2020屆重慶市康德卷高考模擬（二）數學（理）試題（解析版）

2020屆重慶市康德卷高考模擬（二）數學（理）試題一、單選題1已知集合，則（ ）ABCD【答案】B【解析】根據先求出，再用集合交集的定義列舉出集合的全部元素組成集合，即可得答案.【詳解】，且，因此.故選：.【點睛】本題考查集合的交集的運算，寫出集合的交集時注意集合中元素的相同性，是基礎題.2已知復數，則的虛部為（ ）A-1B0C1D2【答案】A【解析】根據復數的除法運算分別求得再求的虛部即可.【詳解】,.故.故虛部為.故選：A【點睛】本題主要考查了復數的基本運算與虛部的辨析,屬于基礎題型.3已知函數，則函數的值域是（ ）ABCD【答案】B【解析】先求的值域,再求的值域即可.【詳解】設,則,故.故選：B【點睛】本題主要考查了復合函數的值域,屬于基礎題型.4已知，則下列不等式中不一定成立的是（ ）ABCD【答案】C【解析】根據不等式的性質直接求解即可.【詳解】對A,因為,故成立.對B,因為成立故成立.對C,舉反例如當,可知,故C錯誤.對D, 因為,故,故成立.故選：C【點睛】本題主要考查了不等式的性質,屬于基礎題型.5己知命題，則下列命題中真命題是（ ）ABCD【答案】C【解析】分別判斷命題的真假再利用或且非的關系逐個選項判斷即可.【詳解】易得當時, ,故為假命題.當時, 成立.故為真命題.故為真命題.故選：C【點睛】本題主要考查了命題真假的判斷,屬于基礎題型.6的展開式中x的系數為（ ）A560B1120C-35D280【答案】A【解析】根據二項展開式求解即可.【詳解】,則.故選：A【點睛】本題主要考查了二項式定理確定展開式中某一項的系數.屬于基礎題型.7歷史上，最偉大的數學家一直都熱衷于尋找質數的“分布規(guī)律”，法國數學家馬林梅森就是研究質數的數學家中成就很高的一位，正因為他的卓越貢獻，現(xiàn)在人們將形如“（p是質數）”的質數稱為梅森數，迄今為止共發(fā)現(xiàn)了51個梅森數，前4個梅森數分別是，3，7是1位數，31是2位數，127是3位數.已知第10個梅森數為，則第10個梅森數的位數為（ ）（參考數據：）A25B29C27D28【答案】C【解析】計算判斷即可.【詳解】因為.故.故第10個梅森數的位數為27.故選：C【點睛】本題主要考查了根據對數運算的應用,屬于基礎題型.8若函數存在單調遞減區(qū)間，則實數a的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】根據題意可知,再參變分離求實數a的取值范圍即可.【詳解】函數存在單調遞減區(qū)間即有區(qū)間解,則,其中,所以.故選：D【點睛】本題主要考查了利用導數求解函數單調性的問題,同時也考查了參變分離求參數最值的問題,屬于中等題型.9若不等式組，所表示的平面區(qū)域被直線分成面積相等的兩部分；則（ ）ABCD【答案】C【解析】畫出可行域,再根據面積求解即可.【詳解】畫出可行域, 由圖可知,將可行域劃分為兩塊區(qū)域,其中三角形部分.故選：C【點睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃問題,屬于中等題型.10函數，的部分圖象如圖所示，要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）A向左平移B向左平移C向右平移D向右平移【答案】C【解析】由函數的最值求出，將點代入函數的解析式求出，再將點代入該函數的解析式求出，得出，并利用誘導公式化為，再利用函數的圖象變化規(guī)律得出結論【詳解】由函數，的部分圖象，可得，由，可得，故可將函數的圖象向右平移個單位長度得到的圖象故選【點睛】本題考查由三角函數圖象求解析式、以及三角函數圖象變換，求圖象求三角函數的解析式的步驟如下：（1）求、：，；（2）求：（其中為函數的最小正周期）；（3）求初相：代特殊點（最高點、最低點或對稱中心點）求11如果一個四位數的各位數字互不相同，且各位數字之和等于10，則稱此四位數為“完美四位數（如1036），則由數字0，1，2，3，4，5，6，7構成的“完美四位數”中，奇數的個數為（ ）A12B44C58D76【答案】B【解析】由題意分情況討論尾數分別為1,3,5,7四種情況求總數即可.【詳解】分類討論：尾數為1：則前三位的數字可能為027,036,045,共,還可能為234,有種；尾數為3：則前三位的數字可能為016,025,共,還可能為124,有種；尾數為5：則前三位的數字可能為014,023,045,共；尾數為7：則前三位的數字可能為012,共.綜上所述,共有種.故選：B【點睛】本題主要考查了排列組合的綜合運用,屬于中等題型.12如圖，是雙曲線的左、右焦點，點P是雙曲線上位于第一象限內的一點，且直線與y軸的正半軸交于點A，的內切圓與邊切于點Q，且，則雙曲線C的離心率為（ ）A2BCD【答案】D【解析】利用雙曲線的定義以及內切圓中切線等長的性質求解即可.【詳解】所以,故離心率.故選：D【點睛】本題主要考查了三角形內切圓的的切線性質以及雙曲線的定義運用,屬于中等題型.二、填空題13脫貧攻堅是一項歷史性工程，精準脫貧是習近平總書記給扶貧工作的一劑良方.重慶市貧困人口分布相對集中，截止目前，渝東北地區(qū)貧困戶占全市貧困戶48%，渝東南地區(qū)貧困戶占全市貧困戶32%，為精準了解重慶市貧困戶現(xiàn)狀，“脫貧攻堅”課題組擬深入到其中25戶貧困戶家中調研，若按地區(qū)采用分層抽樣的方法分配被調研的貧困戶，課題組應到其它地區(qū)（除渝東南和渝東北地區(qū)外）調研的貧困戶的戶數是_.【答案】5【解析】先求渝東南和渝東北地區(qū)貧困戶占全市的比例,再利用分層抽樣抽取的方法列式求解即可.【詳解】由題, 渝東南和渝東北地區(qū)貧困戶占全市的48%+32%=80%,故其它地區(qū)困戶占全市的20%.故課題組應到其它地區(qū)（除渝東南和渝東北地區(qū)外）調研的貧困戶的戶數是%=5.故答案為：5【點睛】本題主要考查了分層抽樣的方法,屬于基礎題型.14在等腰梯形ABCD中，E為BC的中點，F(xiàn)為DE的中點，記，若用表示，則_.【答案】【解析】利用向量的線性運算求解即可.【詳解】.故答案為：【點睛】本題主要考查了向量的線性運算,需要用到平行四邊形法則與三角形法則.屬于中等題型.15若直線與曲線相切，則ab的最大值為_.【答案】【解析】設切點為,再求出切線方程表達式,進而得出,再求導分析單調性與最大值即可.【詳解】設切點為,則切線為,所以,令,所以在,則.故答案為：【點睛】本題主要考查了切線方程的應用,主要是導數的幾何意義求解,同時也考查了根據導數求解函數的最值問題,屬于中等題型.16設數列滿足，若存在常數，使得恒成立，則的最小值是_.【答案】-2【解析】根據遞推公式推導數列的前后項的關系,進而可判斷【詳解】由題意即可，, 若,則且,即該數列單增，且,此時若存在常數,使得恒成立，則必有.若,則,該數列為常數列,即.當時，顯然有綜上所述,.故答案為：【點睛】本題主要考查了根據遞推公式分析數列前后項的關系,進而求得數列的通項范圍,需要思考的大小從而分情況討論,屬于難題.三、解答題17已知數列的前n項和為，.（1）證明：為等比數列；（2）設，若不等式對恒成立，求t的最小值.【答案】（1）見解析（2）【解析】(1)利用得到的遞推公式再構造數列證明即可.(2)根據(1)可求得,進而求得,再用裂項求和求解進而求得t的最小值【詳解】解：（1）,故為等比數列.（2）令,則有,所以,所以,令,令,所以.所以.故t的最小值為.【點睛】本題主要考查了根據遞推公式證明等比數列的方法,同時也考查了裂項相消求和的方法與不等式的范圍問題,屬于中等題型.18為做好創(chuàng)建國家生態(tài)文明單位的需要，某地甲、乙兩大型企業(yè)決定先從本企業(yè)的所有員工中隨機抽取8名員工，對自己所在企業(yè)的生態(tài)文明建設狀況進行自我內部的評分調查（滿分100分），被抽取的員工的評分結果如右表：（1）若分別從甲、乙兩企業(yè)被抽取的8名員工中各抽取1名，在已知兩人中至少一人評分不低于80分的條件下，求抽到的甲企業(yè)員工評分低于80分的概率；（2）用樣本的頻率分布估計總體的概率分布，若從甲企業(yè)的所有員工中，再隨機抽取4名員工進行評分細節(jié)調查，記抽取的這4名員工中評分不低于90分的人數為，求的分布列與數學期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】(1)根據條件概率的方法求解即可.(2)根據二項分布的分布列以及數學期望求解即可.【詳解】解：（1）設事件A為兩人中至少一人評分不低于80,事件B為甲企業(yè)評分人員低于80分；則（2）由題意知,則.所以其分布列如下：01234【點睛】本題主要考查了條件概率與二項分布的問題,屬于中等題型.19如圖，在四邊形ABCD中，A為銳角，.（1）求；（2）設、的外接圓半徑分別為，若恒成立，求實數m的最小值.【答案】（1）（2）【解析】(1)根據三角函數的和差角公式與三角函數值求解即可.(2)根據正弦定理參變分離,再利用的取值范圍求解【詳解】（1）由題, ,即,因為.故.所以.（2）,因為,故當時有最大值所以,即實數m的最小值為【點睛】本題主要考查了三角恒等變換的運用以及正弦定理與根據角度范圍求解三角函數范圍的問題,屬于中等題型.20已知函數，.（1）當時，求的單調區(qū)間（2）若存在使得成立，求a的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）【解析】(1)求導后判斷極值點的大小從而分析在定義域內的導函數正負,進而求得單調區(qū)間.(2)分情況討論的單調區(qū)間,進而求得的最小值分析能成立問題即可.【詳解】（1）,當時,的單增區(qū)間為和,單減區(qū)間為；當時,的單增區(qū)間為，無減區(qū)間；當時,的單增區(qū)間為和,單減區(qū)間為；（2）由(1) .故當時, ,所以,；當時,因為當時,所以必然存在.綜上所述.【點睛】本題主要考查了含參數討論函數的單調性問題以及利用導數分析單調性與最值進而解決函數的能成立問題.屬于中等題型.21已知拋物線的焦點為F，點P為拋物線C上一點，O為坐標原點，.（1）求拋物線C的方程；（2）設Q為拋物線C的準線上一點，過點F且垂直于OQ的直線交拋物線C于A，B兩點記，的面積分別為，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】(1)根據可知直線的傾斜角為,再利用幾何關系求得,代入拋物線方程化簡即可.(2)設直線的方程為,再分別計算關于的表達式,進而求得關于的表達式再求范圍即可.【詳解】解：（1）由題可知,直線的傾斜角為,故,代入方程可得,化簡得,因為所以故拋物線C的方程為（2）顯然直線斜率不為0,故設直線的方程為,聯(lián)立.設.則,.所以設則因為直線垂直于OQ.故.所以又到直線：的距離.故.故.設,則當且僅當即時取等號.又,所以.【點睛】本題主要考查了拋物線中的弦長關系,同時也考查了直線與拋物線中的三角形面積問題,需要根據題意設方程聯(lián)立,求出對應的面積的表達式再求最值,屬于難題.22在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數），以原點O為極點、x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；（2）已知點，直線l與曲線C相交于AB兩點，求的值.【答案】（1），；（2）【解析】(1)消去參數求解直線l的普通方程,再利用極坐標與直角坐標的對應關系與二倍角公式求解曲線C的直角坐標方程.(2)利用參數的幾何意義,聯(lián)立直線與圓C的方程,利用韋達定理求解即可.【詳解】(1)由,兩式相加可得,即.又,即即. (2)將化簡成關于點的參數方程有：,（為參數）,代入有,則.