大學(xué)物理學(xué)(第三版)趙近芳 第5章答案

習(xí)題五 5 1 振動(dòng)和波動(dòng)有什么區(qū)別和聯(lián)系 平面簡(jiǎn)諧波動(dòng)方程和簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程有什么不同 又有什 么聯(lián)系 振動(dòng)曲線和波形曲線有什么不同 解 1 振動(dòng)是指一個(gè)孤立的系統(tǒng) 也可是介質(zhì)中的一個(gè)質(zhì)元 在某固定平衡位置附近所做 的往復(fù)運(yùn)動(dòng) 系統(tǒng)離開平衡位置的位移是時(shí)間的周期性函數(shù) 即可表示為 波動(dòng) tfy 是振動(dòng)在連續(xù)介質(zhì)中的傳播過(guò)程 此時(shí)介質(zhì)中所有質(zhì)元都在各自的平衡位置附近作振動(dòng) 因此介質(zhì)中任一質(zhì)元離開平衡位置的位移既是坐標(biāo)位置 又是時(shí)間 的函數(shù) 即xt txfy 2 在諧振動(dòng)方程中只有一個(gè)獨(dú)立的變量時(shí)間 它描述的是介質(zhì)中一個(gè)質(zhì)元偏離 tfy t 平衡位置的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律 平面諧波方程中有兩個(gè)獨(dú)立變量 即坐標(biāo) txfy 位置和時(shí)間 它描述的是介質(zhì)中所有質(zhì)元偏離平衡位置的位移隨坐標(biāo)和時(shí)間變化的規(guī)xt 律 當(dāng)諧波方程中的坐標(biāo)位置給定后 即可得到該點(diǎn)的振動(dòng)方程 而波源 cos u x tAy 持續(xù)不斷地振動(dòng)又是產(chǎn)生波動(dòng)的必要條件之一 3 振動(dòng)曲線描述的是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律 因此 其縱軸為 tfy y 橫軸為 波動(dòng)曲線描述的是介質(zhì)中所有質(zhì)元的位移隨位置 隨時(shí)間變化的規(guī)t txfy 律 其縱軸為 橫軸為 每一幅圖只能給出某一時(shí)刻質(zhì)元的位移隨坐標(biāo)位置變化的yxx 規(guī)律 即只能給出某一時(shí)刻的波形圖 不同時(shí)刻的波動(dòng)曲線就是不同時(shí)刻的波形圖 5 2 波動(dòng)方程 cos 中的表示什么 如果改寫為 cos yA u x t 0 u x yA 又是什么意思 如果 和均增加 但相應(yīng)的 的值 0 u x t u x tx u x t 0 不變 由此能從波動(dòng)方程說(shuō)明什么 解 波動(dòng)方程中的表示了介質(zhì)中坐標(biāo)位置為的質(zhì)元的振動(dòng)落后于原點(diǎn)的時(shí)間 ux x 則表示處質(zhì)元比原點(diǎn)落后的振動(dòng)位相 設(shè) 時(shí)刻的波動(dòng)方程為 u x xt cos 0 u x tAyt 則時(shí)刻的波動(dòng)方程為tt cos 0 u xx ttAy tt 其表示在時(shí)刻 位置處的振動(dòng)狀態(tài) 經(jīng)過(guò)后傳播到處 所以在中 txt tux u x t 當(dāng) 均增加時(shí) 的值不會(huì)變化 而這正好說(shuō)明了經(jīng)過(guò)時(shí)間 波形即向前tx u x t t 傳播了的距離 說(shuō)明描述的是一列行進(jìn)中的波 故謂之tux cos 0 u x tAy 行波方程 5 3 波在介質(zhì)中傳播時(shí) 為什么介質(zhì)元的動(dòng)能和勢(shì)能具有相同的位相 而彈簧振子的動(dòng)能 和勢(shì)能卻沒有這樣的特點(diǎn) 解 我們?cè)谟懻摬▌?dòng)能量時(shí) 實(shí)際上討論的是介質(zhì)中某個(gè)小體積元內(nèi)所有質(zhì)元的能dV 量 波動(dòng)動(dòng)能當(dāng)然是指質(zhì)元振動(dòng)動(dòng)能 其與振動(dòng)速度平方成正比 波動(dòng)勢(shì)能則是指介質(zhì)的 形變勢(shì)能 形變勢(shì)能由介質(zhì)的相對(duì)形變量 即應(yīng)變量 決定 如果取波動(dòng)方程為 txfy 則相對(duì)形變量 即應(yīng)變量 為 波動(dòng)勢(shì)能則是與的平方成正比 由波動(dòng)曲線圖xy xy 題 5 3 圖 可知 在波峰 波谷處 波動(dòng)動(dòng)能有極小 此處振動(dòng)速度為零 而在該處的應(yīng) 變也為極小 該處 所以在波峰 波谷處波動(dòng)勢(shì)能也為極小 在平衡位置處波0 xy 動(dòng)動(dòng)能為極大 該處振動(dòng)速度的極大 而在該處的應(yīng)變也是最大 該處是曲線的拐點(diǎn) 當(dāng) 然波動(dòng)勢(shì)能也為最大 這就說(shuō)明了在介質(zhì)中波動(dòng)動(dòng)能與波動(dòng)勢(shì)能是同步變化的 即具有相 同的量值 題 5 3 圖 對(duì)于一個(gè)孤立的諧振動(dòng)系統(tǒng) 是一個(gè)孤立的保守系統(tǒng) 機(jī)械能守恒 即振子的動(dòng)能與 勢(shì)能之和保持為一個(gè)常數(shù) 而動(dòng)能與勢(shì)能在不斷地轉(zhuǎn)換 所以動(dòng)能和勢(shì)能不可能同步變 化 5 4 波動(dòng)方程中 坐標(biāo)軸原點(diǎn)是否一定要選在波源處 0時(shí)刻是否一定是波源開始振動(dòng)的t 時(shí)刻 波動(dòng)方程寫成 cos 時(shí) 波源一定在坐標(biāo)原點(diǎn)處嗎 在什么前提下波動(dòng)yA u x t 方程才能寫成這種形式 解 由于坐標(biāo)原點(diǎn)和開始計(jì)時(shí)時(shí)刻的選全完取是一種主觀行為 所以在波動(dòng)方程中 坐標(biāo) 原點(diǎn)不一定要選在波源處 同樣 的時(shí)刻也不一定是波源開始振動(dòng)的時(shí)刻 當(dāng)波動(dòng)方0 t 程寫成時(shí) 坐標(biāo)原點(diǎn)也不一定是選在波源所在處的 因?yàn)樵诖颂帉?duì)于 cos u x tAy 波源的含義已做了拓展 即在寫波動(dòng)方程時(shí) 我們可以把介質(zhì)中某一已知點(diǎn)的振動(dòng)視為波 源 只要把振動(dòng)方程為已知的點(diǎn)選為坐標(biāo)原點(diǎn) 即可得題示的波動(dòng)方程 5 5 在駐波的兩相鄰波節(jié)間的同一半波長(zhǎng)上 描述各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的什么物理量不同 什么物 理量相同 解 取駐波方程為 則可知 在相鄰兩波節(jié)中的同一半波長(zhǎng)上 vtxAy cos 2 cos2 描述各質(zhì)點(diǎn)的振幅是不相同的 各質(zhì)點(diǎn)的振幅是隨位置按余弦規(guī)律變化的 即振幅變化規(guī) 律可表示為 而在這同一半波長(zhǎng)上 各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位相則是相同的 即以相xA 2 cos2 鄰兩波節(jié)的介質(zhì)為一段 同一段介質(zhì)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)都有相同的振動(dòng)位相 而相鄰兩段介質(zhì)內(nèi)的 質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位相則相反 5 6 波源向著觀察者運(yùn)動(dòng)和觀察者向波源運(yùn)動(dòng)都會(huì)產(chǎn)生頻率增高的多普勒效應(yīng) 這兩種情 況有何區(qū)別 解 波源向著觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí) 波面將被擠壓 波在介質(zhì)中的波長(zhǎng) 將被壓縮變短 如題 5 6 圖所示 因而觀察者在單位時(shí)間內(nèi)接收到的完整數(shù)目 會(huì)增多 所以接收頻率 u 增高 而觀察者向著波源運(yùn)動(dòng)時(shí) 波面形狀不變 但觀察者測(cè)到的波速增大 即 因而單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)觀察者完整波的數(shù)目也會(huì)增多 即接收頻率也將增 B vuu u 高 簡(jiǎn)單地說(shuō) 前者是通過(guò)壓縮波面 縮短波長(zhǎng) 使頻率增高 后者則是觀察者的運(yùn)動(dòng)使得 單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的波面數(shù)增加而升高頻率 題 5 6 圖多普勒效應(yīng) 5 7 一平面簡(jiǎn)諧波沿軸負(fù)向傳播 波長(zhǎng) 1 0 m 原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)頻率為 2 0 Hz x 振幅 0 1m 且在 0 時(shí)恰好通過(guò)平衡位置向軸負(fù)向運(yùn)動(dòng) 求此平面波的波動(dòng)方程 Aty 解 由題知時(shí)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為 故知原點(diǎn)的振動(dòng)初相為 0 t0 0 00 vy 2 取波動(dòng)方程為則有 2cos 0 x T t Ay 2 1 2 2cos 1 0 x ty 2 24cos 1 0 xtm 5 8 已知波源在原點(diǎn)的一列平面簡(jiǎn)諧波 波動(dòng)方程為 cos 其中 yACxBt A 為正值恒量 求 BC 1 波的振幅 波速 頻率 周期與波長(zhǎng) 2 寫出傳播方向上距離波源為 處一點(diǎn)的振動(dòng)方程 l 3 任一時(shí)刻 在波的傳播方向上相距為的兩點(diǎn)的位相差 d 解 1 已知平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程 cos CxBtAy 0 x 將上式與波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 22cos x tAy 比較 可知 波振幅為 頻率 A 2 B 波長(zhǎng) 波速 C 2 C B u 波動(dòng)周期 B T 21 2 將代入波動(dòng)方程即可得到該點(diǎn)的振動(dòng)方程lx cos ClBtAy 3 因任一時(shí)刻 同一波線上兩點(diǎn)之間的位相差為t 2 12 xx 將 及代入上式 即得dxx 12 C 2 Cd 5 9 沿繩子傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為 0 05cos 10 式中 以米計(jì) yxt 4 xy 以秒計(jì) 求 t 1 波的波速 頻率和波長(zhǎng) 2 繩子上各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)的最大速度和最大加速度 3 求 0 2m 處質(zhì)點(diǎn)在 1s時(shí)的位相 它是原點(diǎn)在哪一時(shí)刻的位相 這一位相所代表的xt 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在 1 25s時(shí)刻到達(dá)哪一點(diǎn) t 解 1 將題給方程與標(biāo)準(zhǔn)式 2 2cos xtAy 相比 得振幅 頻率 波長(zhǎng) 波05 0 Am5 1 s5 0 m 速 5 2 u 1 sm 2 繩上各點(diǎn)的最大振速 最大加速度分別為 5 005 0 10 max Av 1 sm 222 max 505 0 10 Aa 2 sm 3 m 處的振動(dòng)比原點(diǎn)落后的時(shí)間為2 0 x 08 0 5 2 2 0 u x s 故 時(shí)的位相就是原點(diǎn) 在時(shí)的位相 2 0 xm1 ts0 x92 0 08 0 1 0 ts 即 2 9 設(shè)這一位相所代表的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在s 時(shí)刻到達(dá)點(diǎn) 則25 1 tx 825 0 0 125 1 5 22 0 11 ttuxxm 5 10 如題5 10圖是沿軸傳播的平面余弦波在 時(shí)刻的波形曲線 1 若波沿軸正向傳xtx 播 該時(shí)刻 各點(diǎn)的振動(dòng)位相是多少 2 若波沿軸負(fù)向傳播 上述各點(diǎn)的OABCx 振動(dòng) 位相又是多少 解 1 波沿軸正向傳播 則在 時(shí)刻 有xt 題 5 10 圖 對(duì)于點(diǎn) O0 0 OO vy 2 O 對(duì)于點(diǎn) A0 AA vAy0 A 對(duì)于點(diǎn) B0 0 BB vy 2 B 對(duì)于點(diǎn) C0 0 CC vy 2 3 C 取負(fù)值 表示點(diǎn)位相 應(yīng)落后于點(diǎn)的位相 CBA O 2 波沿軸負(fù)向傳播 則在 時(shí)刻 有xt 對(duì)于點(diǎn) O0 0 OO vy 2 O 對(duì)于點(diǎn) A0 AA vAy0 A 對(duì)于點(diǎn) B0 0 BB vy 2 B 對(duì)于點(diǎn) C0 0 CC vy 2 3 C 此處取正值表示點(diǎn)位相超前于點(diǎn)的位相 CBA O 5 11 一列平面余弦波沿軸正向傳播 波速為5m s 1 波長(zhǎng)為2m 原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線x 如題5 11圖所示 1 寫出波動(dòng)方程 2 作出 0時(shí)的波形圖及距離波源0 5m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線 t 解 1 由題 5 11 a 圖知 m 且時(shí) 1 0 A0 t0 0 00 vy 2 3 0 又 則5 2 2 5 u Hz 52 題 5 11 圖 a 取 cos 0 u x tAy 則波動(dòng)方程為 2 3 5 5cos 1 0 x tym 2 時(shí)的波形如題 5 11 b 圖0 t 題 5 11 圖 b 題 5 11 圖 c 將m 代入波動(dòng)方程 得該點(diǎn)處的振動(dòng)方程為5 0 x 5cos 1 0 2 3 5 0 5 05 5cos 1 0 ttym 如題 5 11 c 圖所示 5 12 如題5 12圖所示 已知 0時(shí)和 0 5s時(shí)的波形曲線分別為圖中曲線 a 和 b 波tt 沿軸正向傳播 試根據(jù)圖中繪出的條件求 x 1 波動(dòng)方程 2 點(diǎn)的振動(dòng)方程 P 解 1 由題 5 12 圖可知 又 時(shí) 1 0 Am4 m0 t0 0 00 vy 而 2 0 2 5 0 1 t x u 1 sm 5 0 4 2 u Hz 2 故波動(dòng)方程為 2 2 cos 1 0 x tym 2 將代入上式 即得點(diǎn)振動(dòng)方程為1 P xmP tty cos1 0 22 cos 1 0 m 題 5 12 圖 5 13 一列機(jī)械波沿軸正向傳播 0時(shí)的波形如題5 13圖所示 已知波速為10 m s xt 1 波長(zhǎng)為2m 求 1 波動(dòng)方程 2 點(diǎn)的振動(dòng)方程及振動(dòng)曲線 P 3 點(diǎn)的坐標(biāo) P 4 點(diǎn)回到平衡位置所需的最短時(shí)間 P 解 由題 5 13 圖可知 時(shí) 由題知1 0 Am0 t0 2 00 v A y 3 0 2 m 則10 u 1 sm 5 2 10 u Hz 102 1 波動(dòng)方程為 3 10 10cos 01 x tym 題 5 13 圖 2 由圖知 時(shí) 點(diǎn)的位相應(yīng)落后于點(diǎn) 故0 t0 2 PP v A y 3 4 P P0 取負(fù)值 點(diǎn)振動(dòng)方程為P 3 4 10cos 1 0 typ 3 3 4 3 10 10 0 t x t 解得 67 1 3 5 xm 4 根據(jù) 2 的結(jié)果可作出旋轉(zhuǎn)矢量圖如題 5 13 圖 a 則由點(diǎn)回到平衡位置應(yīng)經(jīng)歷的位P 相角 題 5 13 圖 a 6 5 23 所屬最短時(shí)間為 12 1 10 6 5 ts 5 14 如題5 14圖所示 有一平面簡(jiǎn)諧波在空間傳播 已知P點(diǎn)的振動(dòng)方程為 cos P yA 0 t 1 分別就圖中給出的兩種坐標(biāo)寫出其波動(dòng)方程 2 寫出距點(diǎn)距離為的點(diǎn)的振動(dòng)方程 PbQ 解 1 如題 5 14 圖 a 則波動(dòng)方程為 cos 0 u x u l tAy 如圖 b 則波動(dòng)方程為 題 5 14 圖 cos 0 u x tAy 2 如題 5 14 圖 a 則點(diǎn)的振動(dòng)方程為Q cos 0 u b tAAQ 如題 5 14 圖 b 則點(diǎn)的振動(dòng)方程為Q cos 0 u b tAAQ 5 15 已知平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為 SI 24 cosxtAy 1 寫出 4 2 s時(shí)各波峰位置的坐標(biāo)式 并求此時(shí)離原點(diǎn)最近一個(gè)波峰的位置 該波峰何t 時(shí)通過(guò)原點(diǎn) 2 畫出 4 2 s時(shí)的波形曲線 t 解 1 波峰位置坐標(biāo)應(yīng)滿足 kxt2 24 解得 4 8 kxm 2 1 0 k 所以離原點(diǎn)最近的波峰位置為 4 0 m 故知 u x ttt 242 u 1 sm 這就是說(shuō)該波峰在前通過(guò)原點(diǎn) 那么從計(jì)時(shí)時(shí)刻算起 則2 0 2 4 0 ts2 0s 應(yīng)是 即該波峰是在時(shí)通過(guò)原點(diǎn)的 42 02 4 s4s 題 5 15 圖 2 又處 時(shí) 2 4 u 1 sm 1 2 uuTm0 x2 4 ts 8 1642 4 0 AAy8 02 44cos 0 又 當(dāng)時(shí) 則應(yīng)有Ay 17 x 172 8 16 x 解得 故時(shí)的波形圖如題 5 15 圖所示1 0 xm2 4 ts 5 16 題5 16圖中 a 表示 0時(shí)刻的波形圖 b 表示原點(diǎn) 0 處質(zhì)元的振動(dòng)曲線 試求tx 此波的波動(dòng)方程 并畫出 2m處質(zhì)元的振動(dòng)曲線 x 解 由題 5 16 b 圖所示振動(dòng)曲線可知 且時(shí) 2 Ts2 0 Am0 t 0 0 00 vy 故知 再結(jié)合題 5 16 a 圖所示波動(dòng)曲線可知 該列波沿軸負(fù)向傳播 2 0 x 且 若取4 m 2cos 0 x T t Ay 題 5 16 圖 則波動(dòng)方程為 2 42 2cos 2 0 xt y 5 17 一平面余弦波 沿直徑為14cm的圓柱形管傳播 波的強(qiáng)度為18 0 10 3J m 2 s 1 頻率為300 Hz 波速為300m s 1 求 1 波的平均能量密度和最大能量密度 2 兩個(gè)相鄰?fù)嗝嬷g有多少波的能量 解 1 uwI 5 3 106 300 10 0 18 u I w 3 mJ 4 max 102 12 ww 3 mJ 2 u dwdwVW 22 4 1 4 1 725 1024 9 300 300 14 0 4 1 106 J 5 18 如題5 18圖所示 和為兩相干波源 振幅均為 相距 較位相超 1 S 2 S 1 A 4 1 S 2 S 前 求 2 1 外側(cè)各點(diǎn)的合振幅和強(qiáng)度 1 S 2 外側(cè)各點(diǎn)的合振幅和強(qiáng)度 2 S 解 1 在外側(cè) 距離為的點(diǎn) 傳到該點(diǎn)引起的位相差為 1 S 1 S 1 r 1 S 2 SP 4 2 2 11 rr 0 0 2 11 AIAAA 2 在外側(cè) 距離為的點(diǎn) 傳到該點(diǎn)引起的位相差 2 S 2 S 1 r 1 S 2 S 0 4 2 2 22 rr 2 1 2 111 4 2AAIAAAA 5 19 如題5 19圖所示 設(shè)點(diǎn)發(fā)出的平面橫波沿方向傳播 它在點(diǎn)的振動(dòng)方程為BBPB 點(diǎn)發(fā)出的平面橫波沿方向傳播 它在點(diǎn)的振動(dòng)方程為ty 2cos102 3 1 CCPC 本題中以m計(jì) 以s計(jì) 設(shè) 0 4m 0 5 m 波 2cos 102 3 2 tyytBPCP 速 0 2m s 1 求 u 1 兩波傳到P點(diǎn)時(shí)的位相差 2 當(dāng)這兩列波的振動(dòng)方向相同時(shí) 處合振動(dòng)的振幅 P 3 當(dāng)這兩列波的振動(dòng)方向互相垂直時(shí) 處合振動(dòng)的振幅 P 解 1 2 12 BPCP BPCP u 0 4 05 0 2 0 2 題 5 19 圖 2 點(diǎn)是相長(zhǎng)干涉 且振動(dòng)方向相同 所以P 3 21 104 AAAPm 3 若兩振動(dòng)方向垂直 又兩分振動(dòng)位相差為 這時(shí)合振動(dòng)軌跡是通過(guò) 象限的直線 0 所以合振幅為 33 1 2 2 2 1 1083 2 10222 AAAAm 5 20 一平面簡(jiǎn)諧波沿軸正向傳播 如題5 20圖所示 已知振幅為 頻率為波速xA 為 u 1 若 0時(shí) 原點(diǎn)處質(zhì)元正好由平衡位置向位移正方向運(yùn)動(dòng) 寫出此波的波動(dòng)方程 tO 2 若從分界面反射的波的振幅與入射波振幅相等 試寫出反射波的波動(dòng)方程 并求軸上 x 因入射波與反射波干涉而靜止的各點(diǎn)的位置 解 1 時(shí) 故波動(dòng)方程為0 t0 0 00 vy 2 0 m 2 2cos u x tvAy 題 5 20 圖 2 入射波傳到反射面時(shí)的振動(dòng)位相為 即將代入 再考慮到波由 4 3 x 24 32 波疏入射而在波密界面上反射 存在半波損失 所以反射波在界面處的位相為 24 32 若仍以點(diǎn)為原點(diǎn) 則反射波在點(diǎn)處的位相為OO 因只考慮以內(nèi)的位相角 反射波在點(diǎn)的位相為 2 5 43 2 2O 2 故反射波的波動(dòng)方程為 2 2cos u x tAy反 此時(shí)駐波方程為 2 2cos u x tAy 2 2cos u x tA 2 2cos 2 cos2 t u x A 故波節(jié)位置為 2 12 22 kx u x 故 4 12 kx 2 1 0 k 根據(jù)題意 只能取 即k1 0 4 3 4 1 x 5 20 一駐波方程為 0 02cos20cos750 SI 求 yxt 1 形成此駐波的兩列行波的振幅和波速 2 相鄰兩波節(jié)間距離 解 1 取駐波方程為 t u x Ay 2cos 2 cos2 故知 01 0 2 02 0 Am 則 7502 2 750 20 2 u 5 37 20 2 7502 20 2 u 1 sm 2 所以相鄰兩波節(jié)間距離314 0 1 0 20 2 u m 157 0 2 xm 5 22 在弦上傳播的橫波 它的波動(dòng)方程為 0 1cos 13 0 0079 SI 1 ytx 試寫出一個(gè)波動(dòng)方程 使它表示的波能與這列已知的橫波疊加形成駐波 并在 0處為波 x 節(jié) 解 為使合成駐波在處形成波節(jié) 則要反射波在處與入射波有的位相差 故0 x0 x 反射波的波動(dòng)