大帶電導(dǎo)體平面 由導(dǎo)體表面附近一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)公式得 其中為地表面外法線方向單位矢量 作業(yè)題1 26 求均勻帶電圓面 盤 軸線上任一點(diǎn)的電場(chǎng) 解 由均勻帶電圓環(huán) 模型 軸線上一點(diǎn)的電場(chǎng) 知 強(qiáng)調(diào) 斜邊 半徑為R的圓面 盤 均勻帶電 電荷的面密度為 求 軸線上距離圓心坐標(biāo)為的P處的場(chǎng)強(qiáng) 討論 即無限大均勻帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)為 可視為點(diǎn)電荷的電場(chǎng) 即帶電平面在無限遠(yuǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)為 25 半徑分別為和的兩個(gè)同心球面都均勻帶電 帶電量分別為和 兩球面把空間分劃為三個(gè)區(qū)域 求各區(qū)域的電勢(shì)分布 并畫出曲線 作業(yè)題1 36 根據(jù)高斯定理 得三個(gè)區(qū)域 場(chǎng)強(qiáng)變化規(guī)律是 解 26 點(diǎn)電荷q處在導(dǎo)體球殼的中心 球殼的內(nèi)半徑為R1 外半徑為R2 求場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)的分布 并畫出E r和U r曲線 作業(yè)題1 50 解 點(diǎn)電荷位于球殼的中心 由靜電感應(yīng)知 球殼內(nèi)表面將均勻帶有總電量 q 球殼外表面均勻帶有總電量 q 可用兩種方法求球殼的電勢(shì) 1 積分法 2 疊加法 q R1 R2 q q III I II 根據(jù)高斯定理得 O O r r E U R1 R1 R2 R2 27 半徑為R1的導(dǎo)體球帶有電荷q 球外有一個(gè)內(nèi)外半徑分別為R2 R3的同心導(dǎo)體球殼 殼上帶有電荷Q 求 1 兩球的電勢(shì)和 2 兩球的電勢(shì)差 3 若用導(dǎo)線把內(nèi)球和球殼連接起來后 和分別為多少 4 在情形 1 和 2 中 若外球殼接地 和分別為多少 5 設(shè)外球離地面很遠(yuǎn) 且內(nèi)球接地 和各為多少 1 由靜電感應(yīng)知 球殼內(nèi)表面帶電為 q 外表面帶電為Q q 如圖 根據(jù)電勢(shì)疊加原理得 解 2 由 式 式得 作業(yè)題1 52 28 3 用導(dǎo)線把內(nèi)球和球殼接起來后 電荷只分布在球殼外表面上 且二者等勢(shì) 如圖 則有 4 當(dāng)外球殼接地時(shí)如圖所示 外球殼電勢(shì)為零由電勢(shì)定義有 29 5 當(dāng)內(nèi)球接地時(shí) 內(nèi)球電勢(shì)為零 因無限遠(yuǎn)外的電勢(shì)也為零 這就要求導(dǎo)體球所帶電量重新分布 由電勢(shì)疊加原理知 由上式得 設(shè)內(nèi)球表面帶電為 則球殼內(nèi)表面帶電 球殼外表面帶電 30 一球形電容器內(nèi)外薄殼的半徑分別為R1和R4 今在兩殼之間放一個(gè)內(nèi)外半徑分別為R2和R3的同心導(dǎo)體殼 求半徑為R1和R4兩球面間的電容 作業(yè)題1 62 因靜電感應(yīng) 各球面帶電情況如圖所示 導(dǎo)體內(nèi)部無電場(chǎng) 解 31 32 半徑分別為r與R的兩個(gè)球形導(dǎo)體 各帶電荷q 兩球相距很遠(yuǎn) 若用細(xì)導(dǎo)線將兩球相連接 求 1 每個(gè)球所帶電荷 2 每球的電勢(shì) 補(bǔ)充題 兩球相距很遠(yuǎn) 可視為孤立導(dǎo)體 互不影響 球上電荷均勻分布 而 則兩球電勢(shì)分別是 解 導(dǎo)線連接后電荷分別為q1和q2 兩球連接后電勢(shì)相等 由此得到 兩球電勢(shì) r R q1 q2 q q 33 電量為q的點(diǎn)電荷絕緣地放在導(dǎo)體球殼的中心 球殼的內(nèi)半徑為R1 外半徑為R2 求球殼的電勢(shì) 解 點(diǎn)電荷位于球殼的中心 由靜電感應(yīng)知 球殼內(nèi)表面將均勻帶有總電量 q 球殼外表面均勻帶有總電量q 電場(chǎng)的分布具有球?qū)ΨQ性 此時(shí)可用兩種方法求球殼的電勢(shì) 1 積分法 2 疊加法 補(bǔ)充題 34 如圖所示 半徑為R1的導(dǎo)體球帶電量q 在它外面同心地罩一金屬外殼 其內(nèi)外壁的半徑分別為R2與R3 已知R2 2R1 R3 3R1 今在距球心為d 4R1處放一電量為Q的點(diǎn)電荷 并將導(dǎo)體球殼接地 試問 1 球殼帶的總電量是多大 2 如果用導(dǎo)線將殼內(nèi)導(dǎo)體球與殼相連 球殼帶電量是多大 1 由于靜電感應(yīng)球殼內(nèi)表面為 設(shè)外表面帶電為 如圖所示 導(dǎo)體球與導(dǎo)體球殼之間的電勢(shì)差為 導(dǎo)體球的電勢(shì)為 由于導(dǎo)體球殼接地 故 補(bǔ)充題 解 35 導(dǎo)體球與導(dǎo)體球殼之間的電勢(shì)差為 2 當(dāng)用導(dǎo)線將殼內(nèi)導(dǎo)體球與殼相連后 導(dǎo)體球與導(dǎo)體球殼等勢(shì) 電勢(shì)為零 電荷只能分布在導(dǎo)體球殼外表面上 設(shè)外表面帶電為 故 36 半徑為R1的導(dǎo)體球帶有電荷q 球外有一個(gè)內(nèi) 外半徑分別為R2 R3的同心等體球殼 殼上帶有電荷Q 如果在球殼外再放一個(gè)內(nèi)半徑為R4 外半徑為R5的同心導(dǎo)體球殼 殼上帶有電荷 問 1 和各為多少 2 內(nèi)球與最外球殼之間的電勢(shì)差是多少 補(bǔ)充題 解 1 根據(jù)靜電感應(yīng)知 各球殼內(nèi)外表面帶電量如圖所示 2 37 如圖所示 在一個(gè)接地導(dǎo)體球附近放一個(gè)點(diǎn)電荷q 已知球的半徑為R 點(diǎn)電荷q與球心的距離為a 試求導(dǎo)體表面上總的感應(yīng)電荷q 由電勢(shì)疊加原理可知 球心O處的電勢(shì)V0是點(diǎn)電荷q以及球面上感應(yīng)電荷q 共同產(chǎn)生的 根據(jù)靜電感應(yīng)規(guī)律 導(dǎo)體是一個(gè)等勢(shì)體 因?qū)w接地 故令導(dǎo)體球的電勢(shì)為零 則 球心O的電勢(shì)也為零 接地后導(dǎo)體球表面的感應(yīng)電荷q 在球面上的分布是不均勻的 設(shè)感應(yīng)電荷面密度為 點(diǎn)電荷q在球心O處產(chǎn)生的電勢(shì)為 因?qū)w球上感應(yīng)電荷q 在球面上的分布不均勻 各處 也不一樣 所以感應(yīng)電荷q 在球心的電勢(shì)由積分計(jì)算 為 所以 球心O處的總電勢(shì)為 負(fù)號(hào)表示感應(yīng)電荷與球外電荷q的符號(hào)相反 q R a 補(bǔ)充題 解 故 q O 強(qiáng)調(diào) 38 半徑為R的金屬球與地相聯(lián)接 在與球心相距d 2R處的一點(diǎn)電荷q q 0 求球上的感應(yīng)電荷q 有多少 靜電平衡時(shí) 導(dǎo)體為一等勢(shì)體 即為電勢(shì)為零的等勢(shì)體 從而球心處的電勢(shì)零 而感應(yīng)電荷相距球心是等距的 從而我們有 補(bǔ)充題 解 39 解 令無限長直線如圖放置 電荷線密度為 計(jì)算在x軸上距直線為r的任一點(diǎn)P處的電勢(shì) 因?yàn)闊o限長帶電直線的電荷分布延伸到無限遠(yuǎn)的 所以在這種情況下不能用連續(xù)分布電荷的電勢(shì)公式來計(jì)算電勢(shì)V 否則必得出無限大的結(jié)果 顯然是沒有意義的 同樣也不能直接用公式來計(jì)算電勢(shì) 不然也將得出電場(chǎng)任一點(diǎn)的電勢(shì)值為無限大的結(jié)果 計(jì)算無限長均勻帶電直線電場(chǎng)的電勢(shì)分布 為了能求得P點(diǎn)的電勢(shì) 可先應(yīng)用電勢(shì)差和場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系式 求出軸上P點(diǎn)與參考點(diǎn)P1的電勢(shì)差 無限長均勻帶電直線在X軸上的場(chǎng)強(qiáng)為 過P點(diǎn)沿X軸積分可算得P點(diǎn)與參考點(diǎn)P1的電勢(shì)差 由于ln1 0 所以本題中若選離直線為r1 1m處作為電勢(shì)零點(diǎn) 則很方便地可得P點(diǎn)的電勢(shì)為 這個(gè)例題的結(jié)果再次表明 在靜電場(chǎng)中只有兩點(diǎn)的電勢(shì)差有絕對(duì)的意義 而各點(diǎn)的電勢(shì)值卻只有相對(duì)的意義 補(bǔ)充題 40 均勻帶電圓環(huán) 帶電量為q 半徑為R 求軸線上任意一點(diǎn)的P電勢(shì) 解 法一 法二 補(bǔ)充題 41 解 已知均勻帶電圓盤 半徑為R 面電荷密度為 求圓盤軸線上任一點(diǎn)P的電勢(shì) 并從電勢(shì)出發(fā)計(jì)算E 取圓環(huán)r r dr 補(bǔ)充題 42 解 采用補(bǔ)償法來求解 電荷密度均勻?yàn)?的球體內(nèi) 有一球形空腔 將坐標(biāo)原點(diǎn)建立在球心o上 空腔球心的位置矢量為 試求空腔內(nèi)任意點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng) 利用高斯定理可求均勻帶電 沒有空腔的 球體內(nèi)的任意點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng) 同理負(fù)電荷均勻帶電球體產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) 在空腔內(nèi)任意點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng) 腔內(nèi)為均勻電場(chǎng) 補(bǔ)充題 43 例7 20金屬球A與金屬球殼B同心放置 已知球A半徑為R1 帶電為q 金屬殼B內(nèi)外半徑分別為R2 R3 帶電為Q 求 1 系統(tǒng)的電荷分布 2 空間電勢(shì)分布及球A和殼B的電勢(shì) 3 若B接地 結(jié)果又如何 解 1 靜電平衡時(shí) 導(dǎo)體 凈 電荷只能分布在導(dǎo)體表面上 球A的電量只可能在球的表面 殼B有兩個(gè)表面 電量分布在內(nèi) 外兩個(gè)表面 由于A B對(duì)稱中心重合 電荷及場(chǎng)分布應(yīng)該對(duì)該中心是球?qū)ΨQ 電荷在導(dǎo)體表面均勻分布 44 按照高斯定理和電荷守恒定律 電荷分布如圖所示 可以等效為 真空中三個(gè)中心相互重合的均勻帶電球面 2 利用疊加原理求電勢(shì) 45 46 3 若B接地 球殼外表面的電荷將消失 思考 若A B用導(dǎo)線連接 結(jié)果如何 47 已知 導(dǎo)體板A 面積為S 帶電量Q 在其旁邊放入導(dǎo)體板B 求 1 A B上的電荷分布及空間的電場(chǎng)分布 2 將B板接地 求電荷分布 a點(diǎn) b點(diǎn) A板 B板 解方程得 電荷分布 48 場(chǎng)強(qiáng)分布 兩板之間 板左側(cè) 板右側(cè) 49 半徑為R的導(dǎo)體球 放在內(nèi) 外半徑為和的同心導(dǎo)體球殼內(nèi) 若球和球殼分別帶電q和Q 試求 1 球和球殼的電勢(shì) 2 若用導(dǎo)線將球和球殼連接 此時(shí)它們的電勢(shì)又為多少 解 q q Q 50 補(bǔ)充題由無限長直線電荷的場(chǎng)推導(dǎo)無限大平面電荷的場(chǎng) 設(shè)電荷面密度 場(chǎng)點(diǎn)距平面a 如圖1 7 電荷元線密度 dy 利用長直電荷的結(jié)果 有 利用對(duì)稱關(guān)系 可只考慮方向 51 均勻帶電圓環(huán) 帶電量為q 半徑為a 求軸線上任意一點(diǎn)的P勢(shì) 解 法一 法二 52 解 例已知均勻帶電圓盤 半徑為R 面電荷密度為 求圓盤軸線上任一點(diǎn)P的電勢(shì) 并從電勢(shì)出發(fā)計(jì)算E 取圓環(huán)r r dr 53 例在氫原子內(nèi) 電子和質(zhì)子的間距為求它們之間電相互作用和萬有引力 并比較它們的大小 解 54 在真空中有電量分別為 Q和 Q的A B兩帶電平板 相距為d 已知d很小 面積為S 試分析兩板間的相互作用力的大小 補(bǔ)充題 對(duì)于兩板間的相互作用力 有人說 根據(jù)庫侖定律 則 又有人說 根據(jù)F QE 據(jù)題意可知A B兩板可近似認(rèn)為是無限大帶電板 于是 則 實(shí)際上兩種說法都不對(duì) 在第一種說法中 因?yàn)閐很小 因此兩帶電板已不能看作是點(diǎn)電荷系統(tǒng) 因此 該問題不能直接用庫侖定律求解 在第二種說法中 雖然F QE是正確的 但對(duì)E的理解有誤 因?yàn)镕 QE中的E是指Q所在處的場(chǎng)強(qiáng) 而在第二種說法卻把兩板的合場(chǎng)強(qiáng)看作為Q所在處的場(chǎng)強(qiáng) 因此也是不對(duì)的 正確的解法是 A板上的電荷Q在B板Q產(chǎn)生的場(chǎng)中 其 因此 A板上的電荷Q能受的電場(chǎng)力為 同理 這是一對(duì)作用力和反作