微積分及經(jīng)濟學(xué)應(yīng)用.doc

第3章 微積分及其經(jīng)濟學(xué)應(yīng)用3.1 一元函數(shù)和多元函數(shù)在數(shù)學(xué)上，函數(shù)的定義為：如果在一個變化過程中有兩個變量和，對任意給定的值，僅存在一個值與其對應(yīng)，則稱是的函數(shù)，表示為。其中為自變量，為因變量。由于函數(shù)關(guān)系中僅有一個自變量，因此該函數(shù)稱為一元函數(shù)。能夠取得的所有值的集合稱為函數(shù)定義域，能夠取得的所有值的集合稱為函數(shù)值域。在對經(jīng)濟問題的分析過程中，我們通常用函數(shù)來描述經(jīng)濟變量之間的變化關(guān)系。例如，在商品的供求關(guān)系中，定義某種商品價格為，需求量為，供給量為。那么，需求與價格的函數(shù)關(guān)系可以表示為：，。然而我們所處的經(jīng)濟環(huán)境是非常復(fù)雜的，每一個經(jīng)濟變量都要受到多種因素的影響。因此，采用一元函數(shù)來分析經(jīng)濟問題就會有很大的局限性。所以我們常常采用多元函數(shù)來研究經(jīng)濟問題。多元函數(shù)是在一個函數(shù)關(guān)系中函數(shù)值是由多個變量確定的，用的形式來表示，它表示因變量的值取決于個自變量的大小。例如在消費理論的基本假設(shè)中，每個消費者都同時對多種商品有需求，“效用”取決于所消費的各種商品的數(shù)量，效用函數(shù)就可以表示為，其中表示消費者的效用，是對種商品的消費量。這個函數(shù)稱為效用函數(shù)。同樣，生產(chǎn)函數(shù)常表示為，為產(chǎn)出水平，表示資本，表示勞動力。它說明產(chǎn)出水平既取決于勞動力又取決于資本。Q=A*L alpha *K beltaA=1;alpha=0.5;belta=0.5;3.2水平曲線二元函數(shù)的水平曲線定義為：，為常數(shù)，它表示曲面上值為常數(shù)的點連接而成的曲線。對于三元函數(shù)，稱為水平曲面，它表示值為常數(shù)的點連接而成的曲面。水平曲線在經(jīng)濟學(xué)中有重要的應(yīng)用，如生產(chǎn)函數(shù)為，其中為產(chǎn)出，為勞動力，為資金，如下圖所示第一象限中的點表示正的勞動投入和資金投入的所有可能組合，且每一個點對應(yīng)一個值，所有對應(yīng)的點（L，K）連接起來就是一條曲線，這條曲線就是一條水平曲線，經(jīng)濟學(xué)家將這條水平曲線稱為等產(chǎn)量曲線，實際上這條曲線是用平面截曲面所得曲線在平面的投影。自然這條曲線上所有點對應(yīng)的值為5，如下圖中，點A、B、C、D對應(yīng)的值皆為5，因此將這條水平線也稱為等值線、等高線，E點則代表產(chǎn)出為10的等產(chǎn)量曲線，F(xiàn)點則代表產(chǎn)出為15的等產(chǎn)量曲線，可見越向右上方向的等產(chǎn)量曲線的產(chǎn)出值越大。在消費理論中，假設(shè)消費者只消費兩種商品，那么它的效用取決于這兩種商品消費量的組合。如果用表示效用，分別表示這兩種商品的消費量，那么它的效用函數(shù)就是二元函數(shù)，可以表示為。平面直角坐標(biāo)系第一象限中的點表示出兩種商品消費量的所有可能組合，平面上的每一點對應(yīng)曲面上的一個值。如果將對應(yīng)的點連起來就表示在效用水平為的情況下的一條水平曲線。經(jīng)濟學(xué)上將這條水平曲線稱為無差異曲線或等效用曲線。3.3 極限1.極限的定義數(shù)列極限的定義：在數(shù)列中，任取，如果存在，使得當(dāng)時，則稱當(dāng)趨于無窮大時，為的極限。表示為： 或者。在數(shù)列中，與一一對應(yīng)，因此可以將視為定義域為正整數(shù)的函數(shù)。因此對數(shù)列極限的定義進行推廣，就可以得到函數(shù)當(dāng)和極限的定義。函數(shù)極限的定義當(dāng)時函數(shù)極限的定義：任取，存在，使得當(dāng)時，那么常數(shù)為當(dāng)時的極限，記為或者。當(dāng)時函數(shù)極限的定義：任取，存在，使得當(dāng)時，那么常數(shù)為當(dāng)時的極限，記為或者。2. 左極限與右極限當(dāng)從的左側(cè)（即小于的方向）趨向于（記為），若此時有極限，則稱為當(dāng)時的左極限。記為或者。當(dāng)從的右側(cè)（即大于的方向）趨向于（記為），若此時有極限，則稱為當(dāng)時的右極限。記為或者。3. 極限的運算法則定理：如果，且A，B有限則(1) (2) (3) (4) 4. 兩個重要的極限(1) ，(2) 3.4連續(xù)復(fù)利連續(xù)復(fù)利的計算，是函數(shù)極限在經(jīng)濟學(xué)的經(jīng)典應(yīng)用。假設(shè)一個人將元存入銀行，銀行年利率為，若利息按復(fù)利計息，每年計算一次，則年底時他的存款總額為。如果銀行改為半年計算一次利息，年利率不變，則半年的利率為，則年底時，他的存款總額應(yīng)為元。當(dāng)銀行每年計息次，可以推得，年底時存款總額應(yīng)為元。當(dāng)銀行在年內(nèi)連續(xù)計息時，即時，年底存款總額為元。對其求極限可以得到：因此，在連續(xù)計息的情況下，年底時這個人的存款的余額為元。我們可以將其推廣到存款多年的情況，在連續(xù)計息時，第二年年底的存款余額為元，則可以得出年末的存款余額為元。因此，連續(xù)復(fù)利時，本金為元，年利率為，則年末的資金余額為：元。同樣可以得到，年末的資金元，在連續(xù)復(fù)利的情況下，貼現(xiàn)值為：。3.5一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1. 一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)為定義在集合上的一元函數(shù)，則函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)定義為：或2. 導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：設(shè)函數(shù)和都在點可導(dǎo)，則這兩個函數(shù)的和、差、積、商均在點可導(dǎo)。(1) (為常數(shù))；(2) ；(3) ；(4) ，3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)鏈式法則設(shè)函數(shù)是和的復(fù)合函數(shù)，且函數(shù)在點處可導(dǎo)，在點處可導(dǎo)，則有或（鏈式法則）3.6二元函數(shù)求偏導(dǎo)3.6.1二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的定義為：設(shè)函數(shù)在點的一個鄰域有定義，當(dāng)固定在而在處有增量時，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點的對的偏導(dǎo)數(shù)，記作，或類似地，函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)定義為記作，或如果函數(shù)在定義域內(nèi)每一點對的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)是、的函數(shù)，它就稱為對的偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)。記作，類似地，可以定義對自變量的偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)，在求偏導(dǎo)數(shù)時，實際上和一元函數(shù)求導(dǎo)方法相同，求時，只要把y看作常量而對求導(dǎo)數(shù)；求時，只要把看作常量而對求導(dǎo)數(shù)。3.6.2二元函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)，那么在內(nèi)，都是、的函數(shù)，如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，按照對變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)：， ，類似地，可以定義三階、四階以及階偏導(dǎo)數(shù)，二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)，在二階偏導(dǎo)數(shù)計算中引出一個重要定理：楊格定理 如果函數(shù)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)，在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么自該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。楊格定理說明在求導(dǎo)時不必關(guān)心求導(dǎo)的順序。3.7多元函數(shù)的求導(dǎo)二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到多元的情況，定義為：多元偏導(dǎo)數(shù)的計算并不需要引入新的方法。因為在函數(shù)中僅有一個自變量在變化，其他各個自變量都是固定的，所以，在計算時只需要將其他自變量看作常量，對變動的自變量運用一元函數(shù)求導(dǎo)法則計算即可。二元函數(shù)的楊格定理也可以直接推廣到多元函數(shù)如果元函數(shù)對于的一階偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)是連續(xù)的，則有對于多元函數(shù)的求導(dǎo)有一個重要的向量和矩陣，稱為梯度向量和海賽（Hessian）矩陣定義元函數(shù)對于的一階偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的維列向量稱為梯度向量，記為，即，其中元函數(shù)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)組成的矩陣稱為的海賽（Hessian）矩陣，記為：即其中，根據(jù)楊格定理，故為對稱矩陣。3.8隱函數(shù)3.8.1 定義我們將方程確定的函數(shù)關(guān)系，稱為隱函數(shù)，既對于任意一組變量，相應(yīng)地總有滿足方程的唯一的值存在，那么就稱方程確定了一個隱函數(shù)隱函數(shù)不一定能寫為y=f(x)的形式，因此按照函數(shù)“設(shè)x和y是兩個變量，D是實數(shù)集的某個子集，若對于D中的每個值x，變量y按照一定的法則有一個確定的值y與之對應(yīng)，稱變量y為變量x的函數(shù)，記作 y=f(x).”的定義，隱函數(shù)不一定是“函數(shù)”，而是“方程”。 總的說來，函數(shù)都是方程，但方程卻不一定是函數(shù)。 把隱函數(shù)化成顯函數(shù)，叫做隱函數(shù)的顯化。例如將方程解出，就把隱函數(shù)化成顯函數(shù)。要注意的是方程能確定隱函數(shù)，一般并不都能從方程中解出，并用自變量的算式來表示。對于方程可以證明確實存在一個定義在上的函數(shù)，使得但這函數(shù)卻無法用的算式來表達。3.8.2隱函數(shù)經(jīng)濟問題的應(yīng)用在經(jīng)濟問題分析中，需要計算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)。例如，經(jīng)濟學(xué)中的一個內(nèi)生變量y和一組外生變量常滿足一個方程在一定條件（或一定經(jīng)濟背景）下，對某給定區(qū)域給定上述變量，由方程可確定唯一的內(nèi)生變量y的值。我們需要研究外生變量的變化如何影響內(nèi)生變量y的變化，即需要求內(nèi)生變量關(guān)于外生變量的偏導(dǎo)數(shù)，用作經(jīng)濟理論的分析。3.8.3 隱函數(shù)定理3.8.3.1一個方程的情形隱函數(shù)存在惟一性定理 若函數(shù)滿足下列條件：（1）函數(shù)在以為內(nèi)點的某一區(qū)域上連續(xù)；（2）（通常稱為初始條件）；（iii）在內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；（3）0，則在點的某鄰域內(nèi)，方程=0惟一地確定一個定義則在某區(qū)間內(nèi)的函數(shù)（隱函數(shù)），使得 ,當(dāng)時，且； 在內(nèi)連續(xù).例如方程為由于，與均連續(xù)，故滿足定理條件(1) (2) (3)但因，致使在原點的無論怎樣小的鄰域內(nèi)都不可能存在唯一的隱函數(shù)隱函數(shù)可微性定理 （1）設(shè)滿足隱函數(shù)存在唯一性定理中的條件，又設(shè)在D內(nèi)還存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則由方程所確定的隱函數(shù)在在其定義域內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且 （2）設(shè)三元函數(shù)滿足隱函數(shù)存在唯一性定理中的條件，又設(shè)在內(nèi)還存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則由方程所確定的隱函數(shù)在在其定義域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)函數(shù)，且3.8.3.2方程組的情況我們將隱函數(shù)存在定理作另一方面的推廣。我們不僅增加方程中變量的個數(shù)，而且增加方程的個數(shù)。例如，考慮方程組這時，在四個變量中，一般只能有兩個變量獨立變化，因此該方程組就有可能確定兩個二元函數(shù)。在這種情況下，我們可以由函數(shù)F、G的性質(zhì)來斷定由該方程組所確定的兩個二元函數(shù)的存在，以及它們的性質(zhì)，我們有下面的定理。方程組的隱函數(shù)定理 設(shè)函數(shù)，滿足下列條件（1）在點的某鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；（2），；（3）函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式(或雅可比行列式) ，在點則方程組，在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，滿足條件， 并有偏導(dǎo)數(shù)公式 ， ， 3.8.4 隱函數(shù)求導(dǎo)例子根據(jù)以上三個定理，可對隱函數(shù)進行求導(dǎo)。例1 設(shè)，求.解 設(shè) ，因為所以例 2設(shè)方程，求偏導(dǎo)數(shù) 解 將所給方程的兩邊對求偏導(dǎo)數(shù)并移項，得 在條件下，；同理，方程的兩邊對求偏導(dǎo)數(shù)，解方程組得 ， 例3 假設(shè)方程隱含地定義了一個生產(chǎn)函數(shù)，讓我們求出表示與函數(shù)F相關(guān)的邊際物質(zhì)產(chǎn)品和的方法。因為邊際產(chǎn)品僅為偏導(dǎo)數(shù)和,我們可應(yīng)用隱函數(shù)法則并寫出： 和 .此外，我們還可由方程得到另一個偏導(dǎo)數(shù).它的經(jīng)濟含義是：當(dāng)勞動力L發(fā)生變化時，為了保持產(chǎn)量不變，資本K的變化。因此，此偏導(dǎo)數(shù)所描述的K和L的變化實質(zhì)上是一種“補償”變化，從而使產(chǎn)出Q維持在某一特定水平不變，因而這種變化屬于沿著等產(chǎn)量曲線上的移動，該等產(chǎn)量曲線以K為縱軸，L為橫軸繪制。實際上，導(dǎo)數(shù)表示等產(chǎn)量線斜率，它在正常情況下為負。而則是兩種投入的邊際技術(shù)替代率。例4 設(shè)，求和，和.解 令則而從而，事實上，對具體題目可以不用該公式計算，而直接用隱函數(shù)方程兩邊同時求偏導(dǎo)解方程組的方法來做。3.9邊際、彈性和增長率3.6.1 邊際（Marginality）在經(jīng)濟學(xué)研究中許多重要的概念是用導(dǎo)數(shù)來描述的，數(shù)學(xué)上的導(dǎo)數(shù)概念對應(yīng)經(jīng)濟學(xué)上的邊際概念，利用導(dǎo)數(shù)進行經(jīng)濟分析，簡稱邊際分析。經(jīng)常用到的邊際量有邊際收入、邊際成本、邊際產(chǎn)量、邊際利潤等。在經(jīng)濟學(xué)上對于函數(shù)在點的邊際定義為：，記為 邊際的數(shù)值可以用近似的代替，雖然一階導(dǎo)數(shù)的概念和邊際的概念不同，但是為了邊際計算的簡單性，經(jīng)濟學(xué)家在計算邊際數(shù)值時仍然采用一階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值代替。例 設(shè)某商品的總成本函數(shù)為，求時的邊際成本解按照邊際的概念求時的邊際成本為：時的一階導(dǎo)數(shù)值為：可見用導(dǎo)數(shù)計算出的數(shù)值和邊際定義計算出的數(shù)值不同，但比較接近邊際數(shù)值。對于多元函數(shù)關(guān)于的邊際的定義為：，邊際表示在其他變量均不發(fā)生改變的情況下，第個變量增加一個單位因起函數(shù)值的變化。對于多元函邊際數(shù)值的計算可以用偏導(dǎo)近似代替。如當(dāng)消費者消費種商品時，其效用函數(shù)為，如果其中第種商品的消費量發(fā)生改變，其邊際效用為：例3.1 給定生產(chǎn)函數(shù)，求邊際產(chǎn)出和。解：對生產(chǎn)函數(shù)兩邊取對數(shù)可得：由此可以得到：定理 兩個函數(shù)乘積的彈性等于兩個函數(shù)彈性的和； 兩個函數(shù)商的彈性等于兩個函數(shù)彈性的差； 兩個符合函數(shù)的彈性等于兩個函數(shù)彈性的乘積，即設(shè)，則。3.6.2彈性(Elasticity)函數(shù)關(guān)于的彈性定義為，表示當(dāng)由增加一個百分比時，的增加或減少的百分比。當(dāng)時，稱關(guān)于彈性不足或缺乏彈性，此時變動的百分率小于變動的百分率。當(dāng)時，稱關(guān)于彈性充足或富有彈性，此時變動的百分率大于變動的百分率。當(dāng)時，稱關(guān)于為單位彈性，此時變動的百分率等于變動的百分率。元函數(shù)對的彈性定義為：，由于采用偏導(dǎo)數(shù)來定義故對于多元函數(shù)稱為偏彈性。由彈性的定義可以看到，彈性表示自變量的變化的百分率引起因變量變化的百分率的比值，是無量綱的。例3.2 某種商品的需求函數(shù)為，為該商品的需求量，為商品價格，則收益。討論其需求價格彈性。求其邊際收益可以得到：因為它的需求價格彈性為，且通常情況下，因此，代入可得：。當(dāng)時，此時收益是價格的減函數(shù)，如果降低商品價格，能夠提高收益。當(dāng)時，此時收益是價格的減函數(shù)，如果提高商品價格，能夠提高收益。進一步，根據(jù)需求函數(shù)，取其反函數(shù)可以求得價格函數(shù)為，則，其邊際收益為：在經(jīng)濟學(xué)中，廠商生產(chǎn)的均衡條件為：，從而，將其變形可得：這個公式可以作為廠商定價的依據(jù)。根據(jù)這個公式我們可以發(fā)現(xiàn)，在邊際成本一定的情況下，需求價格彈性越大價格就越低，需求價格彈性越小價格就越高，因此，壟斷企業(yè)在具有不同價格彈性的市場，產(chǎn)品的定價不同。例3.3 設(shè)某個消費者關(guān)于種商品的需求函數(shù)為 ，其中分別為種商品的價格，為該消費者的收入。求： (1)第種商品的需求價格彈性；(2) 第種商品需求關(guān)于第種商品的價格的交叉價格彈性；(3) 第種商品的需求收入彈性。解：(1) 第種商品的需求價格彈性可表示為。(2) 需求的交叉價格彈性，用來描述一種商品的需求量對另外一種商品價格變化的靈敏度，可表示為,()。則第種商品需求關(guān)于第種商品的價格的交叉價格彈性為, ()。(3) 商品的需求收入彈性表示一種商品的需求量對收入變化的敏感程度。第種商品的需求收入彈性為： 3.6.3 增長率(Growth rate)設(shè)是的函數(shù)且，則在時刻的增長率定義為： 定理 給定兩個可導(dǎo)函數(shù)，用，分別表示兩個函數(shù)和、差、積、商的增長率，則（1）（2）（3）（4）例3.4 若貨幣需求是國民收入及利息率的函數(shù)，求證：增長率可以表成與的加權(quán)之和，其中權(quán)數(shù)分別為對與的彈性。證明：由于，由增長率的定義，應(yīng)用全導(dǎo)數(shù)公式可以得到：即的增長率可以表示成與的加權(quán)之和，其權(quán)重分別為對與的彈性。3.10水平曲線的分析（1）邊際遞減規(guī)律經(jīng)濟學(xué)家認為生產(chǎn)函數(shù)是增函數(shù)，因此、，又認為投入要素的邊際生產(chǎn)率是遞減的，就是隨著要素投入量的增加，總產(chǎn)量增加，但是邊際產(chǎn)量是不斷減少的，即，這條規(guī)律稱邊際遞減規(guī)律。如果生產(chǎn)函數(shù)是一元函數(shù)，則該函數(shù)是凹函數(shù)。（2）邊際替代率分析 對于生產(chǎn)函數(shù)來講，水平曲線上點的位置雖不同但是卻有相同的產(chǎn)量，如何來解釋這一現(xiàn)象呢？如下圖所示，從A點到B點的移動分為兩步，由A點減少資金量，保持勞動力不變垂直移動到C點，再由C點增加勞動力，保持資金量不變移動到B點，從A點到C點產(chǎn)出量的改變量為A點的資金邊際產(chǎn)量乘以資金減少量，記作，從C點到B點產(chǎn)出量的改變量為B點的勞動力邊際產(chǎn)量乘以勞動力增加量，記作，由于A點和B點的量并沒有改變，因此有+當(dāng)時，上式就成為全微分形式，即 21從幾何上來看是水平曲線的斜率，因此可以看出水平曲線的斜率為生產(chǎn)函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)之比的負值，因此方程與是等價的，當(dāng)時，水平曲線變成一條垂線，它的導(dǎo)數(shù)不存在。從經(jīng)觀濟學(xué)看水平曲線表示如果產(chǎn)量一定，在減少資金的同時要增加勞動力。勞動與資本之間存在著替代關(guān)系，經(jīng)濟學(xué)上把稱為勞動力對資本的邊際替代率，因此邊際替代率就是等產(chǎn)量曲線斜率的負值，即。實際上對于任意二元函數(shù)的水平曲線 (為常數(shù))，由于方程中僅含有兩個未知變量。這樣，如果可以將其中一個未知變量能表示為另一個未知變量的函數(shù)。例如， ，將其帶入水平曲線，得，式中隨變化而變化。任何一個水平曲線的斜率都可以表示為導(dǎo)數(shù)，在等式兩邊同時對求導(dǎo)，得到或。注意這里我們把看作的函數(shù)。我們假設(shè)，則有。得到和式21相同的結(jié)果。在消費者理論中用同樣的方法可以分析效用函數(shù)的水平曲線，在效用不變的條件下，減少對產(chǎn)品的消費量就要同時增加對產(chǎn)品的消費量，稱為商品與之間的邊際替代率，因此有同樣的結(jié)論為（3）水平曲線的凸性分析曲線的的凸性是說明曲線的形狀，從原點觀察水平曲線的形狀是凸的，如果換個視角觀察水平曲線的形狀可能是凹的，從數(shù)學(xué)上來看水平曲線是凸的就是曲線的二階導(dǎo)數(shù)非負，即當(dāng)用要素代替要素時，不斷減少，不斷增加，從而不斷增加，不斷減少。因此，不斷減少，既，這就是邊際替代率遞減規(guī)律。由于因此，水平曲線的斜率為負且水平曲線的形狀是凸的；下面用偏導(dǎo)數(shù)來表示 而，且?guī)肷鲜降茫焊鶕?jù)上面的計算我們得到邊際替代率遞減法則成立的條件定理 設(shè)，邊際產(chǎn)出，則邊際替代率如果，則邊際替代率是遞減的。3.11齊次函數(shù)和歐拉定理為了有效的研究許多重要經(jīng)濟模型的結(jié)構(gòu)，我們學(xué)習(xí)一類重要的函數(shù)，這類函數(shù)稱為齊次函數(shù)，研究這類函數(shù)的興趣主要來自于對分配理論問題的探討。邊際生產(chǎn)理論的發(fā)展得出了這樣的結(jié)論：生產(chǎn)要素的投入應(yīng)該依據(jù)生產(chǎn)要素的邊際產(chǎn)出，即1單位生產(chǎn)要素的邊際成本應(yīng)該等于1單位生產(chǎn)要素對邊際產(chǎn)出的貢獻。如果用表示生產(chǎn)函數(shù)，表示第種要素的價格，表示產(chǎn)品價格，表示第種要素的邊際產(chǎn)出，那么要素的投入應(yīng)滿足如下法則：。但是，這種分析方法僅僅針對每一種要素的投入。那么對于多種要素的總投入和總產(chǎn)出應(yīng)當(dāng)如何分析呢？數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）的一個定理，可以用來分析這個問題。這個定理告訴我們：如果生產(chǎn)函數(shù)是規(guī)模報酬不變的，那么所有要素的支出之和應(yīng)該等于總產(chǎn)出。即投入1單位的第種要素的成本為，則投入單位的第種要素的成本為。所以，所有要素的總支出額為：?？紤]兩種生產(chǎn)要素時，規(guī)模報酬不變的情況下有：，因此，有：而規(guī)模報酬不變的生產(chǎn)函數(shù)意味著，投入的各種要素變化相同的比例，那么產(chǎn)出也會變化相同的比例，即：，這是齊次函數(shù)的一個特例。3.7.1齊次函數(shù)齊次函數(shù)的定義為：將函數(shù)中的每一個自變量均變?yōu)樵瓉淼谋叮?為常數(shù)，若函數(shù)變?yōu)樵瓉淼谋?，則函數(shù)為次齊次函數(shù)。用代數(shù)形式表達為： 一般來說，可以取任何值，只要在的定義域內(nèi)，但因為在經(jīng)濟應(yīng)用中變量通常取正值，所以，一般取正值。例3.5 判斷函數(shù)的齊次性。解：以乘以每個變量可以得到，所以，函數(shù)為零次齊次函數(shù)。這個例中，當(dāng)所有自變量等比例變化時，函數(shù)值不變。例3.6 判斷函數(shù)的齊次性。解：以乘以每個變量可以得到：，所以，函數(shù)為一次齊次函數(shù)。一次齊次函數(shù)常稱為線性齊次函數(shù)，這種函數(shù)的性質(zhì)在后面還將詳細討論。例3.7 判斷函數(shù)的齊次性。解：以乘以每個變量可以得到：所以，函數(shù)為二次齊次函數(shù)。例 柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)是一次齊次函數(shù)，表示產(chǎn)出與各要素投入的擴大比例相同。定理1：如果是次齊次函數(shù)，那么它的偏導(dǎo)數(shù)是次齊次函數(shù)。證明：由假設(shè)，公式兩邊對求偏導(dǎo)得：，則有，所以，是次齊次函數(shù)。特別的如果是任意報酬不變的生產(chǎn)函數(shù)，那么他的邊際產(chǎn)出就是0次齊次函數(shù)。定理2：如果是次齊次函數(shù)，那么在任意平面上，該函數(shù)沿著從原點出發(fā)的任意射線上的每一點所對應(yīng)的水平曲線的斜率是相等的。證明：齊次函數(shù)在平面上任何一條水平曲線的斜率為，又所以沿著從原點出發(fā)的任一條射線上面的任何水平曲線的斜率都相等。具有這樣性質(zhì)的一類函數(shù)，在數(shù)學(xué)上也被稱為同勢函數(shù)。在消費理論中，水平曲線即無差異曲線，定理的意義為：延原點出發(fā)任意一條射線上任意一點所對應(yīng)的邊際替代率均相等。在生產(chǎn)理論中，水平曲線即等產(chǎn)量線，定理的意義為：延原點出發(fā)任意一條射線上任意一點所對應(yīng)的邊際產(chǎn)出比率均相等。定理3 歐拉定理假定為次齊次函數(shù)且可導(dǎo)，則。定理4 歐拉定理的逆定理如果對所有的都成立，則為次齊次函數(shù)。可以用于判斷齊次函數(shù)。例如，證明柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)是證明勞動的邊際產(chǎn)量為： ，資本的邊際產(chǎn)量為：。 由歐拉定理的逆定理可知柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)為1次齊次函數(shù)。邊際產(chǎn)出反映出一個特征，就是邊際產(chǎn)出是兩種投入要素比例的函數(shù)，而與兩種投入要素絕對值的大小無關(guān)。從幾何上來講，如果每一種要素按照相同的比例發(fā)生變化，這意味投入將沿從原點出發(fā)的射線移動，在這條射線上的任意一點，柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)的的任何水平曲線的斜率都相等。 在經(jīng)濟學(xué)上，上述等式的含義為：在規(guī)模效益不變的情況下，如果每種投入要素按其邊際產(chǎn)量獲得報酬，那么，所有要素所獲得的報酬的和等于總產(chǎn)出。例3.8 令，則，。所以，例3.9 考慮兩種產(chǎn)品，其價格分別為，其數(shù)量分別用來表示。假設(shè)消費者的貨幣收入為，并且第一種產(chǎn)品的需求函數(shù)為：，求證：該產(chǎn)品的需求不受中性通貨膨脹的影響（即價格和收入按同樣的增長速度增長），并證明歐拉定理對該函數(shù)成立。證明：假定消費者貨幣收入及按相同的比率增長。則有：因此，消費者需求量并不受價格變化