數(shù)列與三角函數(shù)練習(xí)題 難題.doc

例1已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列bn是公比為q的(qR且q1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f(x)=(x1)2，且a1=f(d1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q1)，(1)求數(shù)列an和bn的通項公式；解：(1)a1=f(d1)=(d2)2，a3=f(d+1)=d2，a3a1=d2(d2)2=2d，d=2，an=a1+(n1)d=2(n1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q1)=(q2)2，=q2，由qR，且q1，得q=2，bn=bqn1=4(2)n1例2設(shè)An為數(shù)列an的前n項和，An= (an1)，數(shù)列bn的通項公式為bn=4n+3;(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)把數(shù)列an與bn的公共項按從小到大的順序排成一個新的數(shù)列，證明：數(shù)列dn的通項公式為dn=32n+1;解：(1)由An=(an1)，可知An+1=(an+11)，an+1an= (an+1an)，即=3，而a1=A1= (a11)，得a1=3，所以數(shù)列是以3為首項，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列an的通項公式an=3n.(2)32n+1=332n=3(41)2n=342n+C42n1(1)+C4(1)+(1)2n=4n+3，32n+1bn.而數(shù)32n=(41)2n=42n+C42n1(1)+C4(1)+(1)2n=(4k+1)，32nbn，而數(shù)列an=a2n+1a2n，dn=32n+1.例3數(shù)列an滿足a1=2，對于任意的nN*都有an0,且(n+1)an2+anan+1nan+12=0，又知數(shù)列bn的通項為bn=2n1+1.(1)求數(shù)列an的通項an及它的前n項和Sn；(2)求數(shù)列bn的前n項和Tn；(3)猜想Sn與Tn的大小關(guān)系，并說明理由.解：(1）可解得，從而an=2n，有Sn=n2+n，(2)Tn=2n+n1.(3)TnSn=2nn21，驗證可知，n=1時，T1=S1，n=2時T2S2；n=3時，T3S3;n=4時，T4S4；n=5時，T5S5；n=6時T6S6.猜想當(dāng)n5時，TnSn，即2nn2+1可用數(shù)學(xué)歸納法證明(略）.例4數(shù)列an中，a1=8,a4=2且滿足an+2=2an+1an,(nN*).(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)Sn=a1+a2+an,求Sn;(3)設(shè)bn=(nN*),Tn=b1+b2+bn(nN*),是否存在最大的整數(shù)m，使得對任意nN*均有Tn成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.解：(1）由an+2=2an+1anan+2an+1=an+1an可知an成等差數(shù)列，d=2,an=102n.(2)由an=102n0可得n5，當(dāng)n5時，Sn=n2+9n，當(dāng)n5時，Sn=n29n+40，故Sn=(3)bn=；要使Tn總成立，需T1=成立，即m8且mZ，故適合條件的m的最大值為7.例5已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+b10=145.(1)求數(shù)列bn的通項bn；(2)設(shè)數(shù)列an的通項an=loga(1+)(其中a0且a1),記Sn是數(shù)列an的前n項和，試比較Sn與logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論.解：(1)設(shè)數(shù)列bn的公差為d，由題意得：解得b1=1,d=3,bn=3n2.(2)由bn=3n2,知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+)，logabn+1=loga.因此要比較Sn與logabn+1的大小，可先比較(1+1)(1+)(1+)與的大小，取n=1時，有(1+1)取n=2時，有(1+1)(1+) 由此推測(1+1)(1+)(1+)若式成立，則由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可判定：當(dāng)a1時，Snlogabn+1，當(dāng)0a1時，Snlogabn+1，例1已知ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B，設(shè)x=cos，f(x)=cosB().(1)試求函數(shù)f(x)的解析式及其定義域；(2)判斷其單調(diào)性，并加以證明；(3)求這個函數(shù)的值域.解：(1)A+C=2B，B=60，A+C=1200|60，x=cos(，1又4x230，x，定義域為(，)(，1.(2)設(shè)x1x2，f(x2)f(x1)=，若x1，x2()，則4x1230，4x2230，4x1x2+30，x1x20，f(x2)f(x1)0即f(x2)f(x1)，若x1，x2(，1，則4x1230.4x2230，4x1x2+30，x1x20，f(x2)f(x1)0.即f(x2)f(x1)，f(x)在(,)和(，1上都是減函數(shù).(3)由(2)知，f(x)f()=或f(x)f(1)=2.故f(x)的值域為(，)2，+.例2在ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則的值為_.解析：A+B+C=，A+C=2B，3、已知ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B.，求cos的值.解法一：由題設(shè)條件知B=60，A+C=120.設(shè)=，則AC=2，可得A=60+，C=60，依題設(shè)條件有整理得4cos2+2cos3=0(M)(2cos)(2cos+3)=0，2cos+30，2cos=0.從而得cos.解法二：由題設(shè)條件知B=60，A+C=120，把式化為cosA+cosC=2cosAcosC ，利用和差化積及積化和差公式，式可化為 ， 將cos=cos60=，cos(A+C)=代入式得：將cos(AC)=2cos2()1代入 ：4cos2()+2cos3=0，(*)， 例4、在ABC中，A為最小角，C為最大角，已知cos(2A+C)=，sinB=，則cos2(B+C)=_.解析：A為最小角2A+C=A+A+CA+B+C=180.cos(2A+C)=，sin(2A+C)=.C為最大角，B為銳角，又sinB=.故cosB=.即sin(A+C)=，cos(A+C)=.cos(B+C)=cosA=cos(2A+C)(A+C)=，cos2(B+C)=2cos2(B+C)1=.5、已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積.解：如圖：連結(jié)BD，則有四邊形ABCD的面積：S=SABD+SCDB=ABADsinA+BCCDsinCA+C=180，sinA=sinC故S=(ABAD+BCCD)sinA=(24+64)sinA=16sinA由余弦定理，在ABD中，BD2=AB2+AD22ABADcosA=2016cosA在CDB中，BD2=CB2+CD22CBCDcosC=5248cosC2016cosA=5248cosC，cosC=cosA，64cosA=32，cosA=，又0A180，A=120故S=16sin120=8.6、如右圖，在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角的正弦成正比，角和這一點到光源的距離 r的平方成反比，即I=k，其中 k是一個和燈光強度有關(guān)的常數(shù)，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？解：R=rcos，由此得：，7、在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，.(1)求角A的度數(shù)；(2)若a=，b+c=3，求b和c的值.8、在ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a、b、3c成等比數(shù)列，又AC=，試求A、B、C的值解：由a、b、3c成等比數(shù)列，得：b2=3acsin2B=3sinCsinA=3()cos(A+C)cos(AC)B=(A+C).sin2(A+C)=cos(A+C)cos即1cos2(A+C)=cos(A+C)，解得cos(A+C)=.0A+C，A+C=.又AC=A=，B=，C=. 9、在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點，使沿線段DE折疊三角形時，頂點A正好落在邊BC上，在這種情況下，若要使AD最小，求ADAB的值. .解：按題意，設(shè)折疊后A點