數(shù)學(xué)選修2-3第三章統(tǒng)計(jì)案例教案.doc

第三章 統(tǒng)計(jì)案例 3.1 獨(dú)立性檢驗(yàn)（1）1 某醫(yī)療機(jī)構(gòu)為了了解呼吸道疾病與吸煙是否有關(guān)，進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，共調(diào)查了515個(gè)成年人，其中吸煙者220人，不吸煙者295人調(diào)查結(jié)果是：吸煙的220人中有37人患呼吸道疾病（簡(jiǎn)稱患?。?，183人未患呼吸道疾病（簡(jiǎn)稱未患?。?；不吸煙的295人中有21人患病，274人未患病問(wèn)題：根據(jù)這些數(shù)據(jù)能否斷定“患呼吸道疾病與吸煙有關(guān)”？為了研究這個(gè)問(wèn)題，（1）引導(dǎo)學(xué)生將上述數(shù)據(jù)用下表來(lái)表示：患病未患病合計(jì)吸煙37183220不吸煙21274295合計(jì)58457515一建構(gòu)數(shù)學(xué)1獨(dú)立性檢驗(yàn)： （1）假設(shè)：患病與吸煙沒有關(guān)系若將表中“觀測(cè)值”用字母表示，則得下表：患病未患病合計(jì)吸煙不吸煙合計(jì)如果實(shí)際觀測(cè)值與假設(shè)求得的估計(jì)值相差不大，就可以認(rèn)為所給數(shù)據(jù)（觀測(cè)值）不能否定假設(shè)否則，應(yīng)認(rèn)為假設(shè)不能接受，即可作出與假設(shè)相反的結(jié)論 （2）卡方統(tǒng)計(jì)量：為了消除樣本對(duì)上式的影響，通常用卡方統(tǒng)計(jì)量（2）來(lái)進(jìn)行估計(jì)卡方2統(tǒng)計(jì)量公式： 2（其中）由此若成立，即患病與吸煙沒有關(guān)系，則2的值應(yīng)該很小把代入計(jì)算得2，統(tǒng)計(jì)學(xué)中有明確的結(jié)論，在成立的情況下，隨機(jī)事件“”發(fā)生的概率約為，即，也就是說(shuō)，在成立的情況下，對(duì)統(tǒng)計(jì)量2進(jìn)行多次觀測(cè)，觀測(cè)值超過(guò)的頻率約為由此，我們有99%的把握認(rèn)為不成立，即有99%的把握認(rèn)為“患病與吸煙有關(guān)系”象以上這種用統(tǒng)計(jì)量研究吸煙與患呼吸道疾病是否有關(guān)等問(wèn)題的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)2獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟： 一般地，對(duì)于兩個(gè)研究對(duì)象和，有兩類取值：類和類（如吸煙與不吸煙），也有兩類取值：類和類（如患呼吸道疾病與不患呼吸道疾?。?，得到如下表所示：類類合計(jì)類類 合計(jì)推斷“和有關(guān)系”的步驟為：第一步，提出假設(shè)：兩個(gè)分類變量和沒有關(guān)系；第二步，根據(jù)22列聯(lián)表和公式計(jì)算2統(tǒng)計(jì)量；第三步，查對(duì)課本中臨界值表，作出判斷3獨(dú)立性檢驗(yàn)與反證法：反證法原理：在一個(gè)已知假設(shè)下，如果推出一個(gè)矛盾，就證明了這個(gè)假設(shè)不成立；獨(dú)立性檢驗(yàn)（假設(shè)檢驗(yàn)）原理：在一個(gè)已知假設(shè)下，如果一個(gè)與該假設(shè)矛盾的小概率事件發(fā)生，就推斷這個(gè)假設(shè)不成立四數(shù)學(xué)運(yùn)用1例題：例1在500人身上試驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示問(wèn)：該種血清能否起到預(yù)防感冒的作用？ 未感冒感冒合計(jì)使用血清258242500未使用血清216284500合計(jì)4745261000分析：在使用該種血清的人中，有的人患過(guò)感冒；在沒有使用該種血清的人中，有的人患過(guò)感冒，使用過(guò)血清的人與沒有使用過(guò)血清的人的患病率相差較大從直觀上來(lái)看，使用過(guò)血清的人與沒有使用過(guò)血清的人的患感冒的可能性存在差異解：提出假設(shè)：感冒與是否使用該種血清沒有關(guān)系由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得當(dāng)成立時(shí)，的概率約為，我們有99%的把握認(rèn)為：該種血清能起到預(yù)防感冒的作用 例2為研究不同的給藥方式（口服或注射）和藥的效果（有效與無(wú)效）是否有關(guān)，進(jìn)行了相應(yīng)的抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表所示根據(jù)所選擇的193個(gè)病人的數(shù)據(jù)，能否作出藥的效果與給藥方式有關(guān)的結(jié)論？有效無(wú)效合計(jì)口服584098注射643195合計(jì)12271193分析：在口服的病人中，有的人有效；在注射的病人中，有的人有效從直觀上來(lái)看，口服與注射的病人的用藥效果的有效率有一定的差異，能否認(rèn)為用藥效果與用藥方式一定有關(guān)呢？下面用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法加以說(shuō)明解：提出假設(shè)：藥的效果與給藥方式?jīng)]有關(guān)系由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得當(dāng)成立時(shí)，的概率大于，這個(gè)概率比較大，所以根據(jù)目前的調(diào)查數(shù)據(jù)，不能否定假設(shè)，即不能作出藥的效果與給藥方式有關(guān)的結(jié)論說(shuō)明：如果觀測(cè)值，那么就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示“與有關(guān)系”，但也不能作出結(jié)論“成立”，即與沒有關(guān)系3.1 獨(dú)立性檢驗(yàn)（2）二數(shù)學(xué)運(yùn)用1練習(xí)題：1在對(duì)人們的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人。女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)。 （1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2 2列聯(lián)表； （2）判斷性別與休閑方式是否有關(guān)系。例2氣管炎是一種常見的呼吸道疾病，醫(yī)藥研究人員對(duì)兩種中草藥治療慢性氣管炎的療效進(jìn)行對(duì)比，所得數(shù)據(jù)如表所示問(wèn)它們的療效有無(wú)差異（可靠性不低于99%）？有效無(wú)效合計(jì)復(fù)方江剪刀草18461245膽黃片919100合計(jì)27570345例3下表中給出了某周內(nèi)中學(xué)生是否喝過(guò)酒的隨機(jī)調(diào)查結(jié)果，若要使結(jié)論的可靠性不低于95%，根據(jù)所調(diào)查的數(shù)據(jù)，能否作出該周內(nèi)中學(xué)生是否喝過(guò)酒與性別有關(guān)的結(jié)論？喝過(guò)酒沒喝過(guò)酒合計(jì)男生77404481女生16122138合計(jì)93526619 3.2 回歸分析(1)一建構(gòu)數(shù)學(xué)1線性回歸模型的定義：我們將用于估計(jì)值的線性函數(shù)作為確定性函數(shù)；的實(shí)際值與估計(jì)值之間的誤差記為，稱之為隨機(jī)誤差；將稱為線性回歸模型說(shuō)明：（1）產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有：所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)引起的誤差；忽略了某些因素的影響； 存在觀測(cè)誤差 （2）對(duì)于線性回歸模型，我們應(yīng)該考慮下面兩個(gè)問(wèn)題： 模型是否合理；在模型合理的情況下，如何估計(jì)，？2探求線性回歸系數(shù)的最佳估計(jì)值：設(shè)有對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)，根據(jù)線性回歸模型，對(duì)于每一個(gè)，對(duì)應(yīng)的隨機(jī)誤差項(xiàng)，我們希望總誤差越小越好，即要使越小越好所以，只要求出使取得最小值時(shí)的，值作為，的估計(jì)值，記為，注：這里的就是擬合直線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離用什么方法求，？線性回歸方程的方法：最小二乘法利用最小二乘法可以得到，的計(jì)算公式為，其中，由此得到的直線就稱為這對(duì)數(shù)據(jù)的回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程其中，分別為，的估計(jì)值，稱為回歸截距，稱為回歸系數(shù)，稱為回歸值3 線性回歸方程中，的意義是：以為基數(shù)，每增加1個(gè)單位，相應(yīng)地平均增加個(gè)單位；4 化歸思想（轉(zhuǎn)化思想）（了解）在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)兩個(gè)變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，這就需要我們根據(jù)專業(yè)知識(shí)或散點(diǎn)圖，對(duì)某些特殊的非線性關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù)下面列舉出一些常見的曲線方程，并給出相應(yīng)的化為線性回歸方程的換元公式 （1），令，則有 （2），令，則有 （3），令，則有 （4），令，則有 （5），令，則有二數(shù)學(xué)運(yùn)用1例題：例1下表給出了我國(guó)從年至年人口數(shù)據(jù)資料，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)我國(guó)年的人口數(shù)年份人口數(shù)/百萬(wàn)解：為了簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)，先將年份減去，并將所得值用表示，對(duì)應(yīng)人口數(shù)用表示，得到下面的數(shù)據(jù)表：作出個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的散點(diǎn)圖，由圖可知，這些點(diǎn)在一條直線附近，可以用線性回歸模型來(lái)表示它們之間的關(guān)系根據(jù)公式（1）可得這里的分別為的估計(jì)值，因此線性回歸方程為由于年對(duì)應(yīng)的,代入線性回歸方程可得（百萬(wàn)），即年的人口總數(shù)估計(jì)為13.23億.3.2 回歸分析(2)1相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式：對(duì)于，隨機(jī)取到的對(duì)數(shù)據(jù)，樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為 2相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)： （1）； （2）越接近與1，的線性相關(guān)程度越強(qiáng)； （3）越接近與0，的線性相關(guān)程度越弱可見，一條回歸直線有多大的預(yù)測(cè)功能，和變量間的相關(guān)系數(shù)密切相關(guān)3 作出統(tǒng)計(jì)推斷：若，則否定，表明有的把握認(rèn)為變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系；若，則沒有理由拒絕，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒有充分理由認(rèn)為變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系說(shuō)明：1對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，一般取檢驗(yàn)水平，即可靠程度為2這里的指的是線性相關(guān)系數(shù)，的絕對(duì)值很小，只是說(shuō)明線性相關(guān)程度低，不一定不相關(guān)，可能是非線性相關(guān)的某種關(guān)系3這里的是對(duì)抽樣數(shù)