麥克斯韋速率分布律的推導(dǎo)與驗證.doc

熱學(xué)研究（論文）麥克斯韋速度分布律的推導(dǎo)與實驗驗證摘要：本文對麥克斯韋速度分布律的內(nèi)容及其歷史來歷做了簡略概述，重點是用初等方法推導(dǎo)了麥克斯韋速度分布律，同時簡單地描述了一下它的實驗驗證。關(guān)鍵詞：速度分布函數(shù)，實驗驗證。一 內(nèi)容1、 麥克斯韋速度分布律的內(nèi)容當(dāng)氣體處于平衡態(tài)時，氣體分子的速度在間隔內(nèi)，及分子速度分量在，間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)N的比率為：，其中m為分子的質(zhì)量，T為氣體溫度，k為波爾茲曼常數(shù)，為氣體分子平動能。表示速度矢量的端點在速度體元內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率，換言之，一個分子取得間隔內(nèi)速度的幾率。2、 分子速度分布函數(shù)的物理意義是：分子速度在v附近，單位時間間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。3、速度分量分布函數(shù)3、 麥克斯韋速率分布律將以為軸的笛氏坐標進行坐標變換，變?yōu)榍蜃鴺朔肿铀俣仍?，?nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為對，積分，得分子的速度在內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為4、 分子速率分布函數(shù)物理意義:分子速率在v附近，單位速率間隔內(nèi)的幾率。二 歷史1859年4月，麥克斯韋偶然的讀到克勞修斯關(guān)于平均自由路程的那篇論文，很受鼓舞，重燃了他原來在土星衛(wèi)環(huán)問題上運用概率理論的信念，認為可以用所掌握的概率理論對動理論進行更全面的論證。1859年麥克斯韋寫了氣體動力理論的說明一文。接著他用概率方法找出粒子速度在某一限值內(nèi)的粒子的平均數(shù)，即速率分布律。麥克斯韋的這一推導(dǎo)受到了克勞修斯的批評，也引起了其他物理學(xué)家的懷疑。這是因為他在推導(dǎo)中把速度分解為x，y和z三個分量，并假設(shè)他們相互獨立的分布。直到1866年，麥克斯韋對氣體分子運動理論做了進一步的研究以后，他寫了氣體的動力理論的長篇論文，討論氣體的輸運過程。其中有一段是關(guān)于速度分布律的嚴格推導(dǎo)，這一推導(dǎo)不再有“速度三個分量的分布相互獨立”的假設(shè)，也得出了上述速度分布律。它不依賴于任何假設(shè)，因而結(jié)論是普遍的。三 麥克斯韋速度分布律的推導(dǎo)設(shè)容器內(nèi)有一定量的氣體處于平衡態(tài)，氣體總分子數(shù)為N，分子速度在x，y，z三個方向上的分量為。處于平衡態(tài)的氣體分子速度分布應(yīng)該是各向同性的，在速度區(qū)間，內(nèi)的分子數(shù)dN顯然與總分子數(shù)N和速度間隔體元成正比即 （） （1）這里比例系數(shù) (2 )為速度分布函數(shù)由于速度分布函數(shù)的各向同性，速度的任一分量的分布于其它量無關(guān)，故可設(shè) （3）對上式兩邊取對數(shù)的上式分別對求偏導(dǎo)先對 整理后可得 同理有 以上三式左邊相同，故右邊也相等可令 對上式積分得將其帶入（3）式有 （5）考慮到具有無限大速率的分子出現(xiàn)的幾率極小，故應(yīng)為負值令，有歸一條件有：由積分公式 可知上式 得于是 （6）在利用分子平均動能等于則 即 （7）僅取上積分式中一項由積分公式 可得 原式則 代入（7）式有 得 代入（6）式有 （8）通常說的速率分函數(shù)，f（u）指的是不論速度方向如何，只考慮速度的大小點的分布，在這種情況下，自然應(yīng)該用球坐標系表示速度區(qū)間則 可得： 四 實驗驗證在麥克斯韋從理論推導(dǎo)速度分布律后的近半個世紀，由于當(dāng)時的技術(shù)條件，主要是高真空技術(shù)和測量技術(shù)的限制，要從實驗上來驗證麥克斯韋速度分布律是非常困難的，直到1920年，英國物理學(xué)家斯特恩才做了第一次的嘗試。雖然實驗技術(shù)曾經(jīng)有許多物理工作者做了進一步的改進，但直到1955年才由哥倫比亞大學(xué)的密勒和庫士提出了這個定律的高精確的實驗證明。1、 實驗裝置簡介（1）、o為分子或原子射線源（2）、R是用鋁合金制成的圓柱體，圓柱體上均勻地刻制了一些螺旋形的細槽，細槽的入口狹縫與出口狹縫之間的夾角（3）、D是根據(jù)電離計原理制成的檢測器，用來接收原子射線，并測定其強度（4）、整個裝置都放在抽成真空的容器內(nèi)2、實驗原理 實驗時，圓柱體R以一定的角速度轉(zhuǎn)動，由于不同的速率的分子通過細槽所需的時間不同，各種速率的分子射入入口狹縫后，只有速率嚴格限定的分子才能通過這些細槽，而不和細槽壁碰撞。分子沿細槽前進所需的時間為，從而有只有速率滿足上述關(guān)系的分子才能通過細槽，其它速率的分子將沉積在細槽的內(nèi)壁上。因此旋轉(zhuǎn)主體起到了速率選擇器的作用，改變角速度，就可以使不同的分子通過。3、實驗過程與結(jié)果改變圓柱體轉(zhuǎn)動的角速度，依次測定相應(yīng)分子射線的強度，就可以確定分子射線的速率分布情況。試驗表明，射線強度確為速率的函數(shù)，強度大，表明分布在該速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)所占的比率較大，反之亦然。實驗還表明，在相同條件下，各相等速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)比率不同，多次實驗得到同一速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)比率大致相同。這就說明分子速率確實存在一個恒定的分布律。1955年密勒與庫士測定了從加熱爐內(nèi)發(fā)射出來的鉈原子速率分布，實驗溫度為1400K,并由實驗數(shù)據(jù)會出了鉈原子速率分布的試驗曲線（見下圖）。由試驗曲線可知：（1）、值兩頭小，中間大，有一極大值（2）、可認為大量原子（或分子）的速率是連續(xù)分布的，當(dāng)取得很小時，則有 這一函數(shù)，麥克斯韋首先從理論上找到了密勒與庫士于1955年在實驗上比較精確的證明了麥克斯韋速度分布律。總結(jié)：應(yīng)用麥克斯韋速率分布律可以求與速度有關(guān)的函數(shù)的各種平均值；可以計算速率在內(nèi)的分子數(shù)；可以計算速率在有限間隔內(nèi)的分子數(shù)或者百分數(shù)；也可以推導(dǎo)理想氣體的壓強公式、溫度公式、狀態(tài)方程及幾個實驗定律；還可以推導(dǎo)能量均分定理。麥克斯韋速度分布律對于研究氣體無規(guī)則熱運動有重要意義，找到了微觀量求統(tǒng)計平均值的途徑，為氣體分子運動論奠定了基