孿生素數(shù)無限!(格點數(shù)論版)

當時, 在開區(qū)間內(nèi)至少有一對孿生素數(shù).-孿生素數(shù)無限(格點數(shù)論版).張 忠（言）江蘇省南通市崇川區(qū) 郵編：226002摘要: 本文依據(jù)同余理論, 通過格點二次篩法對聯(lián)立一元二次不同余方程組的解集: 的分析與驗證, 發(fā)現(xiàn)整數(shù)的一個重要規(guī)律: 在前閉后開區(qū)間內(nèi)至少有一個. 依據(jù)該規(guī)律, 本文證明了 “孿生素數(shù)”無限.關(guān)鍵詞: 素數(shù), 整數(shù)的多維式, 模, 不同余, 格點篩法, 集合的勢. 0. 引言. 大于的偶數(shù)是否都可表為二個奇素數(shù)之和? 孿生素數(shù)對是否無限? 這些都是一直困惑著人們的古老數(shù)論問題, 甚至許多大數(shù)學家都認為: 人們至今也未能找到真正能解決這些問題的方法和途徑. 而本文謹用同余理論和篩法, 來揭示至少可解決“孿生素數(shù)對無限”的一個重要規(guī)律.1. 基本慨念, 名詞, 定義及代(符)號的意義.1.1. 若無特別聲明, 本文中小寫字母表整數(shù), 大寫字母表整數(shù)集合. 例: , 表的歐拉數(shù), 表模的簡化剩余集,表素數(shù)集合, 且 且. 1.2. 表集合的勢, 即集合內(nèi)元素的個數(shù). 1.3. 為同余符號, 為不同余符號.1.4. 整數(shù)的多維式. 若 , 則可將其記作: , 并稱其為的多維式,在不至引起誤解時,可省略式中. 而由孫子定理與歐拉定理知: 012341.5. 定義一: 定義一元一次不同余方程, 為(素數(shù))模之的(一次)篩, 簡記為, 例: 為: 而該不同余方程的解稱稱為的縮剩余, 為的縮剩余集. 作為特例, 當時, 稱為模的簡化剩余,為模的簡化剩余集.1.6. 定義二. 若: , , 則定義聯(lián)立(一次)不同余方程組: , 為(合數(shù))模之篩, 并簡記為: 或. 該聯(lián)立方程的解稱為(合數(shù))模之篩的(一次)縮剩余. 作為特例: 當時, 該聯(lián)立方程的解即模的簡化剩余.圖一: 的格點篩01234012340123401201201201201201010101010101001234567891011121314緊接下圖012340123401234012012012012012101010101010101151617181920212223242526272829緊 接上圖 由圖一: 可得模的最小正簡化剩余系: .1.7. 定義三: 若, 則定義不同余方程: ,為(素)模之(或)的二次篩, 并簡記為; 為的二次縮剩余, 為區(qū)別與模之其它二次篩的縮剩余, 模之篩的縮剩余記為或. 因當且時: 與分別為模的兩個不同剩余類, 但模之的二次篩與模之的二次篩相同, 故模之的二次篩與模之的二次篩為模之異名同類篩, 故知模之二次異名同類篩的二次縮剩余也相同. 模之篩系內(nèi)有且僅有類篩: ,.例一: 圖二為求的最小非負二次縮剩余系的格點圖解法:模70123-3-2-1N0123456圖二. :(注: 上圖列中含紅色格點的整數(shù)表示被篩除.)又: . 稱為篩的最小絕對值縮剩余系.1.8. 定義四. 若: , , 則定義不同余方程組: , 為(合數(shù))模之的二次篩: .的任一確定值稱為不同余方程組的(關(guān)于模的)一個解類(或特解). 從二次不同余方程組的各類解中任取一個值組成的集合為該二次不同余方程組 (關(guān)于模)的解系, 即的(關(guān)于模的)二次縮剩余系. 故知: 例二. 當, 時: , 模之的最小非負二次縮剩余系可由圖三:獲知:; 也可將其表為模之的最小絕對值二次縮剩余系: . 圖三. 模 5012-2-1012-2-1012-2-1 模 301-101-101-101-101-1 模 2010101010101010 整 數(shù)01234567891011121314緊接 下圖012-2-1012-2-1012-2-101-101-101-101-101-1101010101010101151617181920212223242526272829緊 上接圖又因:, 所以: , 是模的二次異名同類篩, 故:, 且:=.1.9. 虛篩與實篩. 若: , 而同時被,篩除, 則稱被且僅被實篩, 而分別被,等虛篩; 若集合中有一元素被實篩, 則稱集合被實篩, 若集合中無一元素被實篩, 則稱集合被虛篩.2. 引理及定理.引理一. 受最大二次篩除的區(qū)間, 必分別受 () 的實篩.證: 設受最大二次篩除的區(qū)間內(nèi)的個數(shù)最少, 有且僅有個, 且其中一個. 現(xiàn)反設受()虛篩, 則由知, 必存在整數(shù): 且 , 故知: 則受模之二次篩的區(qū)間內(nèi)有且僅有個,當再受模之的二次篩時, 必被實篩, 即受篩除的區(qū)間必受實篩, 內(nèi)最多僅有個, 該結(jié)論與原設矛盾, 故知引理一成立.定理一. 若: , , 前閉后開區(qū)間, 模之篩的二次縮剩余系為:, , 則: 受模之最大二次篩的內(nèi)至少有一個, 即: . (證明暫略! 詳情請見文后說明.)下面僅給出定理一的驗證方法及當時的驗證結(jié)果,以供參考.(1) 當時: , , , 是模之的二次縮剩余集, ,模的二次篩系內(nèi)有且僅有類兩兩不同的篩: ,則由格點二次篩法可求: ,m 301-10m 20101N0123m 301-10m 20101N0123 m 301-10m 20101N0123m 301-10m 20101N0123 故知: . 故由驗證知當定理時一成立.(2) 當時: , , 篩系內(nèi)有且僅有類篩, 則由格點二次篩法可求:, , , , , , , , , .故由驗證知當時: ,定理一成立!(3) 當n=4時: , , , 二次篩系內(nèi)有且僅有類篩. 由由驗證知在集系中勢最小的集合有且僅有下列四類: ; ; .故由驗證知當時: .定理一成立!(4) 當時: , , ,二次篩系內(nèi)有且僅有類篩.由驗證知在集系中勢最小的集合有且僅有三類: , .故由驗證知當時: .定理一成立.(5)當時: , , , 二次篩系內(nèi)有且僅有類篩.由驗證知在集系中勢最小的集合有且僅有下列六類: (如若有誤, 敬請指正!), , , , .故由驗證知當時: . 定理一成立.由上面驗證知,當時: .定理一都成立. 定理二. 若: , , , 則: 在前閉后開區(qū)間內(nèi)至少有二個.證: 由定理一知, 受最大篩除的前閉后開區(qū)間:內(nèi)至少有一個, 而由引理一知: 必受的實篩, 至少被實篩去一個. 故知在區(qū)間內(nèi)至少有二個.3.命題證明.命題一. 若: , 則當時, 在開區(qū)間內(nèi)至少有一對孿生素數(shù). 即: 孿生素數(shù)無限.分析: 若存在偶數(shù): 使, 且, 則由素數(shù)判別法知: 必為大于的孿生素數(shù). 證: 素數(shù)的個數(shù)無限,若() 一旦確定, 則,及開區(qū)間也因之確定. 現(xiàn)令: , 且: 即: , 因: , 故只有二種可能: 或, 即: 或.由定理二知: 半開閉區(qū)間內(nèi)至少有二個偶數(shù), 使:, 故開區(qū)間 內(nèi)至少有一個偶數(shù):使, 且:. 故由素數(shù)判別法知: 必為孿生素數(shù), 故知當時, 在開區(qū)間內(nèi)至少有一對孿生素數(shù). 命題二成立. 驗證: 當時: , ,.由定理二知在開區(qū)間內(nèi)至少有一對孿生素數(shù).圖五. .m 5012-2-1012-2-1012-2-1012-2-1m 3-101-101-101-101-101-101-10m 21010101010101010101056789101112131415161718192021222324由圖五知在開區(qū)間 內(nèi)有且僅有二個: ,故知在開區(qū)間內(nèi)有二對孿生素數(shù): , .故由知: 當時命題一成立! 當時: , ,.由命題一知在開區(qū)間內(nèi)至少有一對孿生素數(shù).圖 .0123-3-2-10123-3-2-101232-2-1012-2-1012-2-1012-2-11-101-101-101-101-101-10101010101010101010789101112131415161718192021222324-3-2-10123-3-2-10123-3-2-10012-2-1012-2-1012-2-10121-101-101-101-101-101-10101010101010101010252627282930313233343536373839404142123-3-2-10123-3-2-10123-3-2-1012-2-1012-2-1012-2-101-101-101-101-101-101-10101010101010101010434445464748495051525354555657585960 由圖 得: , 故知在開區(qū)間內(nèi)有對孿生素數(shù): ,:; ; ; .故由知當時命題一成立!參考文獻:1. 華羅庚. 數(shù)論導引. 科學出版社出版, 1957年第一版.2. 熊全淹. 初等數(shù)論. 湖北人民出版社出版, 1982年第一版.3. 閔嗣鶴, 嚴士健. 初等數(shù)論. 人民教育出版社出版, 1982年9月第二版.說明: 由于目前幾乎所有的數(shù)學家們都一致認為: 用初等的方法是不可能證明孿生素數(shù)想等數(shù)論難題的, 所以為避免該文遭遇本