八年級(jí)數(shù)學(xué)(上)幾何證明中的輔助線添加方法.doc

八年級(jí)數(shù)學(xué)（上）幾何證明中的輔助線添加方法數(shù)學(xué)組 田茂松 八年級(jí)數(shù)學(xué)的幾何題，有部分題需要做出輔助線才能完成。有的時(shí)候，做不出恰當(dāng)?shù)妮o助線，或者做不出輔助線，就沒有辦法完成該題的解答。為了能夠更好的讓學(xué)生在做幾何題時(shí)得心應(yīng)手，現(xiàn)在將八年級(jí)數(shù)學(xué)中幾何題的輔助線添加方法總結(jié)如下。常見輔助線的作法有以下幾種：1.遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”。2.遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。3.遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4.過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”。5.截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。6.特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答。 常見輔助線的作法舉例：例1 如圖1,，. 求證：.分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。證明：連接（或）圖1 , （已知） 12，34 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）在與中 （ASA） （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）例2 如圖2,在中，的延長于.求證：. 圖2分析：要證，想到要構(gòu)造線段，同時(shí)與的平分線垂直，想到要將其延長。 證明：分別延長，交于點(diǎn). （已知） （垂直的定義）在與中，（ASA） （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）, （已知） , , 在與中 （AAS）（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） .例3 已知如圖3,、相交于點(diǎn)，且，求證：.圖3分析：要證，可證它們所在的三角形和全等，而只有和對(duì)頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件,難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由，若連接，則和全等，所以，證得.證明：連接，在和中 (SSS) (全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)例4 如圖4,，.求證：.分析：由，想到如取的中點(diǎn)，連接，再由SAS公理有，故，.下面只需證，再取的中點(diǎn)，連接，則由SSS公理有，所以.證明：取，的中點(diǎn)、，連接，.則，.圖4在和中 （SAS）, （全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）在與中 (SSS) （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）,即.例5 如圖5，平分，平分，點(diǎn)在上，求證：.圖5分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用角平分線來構(gòu)造軸對(duì)稱圖形，同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段.但無論延長還是截取都要證明線段的相等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的.簡證：在此題中可在長線段上截取，再證明，從而達(dá)到證明的目的.這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形.另外一個(gè)全等自已證明,只要證明即可.此題的證明也可以延長與的延長線交于一點(diǎn)來證明.例6 如圖6，已知, ,.求證：.圖6分析：可由點(diǎn)向的兩邊作垂線,證明,進(jìn)而得,從而得證.證明：略例7 如圖，在中，是角平分線，,求證:.分析：證法1 此題涉及到倍角關(guān)系，基本思路是構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的兩個(gè)底角相等，由此可以在上去一點(diǎn)(如圖6-1)，使,容易證明,可得,又由,可知,得.圖7-2證法2 可以延長到（如圖6-2）,使,連接.易證，從而,又,問題得證.圖7-1 證明