高中數(shù)學 《函數(shù)及其性質(zhì)》教案（高考回歸課本系列）新人教A版

用心 愛心 專心 1 高考數(shù)學回歸課本教案高考數(shù)學回歸課本教案 第三章第三章 函數(shù)函數(shù) 一 基礎知識 定義 1 映射 對于任意兩個集合A B 依對應法則f 若對A中的任意一個元素x 在B 中都有唯一一個元素與之對應 則稱f A B為一個映射 定義 2 單射 若f A B是一個映射且對任意x y A x y 都有f x f y 則稱之為 單射 定義 3 滿射 若f A B是映射且對任意y B 都有一個x A使得f x y 則稱f A B是A到B上的滿射 定義 4 一一映射 若f A B既是單射又是滿射 則叫做一一映射 只有一一映射存在逆 映射 即從B到A由相反的對應法則f 1構(gòu)成的映射 記作f 1 A B 定義 5 函數(shù) 映射f A B中 若A B都是非空數(shù)集 則這個映射為函數(shù) A稱為它的定 義域 若x A y B 且f x y 即x對應B中的y 則y叫做x的象 x叫y的原象 集合 f x x A 叫函數(shù)的值域 通常函數(shù)由解析式給出 此時函數(shù)定義域就是使解析式有 意義的未知數(shù)的取值范圍 如函數(shù)y 3x 1 的定義域為 x x 0 x R 定義 6 反函數(shù) 若函數(shù)f A B 通常記作y f x 是一一映射 則它的逆映射f 1 A B叫原函數(shù)的反函數(shù) 通常寫作y f 1 x 這里求反函數(shù)的過程是 在解析式y(tǒng) f x 中反 解x得x f 1 y 然后將x y互換得y f 1 x 最后指出反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域 例如 函數(shù)y x 1 1 的反函數(shù)是y 1 x 1 x 0 定理 1 互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關于直線y x對稱 定理 2 在定義域上為增 減 函數(shù)的函數(shù) 其反函數(shù)必為增 減 函數(shù) 定義 7 函數(shù)的性質(zhì) 1 單調(diào)性 設函數(shù)f x 在區(qū)間I上滿足對任意的x1 x2 I并且x1 x2 總有f x1 f x2 則稱f x 在區(qū)間I上是增 減 函數(shù) 區(qū)間I稱為單調(diào)增 減 區(qū)間 2 奇偶性 設函數(shù)y f x 的定義域為 D 且 D 是關于原點對稱的數(shù)集 若對于任意的 x D 都有f x f x 則稱f x 是奇函數(shù) 若對任意的x D 都有f x f x 則稱 f x 是偶函數(shù) 奇函數(shù)的圖象關于原點對稱 偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱 3 周期性 對于函數(shù)f x 如果存在一個不為零的常數(shù)T 使得當x取定義域內(nèi)每一個 數(shù)時 f x T f x 總成立 則稱f x 為周期函數(shù) T稱為這個函數(shù)的周期 如果周期中存 在最小的正數(shù)T0 則這個正數(shù)叫做函數(shù)f x 的最小正周期 定義 8 如果實數(shù)a b 則數(shù)集 x a x b x R 叫做開區(qū)間 記作 a b 集合 x a x b x R 記作閉區(qū)間 a b 集合 x a x b 記作半開半閉區(qū)間 a b 集合 x a xa 記作開區(qū)間 a 集合 x x a 記 作半開半閉區(qū)間 a 定義 9 函數(shù)的圖象 點集 x y y f x x D 稱為函數(shù)y f x 的圖象 其中 D 為f x 的 定義域 通過畫圖不難得出函數(shù)y f x 的圖象與其他函數(shù)圖象之間的關系 a b 0 1 向 右平移a個單位得到y(tǒng) f x a 的圖象 2 向左平移a個單位得到y(tǒng) f x a 的圖象 3 向下平移b個單位得到y(tǒng) f x b的圖象 4 與函數(shù)y f x 的圖象關于y軸對稱 5 與函數(shù)y f x 的圖象關于原點成中心對稱 6 與函數(shù)y f 1 x 的圖象關于直線 用心 愛心 專心 2 y x對稱 7 與函數(shù)y f x 的圖象關于x軸對稱 定理 3 復合函數(shù)y f g x 的單調(diào)性 記住四個字 同增異減 例如y x 2 1 u 2 x 在 2 上是減函數(shù) y u 1 在 0 上是減函數(shù) 所以y x 2 1 在 2 上是增 函數(shù) 注 復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法為同增異減 這里不做嚴格論證 求導之后是顯然的 二 方法與例題二 方法與例題 1 數(shù)形結(jié)合法 例 1 求方程 x 1 x 1 的正根的個數(shù) 解 分別畫出y x 1 和y x 1 的圖象 由圖象可知兩者有唯一交點 所以方 程有一個正根 例 2 求函數(shù)f x 11363 2424 xxxxx的最大值 解 f x 222222 0 1 3 2 xxxx 記點P x x 2 A 3 2 B 0 1 則f x 表示動點P到點A和B距離的差 因為 PA PA AB 10 12 3 22 當且僅當P為AB延長線與拋物線y x2的交點 時等號成立 所以f x max 10 2 函數(shù)性質(zhì)的應用 例 3 設x y R 且滿足 1 1 1997 1 1 1 1997 1 3 2 yy xx 求x y 解 設f t t3 1997t 先證f t 在 上遞增 事實上 若a0 所以f t 遞增 由題設f x 1 1 f 1 y 所以x 1 1 y 所以x y 2 例 4 奇函數(shù)f x 在定義域 1 1 內(nèi)是減函數(shù) 又f 1 a f 1 a2 0 求a的取值范圍 解 因為f x 是奇函數(shù) 所以f 1 a2 f a2 1 由題設f 1 a f a2 1 又f x 在定義域 1 1 上遞減 所以 1 1 a a2 1 1 解得 0 a 1 例 5 設f x 是定義在 上以 2 為周期的函數(shù) 對k Z 用Ik表示區(qū)間 2k 1 2k 1 已知當x I0時 f x x2 求f x 在Ik上的解析式 解 設x Ik 則 2k 10 則由 得n 0 設f t t 4 2 t 1 則f t 在 0 上是增函數(shù) 又 f m f n 所以 m n 所以 3x 1 2x 3 0 所以x 5 4 若 m0 同理有 m n 0 x 5 4 但與 m 0 矛盾 綜上 方程有唯一實數(shù)解x 5 4 3 配方法 例 7 求函數(shù)y x 12 x的值域 解 y x 12 x 2 1 2x 1 212 x 1 1 2 1 12 x 1 1 2 1 1 2 1 當x 2 1 時 y取最小值 2 1 所以函數(shù)值域是 2 1 4 換元法 例 8 求函數(shù)y x 1 x 1 2 2 1x 1 x 0 1 的值域 解 令x 1 x 1 u 因為x 0 1 所以 2 u2 2 2 2 1x 4 所以2 u 2 所以 2 22 2 2 u 2 1 2 2 u 2 所以y 2 2 u u2 2 2 8 所以該函數(shù)值域為 2 2 8 5 判別式法 例 9 求函數(shù)y 43 43 2 2 xx xx 的值域 解 由函數(shù)解析式得 y 1 x2 3 y 1 x 4y 4 0 當y 1 時 式是關于x的方程有實根 所以 9 y 1 2 16 y 1 2 0 解得 7 1 y 1 用心 愛心 專心 4 又當y 1 時 存在x 0 使解析式成立 所以函數(shù)值域為 7 1 7 6 關于反函數(shù) 例 10 若函數(shù)y f x 定義域 值域均為 R 且存在反函數(shù) 若f x 在 上遞增 求證 y f 1 x 在 上也是增函數(shù) 證明 設x1 x2 且y1 f 1 x1 y2 f 1 x2 則x1 f y1 x2 f y2 若y1 y2 則因為 f x 在 上遞增 所以x1 x2與假設矛盾 所以y1 y2 即y f 1 x 在 遞增 例 11 設函數(shù)f x 4 23 14 x x 解方程 f x f 1 x 解 首先f x 定義域為 3 2 4 1 其次 設x1 x2是定義域內(nèi)變量 且x1 x20 所以f x 在 3 2 上遞增 同理f x 在 4 1 上遞增 在方程f x f 1 x 中 記f x f 1 x y 則y 0 又由f 1 x y得f y x 所以x 0 所 以x y 4 1 若x y 設x y 則f x yy也可得出矛盾 所以x y 即f x x 化簡得 3x5 2x4 4x 1 0 即 x 1 3x4 5x3 5x2 5x 1 0 因為x 0 所以 3x4 5x3 5x2 5x 1 0 所以x 1 三 基礎訓練題 1 已知X 1 0 1 Y 2 1 0 1 2 映射f X Y滿足 對任意的x X 它在 Y中的象f x 使得x f x 為偶數(shù) 這樣的映射有 個 2 給定A 1 2 3 B 1 0 1 和映射f X Y 若f為單射 則f有 個 若 f為滿射 則f有 個 滿足f f x f x 的映射有 個 3 若直線y k x 2 與函數(shù)y x2 2x圖象相交于點 1 1 則圖象與直線一共有 個交點 4 函數(shù)y f x 的值域為 9 4 8 3 則函數(shù)g x f x 21xf 的值域為 5 已知f x 1 1 x 則函數(shù)g x f f x 的值域為 6 已知f x x a 當x 3 時f x 為增函數(shù) 則a的取值范圍是 7 設y f x 在定義域 2 1 2 內(nèi)是增函數(shù) 則y f x2 1 的單調(diào)遞減區(qū)間為 8 若函數(shù)y x 存在反函數(shù)y 1 x 則y 1 x 的圖象與y x 的圖象關于直線 對稱 用心 愛心 專心 5 9 函數(shù)f x 滿足 x x f 1 1 2 11 xx 則f x 1 10 函數(shù)y 11 xx x 1 的反函數(shù)是 11 求下列函數(shù)的值域 1 y 12 xx 2 y 1 11 x x x x 3 y x 21 x 4 y 2 1 2 x x 12 已知 xfy 定義在 R 上 對任意x R f x f x 2 且f x 是偶函數(shù) 又當 x 2 3 時 f x x 則當x 2 0 時 求f x 的解析式 四 高考水平訓練題 1 已知a 0 2 1 f x 定義域是 0 1 則g x f x a f x a f x 的定義域為 2 設 0 a 1 時 f x a 1 x2 6ax a 1 恒為正值 則f x 定義域為 3 映射f a b c d 1 2 3 滿足 10 f a f b f c f d 0 函數(shù)f x 定義域為 R 且f x a 2 2 1 xfxf 求證 f x 為周期函 數(shù) 用心 愛心 專心 6 11 設關于x的方程 2x2 tx 2 0 的兩根為 已知函數(shù)f x 1 4 2 x tx 1 求 f f 2 求證 f x 在 上是增函數(shù) 3 對任意正數(shù)x1 x2 求證 21 21 21 21 xx xx f xx xx f 0 a 1 F x 是奇函數(shù) 則G x F x 2 1 1 1 x a 是 奇偶性 3 若 x x F 1 1 x 則下列等式中正確的有 F 2 x 2 F x F x x x F 1 1 F x 1 F x F F x x 4 設函數(shù)f R R R R 滿足f 0 1 且對任意x y R R 都有f xy 1 f x f y f y x 2 則 f x 5 已知f x 是定義在 R R 上的函數(shù) f 1 1 且對任意x R R 都有f x 5 f x 5 f x 1 f x 1 若g x f x 1 x 則g 2002 6 函數(shù)f x 32 1 2 xx 的單調(diào)遞增區(qū)間是 7 函數(shù)f x 221 xx x 的奇偶性是 奇函數(shù) 偶函數(shù) 填是 非 8 函數(shù)y x 23 2 xx的值域為 9 設f x 3 21 2 1 1 xx x 對任意的a R R 記 V a max f x ax x 1 3 min f x ax x 1 3 試求 V a 的 最小值 10 解方程組 xz zy yx 2 2 2 1 1 1 在實數(shù)范圍內(nèi) 11 設k N N f N N N N 滿足 1 f x 嚴格遞增 2 對任意n N N 有f f n kn 求證 對任意n N N 都有 1 2 k k n f n 2 1 n k 六 聯(lián)賽二試水平訓練題六 聯(lián)賽二試水平訓練題 1 求證 恰有一個定義在所有非零實數(shù)上的函數(shù)f 滿足 1 對任意x 0 f x x f 用心 愛心 專心 7 x 1 2 對所有的x y且xy 0 有f x f y 1 f x y 2 設f x 對一切x 0 有定義 且滿足 f x 在 0 是增函數(shù) 任意x 0 f x f x xf 1 1 試求f 1 3 f 0 1 R R 滿足 1 任意x 0 1 f x 0 2 f 1 1 3 當x y x y 0 1 時 f x f y f x y 試求最小常數(shù)c 對滿足 1 2 3 的函數(shù)f x 都 有f x cx 4 試求f x y 6 x2 y2 x y 4 x2 xy y2 3 x y 5 x 0 y 0 的最小值 5 對給定的正數(shù)p q 0 1 有p q 1 p2 q2 試求f x 1 x 22 xp 22 1 xqx 在 1 q p 上的最大值 6 已知f 0 1 R R 且f x qpqp