函數(shù)中恒成立問題解題策略蘇教

函數(shù)中恒成立問題解題策略江蘇江陰長涇中學(xué) 袁海峰函數(shù)的內(nèi)容作為高中數(shù)學(xué)知識體系的核心，也是歷年高考的一個熱點.函數(shù)類問題的解決最終歸結(jié)為對函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)思想的應(yīng)用.恒成立問題，在高中數(shù)學(xué)中較為常見.這類問題的解決涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)與對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的性質(zhì)、圖象，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用.恒成立問題在解題過程中有以下幾種策略：賦值型；一次函數(shù)型；二次函數(shù)型；變量分離型；數(shù)形結(jié)合型.現(xiàn)在我們一起來探討其中一些典型的問題.策略一、賦值型利用特殊值求解等式中的恒成立問題，常常用賦值法求解，特別是對解決填空題、選擇題能很快求得.例1由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定義映射f：(a1,a2,a3,a4)b1+b2+b3+b4,則f：(4,3,2,1) ( )A.10 B.7 C.-1 D.0略解：取x=0，則 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故選D例2如果函數(shù)y=f(x)=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x= 對稱，那么a=（ ）.A.1 B.-1 C . D. -.略解：取x=0及x=，則f(0)=f(),即a=-1，故選B.此法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想.策略二、一次函數(shù)型利用單調(diào)性求解給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n內(nèi)恒有f(x)0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（線段）（如下圖） 可得上述結(jié)論等價于），或 ） 可合并定成nmoxynmoxy同理，若在m,n內(nèi)恒有f(x)2a+x恒成立的x的取值范圍.分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個字母：x及a,關(guān)鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數(shù).顯然可將a視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在-2，2內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x-1)a+x2-2x+10在|a|2時恒成立,設(shè)f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,則f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x3. 即x(,1)(3,+)此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間m,n上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點均在x軸上方（或下方）即可.策略三、二次函數(shù)型利用判別式,韋達定理及根的分布求解對于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c=0(a0)在實數(shù)集R上恒成立問題可利用判別式直接求解，即 f(x)0恒成立；f(x)g(a)恒成立，則g(a)f(x)min;若對于x取值范圍內(nèi)的任何一個數(shù)，都有f(x)f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分別為f(x)的最大值和最小值)例6.已知三個不等式，要使同時滿足的所有x的值滿足，求m的取值范圍.略解：由得2x3;,構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象，得a3.利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題，應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍.恒成立的題型和解法還有很多，只要我們充分利用所給定的函數(shù)的特