《高等數學》(?？粕究?復習資料.pdf

高等數學 ?？粕究?復習資料 1 復習參考書 全國各類專科起點升本科教材 高等數學 一 第3版 本書編寫組 高等教育出版社 2 復習內容及方法 第一部分 函數 極限 連續(xù) 復習內容 函數的概念及其基本性質 即單調性 奇偶性 周期性 有界性 數列的極限與函數的極限概念 收斂數列的基本性質及函數極限的四則 運算法則 數列極限的存在準則與兩個重要的函數極限 無窮小量與無 窮大量的概念及其基本性質 常見的求極限的方法 連續(xù)函數的概念及 基本初等函數的連續(xù)性 函數的間斷點及其分類與連續(xù)函數的基本運算 性質 初等函數的連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數的基本性質 即最值定 理 介值定理與零點存在定理 復習要求 會求函數的定義域與判斷函數的單調性 奇偶性 周期性 有界 性 掌握數列極限的計算方法與理解函數在某一點極限的概念 同時會 利用恒等變形 四則運算法則 兩個重要極限等常見方法計算函數的極 限 掌握理解無窮小量與無窮大量的概念及相互關系 在求函數極限的 時候能使用等價代換 理解函數連續(xù)性的定義 會求給定函數的連續(xù)區(qū) 間及間斷點 能運用閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質證明一些基本的命題 重要結論 1 兩個奇 偶 函數之和仍為奇 偶 函數 兩個奇 偶 函 數之積必為偶函數 奇函數與偶函數之積必為奇函數 奇 偶 函數的復合必為偶函數 2 單調有界數列必有極限 3 若一個數列收斂 則其任一個子列均收斂 但一個數列的子 列收斂 該數列不一定收斂 4 若一個函數在某點的極限大于零 則一定存在該點的一個鄰 域 函數在其上也大于零 5 無窮小 大 量與無窮小 大 量的乘積還是無窮小 大 量 但無窮小量與無窮大量的乘積則有多種可能 6 初等函數在其定義域內都是連續(xù)函數 7 閉區(qū)間上的連續(xù)函數必能取到最大值與最小值 重要公式 1 若則 2 兩個重要極限公式 1 2 3 在求極限的運算中注意使用等價無窮小量的代換 常見的等價無 窮小量代換有 當時 第二部分 一元函數微積分 復習內容 導數的概念及其幾何 物理意義 基本求導公式與各種求導法則 微分的概念及計算 羅爾定理 拉格朗日中值定理 洛必達法則 函數 增減性的判定 函數的極值與極值點 最大值與最小值 函數的凹凸性 及拐點 曲線的漸近線 復習要求 理解導數的定義 同時掌握幾種等價定義 即 掌握導數的幾何意義 了解導數的物理意義 掌握連續(xù)與可導的 關系 即連續(xù)不一定可導 而可導一定連續(xù) 熟練掌握基本初等函數的 導數公式與導數的四則運算法則 反函數與復合函數 隱函數 由參數 方程確定的函數的求導法則 掌握對數求導法與高階導數的求法 理解 微分的定義 明確一個函數可微與可導的關系 即可微一定可導 反之 一樣 熟練掌握微分的四則運算和復合函數的微分 理解羅爾中值定理 與拉格朗日中值定理 了解其幾何意義 能熟練運用洛必達法則求極 限 必須記住使用洛必達法則的條件 同時應注意以下幾個問題 1 如 果使用洛必達法則后 問題仍然是未定型極限 且仍滿足洛必達法則的 條件 則可再次使用洛必達法則 2 如果在 0 0 型或 型極限中含有非 零因子 該非零因子可以單獨求極限 不必參與洛必達法則運算 以達 到簡化運算的目的 3 如果能進行等價無窮小量代換或恒等變形配合使 用洛必達法則 也可以達到簡化運算的目的 會利用導數的幾何意義求 已知曲線的切線方程與法線方程 會利用導數的符號判斷函數的增減 性 熟練掌握函數的極值與最值的求法即需掌握以下步驟 1 求出函數 的定義域 2 求出 并在函數的定義域內求出導數等于零與導數不存在 的點 駐點 3 判定駐點兩側導數的符號 4 如果駐點處函數的二階導 數易求 可再次求導通過在該點的符號來判斷極值 5 求最值時 只需 求出所有的極值點與端點的值 最大 小 者即為最大 小 值 掌握 判斷曲線的拐點 凹凸性的一般方法 1 求出該函數的二階導數 并求 出其二階導數等于零的點 2 同時求出二階導數不存在的點 3 判定上 述各點兩側 該函數的二階導數是否異號 如果在的兩側異號 則 為曲線的拐點 4 在的的取值范圍內 曲線是弧是下凹的 在的的取值 范圍內 曲線弧是上凸的 了解漸近線的定義 并會求水平漸近線與 鉛直漸近線 即 則為曲線的水平漸近線 若 則稱為曲線的鉛直漸近 線 重要結論 1 如果函數在點的導數存在 則在幾何上表明曲線在點 處存在 切線 且切線的斜率為 且切線方程為 當時 法線方程為 2 若函數在點處可導 那么函數在點處必定連續(xù) 反之不一定 3 函數在點可微的充分必要條件是在點處可導 且有 4 羅爾定理 若函數滿足以下條件 1 在閉區(qū)間上連續(xù) 2 在開區(qū)間內可導 3 則在開區(qū)間內至少存在一點 使得 5 拉格郎日中值定理 若函數滿足以下條件 1 在閉區(qū)間上連續(xù) 2 在開區(qū)間內可導 則在開區(qū)間內至少存在一點 使得 重要公式 1 設與在點可導 則 2 設復合函數 若點處可導 在相應的點可導 則復合函數在點處 可導 且有鏈式法則 3 設是由所確定 其中都為可導函數 且 則 4 在求導數時 有時要注意對數求導法的應用 5 洛必達公式 當滿足一定條件時 有 同時應注意可轉化為 0 0 型或 型的極限 第三部分 一元函數積分學 復習內容 不定積分的概念與性質 不定積分的基本公式 積分第一換元法與 第二換元法 分部積分公式與應用分部積分公式時應注意的一般原則 定積分的基本概念與基本性質 牛頓 萊布尼茨公式 定積分的換元積 分法與分部積分法 無窮區(qū)間上的廣義積分 求平面圖形的面積 求旋 轉體體積 復習要求 理解原函數與不定積分定義 了解不定積分的幾何意義與隱函數存 在定理 熟練掌握不定積分的性質與不定積分的基本公式 理解積分第 一換元法 即設具有原函數存在連續(xù)導函數 則有換元公式 了解積分第二換元法 掌握分部積分公式 同時應注意在使用時應 遵循的一般原則 理解定積分的定義與定積分的幾何意義 熟練掌握定 積分的性質與牛頓 萊布尼茨公式 熟練運用定積分的換元積分法與分 部積分法 了解無窮區(qū)間上的廣義積分的求法 會用定積分的性質求平 面圖形的面積與旋轉體的體積 重要結論 1 若為在某區(qū)間上的一個原函數 則為的所有原函數 稱 為的不定積分 記為 2 定積分表示一個數值 它只取決于函數與積分區(qū)間 與 積分變量無關 即 3 如果函數在區(qū)間上連續(xù) 則定積分必定存在 4 以及軸所圍成的曲邊梯形的面積等于 5 如果在區(qū)間上連續(xù) 則在上至少存在一點 使得 6 如果在區(qū)間上連續(xù) 則積分上限函數在區(qū)間內可導 且 7 若是區(qū)間上的連續(xù)函數 則 重要公式 1 先積分后求導 作用抵消 即 先求導后積分 相差一個常數 即 2 分部積分公式 3 牛頓 萊布尼茨公式 1 如果在區(qū)間上連續(xù) 2 為在內的 一個原函數 則 4 定積分的換元公式 設在區(qū)間上連續(xù) 函數滿足以下條 件 1 2 在上為單值 有連續(xù)導數的函數 則有 第四部分 空間解析幾何 復習內容 平面方程的基本概念 直線方程的基本概念 簡單的二次曲面 復習要求 了解平面的點法式方程與一般式方程 了解特殊的平面方程 兩個 平面之間的關系 垂直 平行 重合 會通過已知條件建立平面方程 掌握直線的標準式方程與一般方程 了解直線之間的關系以及直線與平 面之間的關系 會根據已知條件建立直線方程 了解常見的二次曲面 即柱面方程 球面方程 橢球面方程 錐面方程 旋轉拋物面方程 重要結論 1 設有平面 平面與相互垂直的充分必要條件是 平面與平行的充分必要條件是 平面與重合的充分必要條件是 2 建立平面方程常用平面點法式 1 過點作平行于的平面方程 取及即可 2 過點作垂直于向量的平面方程 只需取平面法線向量及點即 可 3 過點 作平面方程 利用平面的一般式方程 設所求的平 面為 將已給的三點的坐標代入平面方程 可以得到一個以 為未知量的方程組 求出即可 3 設有直線 直線與平行的充分必要條件為 直線與垂直的充分必要條件為 4 設直線與平面的方程為 1 直線與平面垂直的充分必要條件是 2 直線與平面平行的充分必要條件是 3 直線落在平面上的充分必要條件是 5 建立直線方程 常用直線的標準式方程 只需確定直線上的 一點及直線的方向向量 即 1 作過點 且垂直與平面的直線方程 取及方向向量即可 2 作過點 的直線方程 取 及方向向量即可 第五部分 多元函數微積分學 復習內容 二元函數的概念及幾何意義 多元函數的概念 二元函數的極限與 連續(xù)性以及連續(xù)性的基本性質 偏導數的定義 全微分的概念與基本性 質 二階偏導數 復合函數微分法 隱函數微分法 二元函數的極值與 條件極值 二重積分的概念與基本性質 直角坐標系下二重積分的計 算 極坐標系下二重積分的計算 二重積分的應用 復習要求 了解二元函數的定義 會求二元函數的定義域 掌握二元函數的連 續(xù)性與連續(xù)的基本性質 理解二元函數偏導數的定義及幾何意義 掌握 全微分的定義極其存在的基本性質 會求二元函數的二階偏導數與復合 函數的鏈式法則 理解隱函數微分法 熟練掌握二元函數極值的求法 了解二元函數的條件極值 理解二重積分的概念 掌握二重積分的基本 性質 熟練掌握在直角坐標系與極坐標系下二重積分的計算問題 了解 二重積分的應用 重要結論 1 有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數 在區(qū)域上必能取得最大值與最小值 2 有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數 在區(qū)域上必能取得介于最大值與最小 值之間的任何值 3 如果在點處的偏導數為連續(xù)函數則在點處可微分 且 4 設函數在點的某個鄰域內具有連續(xù)的一階和二階偏導數 又 記 則 1 當時 在點處取得極值 且當時 取得極大值 時取得極小 值 2 當時 不是極值點 3 當 點是否為極值點需進一步判定 5 在D上若 且D的面積為 則有 重要公式 1 鏈式法則 設 在一定條件下 有 2 一元隱函數求導 設對存在連續(xù)偏導數 且 則由確定的函數對 的導數為 3 二元隱函數求導 設 其中為的二元函數 對存在連續(xù)偏導數 且 則 4 直角坐標系下二重積分的計算 1 若 則 2 若 則 3 若 則 5 極坐標系下二重積分的計算 1 若 則 2 若極點O在區(qū)域D的邊界上 積分區(qū)域可表為 則 3 若極點O在區(qū)域D的內部 積分區(qū)域可表為 則二重積分可化為 第六部分 無窮級數 復習內容 數項級數的概念 級數的收斂與發(fā)散 級數的基本性質 級數收斂 的必要條件 正項級數收斂性的判別法與任意項級數收斂性的判別法 冪級數的概念與基本性質 復習要求 理解級數收斂 發(fā)散的概念 掌握級數收斂的必要條件 了解級數 的基本性質 會熟練使用比較判別法與比值判別法判別正項級數的收斂 性 掌握幾何級數 調和級數 與級數的收斂性 了解級數絕對收斂與 條件收斂的概念 會使用萊布尼茨判別法 了解冪級數的概念及在其收 斂區(qū)間內的基本性質 會求冪級數的收斂半徑 收斂區(qū)間 會利用常見 函數的麥克勞林公式 將一些簡單的初等函數展開為冪級數 重要結論 1 在一個級數的前面去掉或添加有限項 不改變級數的收斂 性 2 若收斂 則必有 但反之不一定 3 冪級數在收斂區(qū)間內可以逐項積分 求導 且積分 求 導 后所得到的冪級數的收斂半徑不變 重要公式 1 三個常用的標準級數 1 2 發(fā)散 調和級數 3 級數 2 比值判別法 設為正項級數 且 則1 當時 收斂 2 當時 發(fā)散 3 當時 收斂性需進一步判定 3 收斂半徑的求法 設冪級數的系數有 則1 當時 有 2 當 時 定義 3 當 定義 第七部分 常微分方程 復習內容 微分方程的定義 初始條件 特解 可分離變量的方程 一階線性 方程 二階線性微分方程解的結構 二階常系數齊次線性微分方程 二 階常系數非齊次線性微