B樣條曲線曲面.doc

第二章 三維形態(tài)基本建模方法第一節(jié) 形體的空間定位及表示方法一、空間、物體和結(jié)構(gòu) 我們每天的生活發(fā)生在三維環(huán)境中，而且充滿著三維物體，我們總是看到、感到三維。當(dāng)設(shè)計(jì)實(shí)體模型時(shí)，我們通常認(rèn)為許多事情理所當(dāng)然。但在用計(jì)算機(jī)對(duì)三維場(chǎng)景模型化時(shí)，那么我們不得不熟悉大量的計(jì)算機(jī)軟件工具，這些工具可用于模型化物體和環(huán)境。 在描述三維場(chǎng)景的三維模型化軟件中使用的許多基本約定是基于各種行業(yè)中使用的傳統(tǒng)約定。例如，建筑師為了用一個(gè)簡(jiǎn)明的方法表達(dá)他們?cè)O(shè)計(jì)的空間，使用各種涉及測(cè)量、構(gòu)圖和定序的約定。即使簡(jiǎn)單的矩形房間設(shè)計(jì)也要測(cè)量多次，以便于房間的所有構(gòu)件放在被設(shè)計(jì)放置的地方。此外，為了準(zhǔn)確地按照設(shè)計(jì)師的圖紙來(lái)建造，泥瓦工需要進(jìn)行測(cè)量。多年來(lái)泥瓦工和建筑師已形成約定，如何測(cè)量空間、建造物體、在結(jié)構(gòu)中安裝，它們的約定是精確、簡(jiǎn)潔的。 我們用類似的約定來(lái)描述用一個(gè)計(jì)算機(jī)程序模擬的三維空間中物體的尺寸、位置和次序。讓我們從定義空間或場(chǎng)景的邊界開(kāi)始三維空間的定義，最簡(jiǎn)單的方法是想象我們是在一個(gè)大立方體內(nèi)工作。可以將這個(gè)立方體當(dāng)作我們的空間或環(huán)境。在這個(gè)立方體中的物體是可見(jiàn)的，在其外部的物體是不可見(jiàn)的。 在這個(gè)空間中的主參考點(diǎn)稱為主空間原點(diǎn)。這個(gè)原點(diǎn)通常位于這個(gè)空間的中心。根據(jù)模型需要和方案，該點(diǎn)也可放在或重新放在其他點(diǎn)上。 所有三維空間都有3個(gè)基本的維：寬度、高度和深度。表達(dá)三維空間中這些維的普遍方法是使用箭頭或軸。通常用字母X表示標(biāo)記三維空間寬度的軸；用Y表示標(biāo)記三維空間高度的軸；用Z表示標(biāo)記三維空間深度的軸。這三個(gè)軸交叉的空間點(diǎn)就是主坐標(biāo)原點(diǎn)。 直角坐標(biāo)系可以用來(lái)定義三維空間中特定的位置，精確定位三維空間中物體的點(diǎn)。Ren Descartes是一位18世紀(jì)法國(guó)的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家，他正式使用標(biāo)記為X、Y、Z的3個(gè)軸表示三維空間中維的思想。他推導(dǎo)出的坐標(biāo)系稱為笛卡爾坐標(biāo)系，在該系統(tǒng)中每個(gè)軸被分成許多測(cè)量單位。原理上，這些單位是抽象的值，它可表示不同的測(cè)量單位和維刻度。在每個(gè)軸上，原點(diǎn)一邊的值是正的，另一邊的值是負(fù)的。如右圖所示，在右手坐標(biāo)系中的每一個(gè)軸的正方向用箭頭表示。二、空間坐標(biāo)系統(tǒng) 在直角坐標(biāo)系中的3個(gè)軸可用3種不同的方法進(jìn)行配對(duì)，每?jī)蓚€(gè)軸配對(duì)定義一個(gè)平面或視圖。XY軸定義前視圖(front plane)；XZ軸定義頂視圖(top plane)；YZ軸定義側(cè)視圖(side plane)。 除常用的直角坐標(biāo)系外，球坐標(biāo)系或極坐標(biāo)系也被廣泛使用，因?yàn)樗峁┮粋€(gè)簡(jiǎn)單的表示三維世界中物體的方法，它使用原點(diǎn)到物體的距離，繞原點(diǎn)的角度，原點(diǎn)之上的高度角。 任何空間坐標(biāo)系都適用于放置或移動(dòng)空間中的物體或表示它們之間的相互關(guān)系。主空間坐標(biāo)系是相對(duì)于主空間原點(diǎn)的絕對(duì)值。除主空間坐標(biāo)系外，空間中的每一個(gè)物體可有其自己的物體或局部坐標(biāo)系。物體坐標(biāo)系是相對(duì)于物體原點(diǎn)的，原點(diǎn)經(jīng)常位于物體的中心。第二節(jié) 三維物體的基本元素一、點(diǎn)、線和面 一旦學(xué)會(huì)怎樣定位三維空間中的點(diǎn)和學(xué)會(huì)怎樣產(chǎn)生編輯表達(dá)XYZ空間的數(shù)字表，就可以開(kāi)始考慮構(gòu)造簡(jiǎn)單的模型。在右圖中繪出的三維物體是由4個(gè)點(diǎn)、6條線、6個(gè)邊和4個(gè)面定義的。 點(diǎn)、線和面是用于構(gòu)造三維物體的基本元素。一個(gè)點(diǎn)可以很容易用XYZ位置定義；一條線可以用其兩個(gè)端點(diǎn)的XYZ位置定義；一條邊可由兩個(gè)鄰接的面定義；一個(gè)平面可由其邊界線的位置定義。通常，一個(gè)物體由幾個(gè)點(diǎn)、線和面組成。 定義大多數(shù)三維物體的平面被稱作面(faces)就像切割金剛石一樣或多邊形(polygon)。多邊形可能是規(guī)則的，也可能是不規(guī)則的。用三維計(jì)算機(jī)軟件產(chǎn)生的許多三維形狀是由多邊形組成的。簡(jiǎn)單的幾何形狀可用數(shù)十個(gè)多邊形定義；要求相當(dāng)多細(xì)節(jié)的茶杯之類的物體需要用數(shù)百個(gè)多邊形來(lái)組成細(xì)節(jié)。復(fù)雜的物體，比如一個(gè)詳細(xì)的人的模型可能需要數(shù)千個(gè)多邊形。自然現(xiàn)象的模型可能需要數(shù)百萬(wàn)個(gè)多邊形。二、有關(guān)線的說(shuō)明 線用于定義物體的形狀和許多表面模型。線是所有三維物體的基本組成部分。由于這個(gè)原因，所以了解線形之間的不同以及它們的屬性、限制是重要的。 線之間的一個(gè)明顯不同是，一些線是直線，而另一些線則是曲線。直線用于定義兩點(diǎn)間的最短距離；曲線用于表達(dá)變化的細(xì)節(jié)和增加設(shè)計(jì)的優(yōu)美性。在直線和曲線之間有許多重大的不同，它們相互有下列不同之處： 它們的數(shù)學(xué)描述不同； 當(dāng)將它們用于模型時(shí)，它們的行為不同； 它們產(chǎn)生的三維結(jié)構(gòu)的類型不同； 而且，在大多數(shù)情況下，它們的視像外表不同。 直線正像名稱所暗示的一樣沒(méi)有任何彎曲。直線僅由兩個(gè)端點(diǎn)定義，可以有一個(gè)斜率，但角度不變。換句話說(shuō)，曲線的斜率是變化的，而直線的斜率是不變的。在三維模型程序中有時(shí)將直線稱為多邊形線，因?yàn)樗鼈冇糜跇?gòu)造多邊形和多邊形網(wǎng)。只使用直線的三維計(jì)算機(jī)模型程序能只使用多邊形網(wǎng)構(gòu)造三維模型(不是用于基于樣條的表面)。使用曲線的三維模型計(jì)算機(jī)程序能夠用曲面和多邊形網(wǎng)構(gòu)造模型。曲線通常由幾個(gè)點(diǎn)定義，而且從一條沒(méi)有任何在角度上突變的直線路徑推導(dǎo)而來(lái)。曲線有時(shí)稱為曲線段，而且能夠用于定義曲面，構(gòu)造曲面網(wǎng)。曲線也常被稱為樣條，因?yàn)樗鼈兛雌饋?lái)就像物理樣條，即一個(gè)細(xì)長(zhǎng)的木頭或金屬條，制圖員或建筑工人用它們?cè)趲讉€(gè)點(diǎn)間定出或找出曲線。樣條(傳統(tǒng)上用于輪船船體的設(shè)計(jì)與構(gòu)造)由鉛錘成型。通過(guò)改變重錘的數(shù)量和位置，可將樣條改變成一條通過(guò)要求的點(diǎn)的光滑曲線。曲線有許多類型，可以根據(jù)其數(shù)學(xué)和幾何特征進(jìn)行分類，主要的幾種類型有： 線性樣條 基本樣條 B樣條 Bezier樣條 NURBS 所有樣條都有一個(gè)共同的特征，即它們都是從定義一個(gè)多邊形產(chǎn)生的。由于這個(gè)共同的特征，所以將樣條稱為受控曲線?？刂茦訔l的結(jié)構(gòu)是不可見(jiàn)的，僅當(dāng)形成樣條時(shí)顯示，但它包含用于改變樣條形狀的重要信息。具體描述見(jiàn)第六節(jié)。第三節(jié) 基本幾何形 事實(shí)上，所有的三維建模計(jì)算機(jī)軟件都提供工具集，通過(guò)一個(gè)稱作“基本幾何原素”的固定結(jié)構(gòu)產(chǎn)生簡(jiǎn)單的形狀。在所有的情況下，使所有幾何原素相互關(guān)聯(lián)的特征是，它們都是標(biāo)準(zhǔn)形狀，這些標(biāo)準(zhǔn)形狀可由模型程序根據(jù)一個(gè)簡(jiǎn)單的、預(yù)定義的數(shù)學(xué)描述、毫不費(fèi)力地產(chǎn)生和處理。從原理上說(shuō)，所有的幾何原素都可按多邊形結(jié)構(gòu)或曲面塊生成。 幾何原素也可以用來(lái)表達(dá)簡(jiǎn)單的形狀，或用作復(fù)雜、復(fù)合的三維形狀的基礎(chǔ)。在前一種情況下，由工具提供的形狀除在某些情況下需要修改它們?cè)诳臻g中的位置、大小和比例之外，幾乎無(wú)需修改。在后一種情況下，幾何原素可以修改，或通過(guò)各種工具構(gòu)造更復(fù)雜的物體，這些工具包括裁剪、連接和融合。1.立方體(box) 立方體通常按六面、封閉的三維物體模型化，因?yàn)榱⒎襟w的所有面都有相同的長(zhǎng)度，所以，通常立方體模型化的唯一變量是邊長(zhǎng)。有時(shí)候，許多單元可以沿每一個(gè)坐標(biāo)軸指定。幾乎總是使用多邊形結(jié)構(gòu)產(chǎn)生立方體。2.球體(sphere) 像立方體一樣，球體也按對(duì)稱、封閉的三維物體來(lái)模型化。為了進(jìn)行定義，所有的球體都需要半徑或直徑，而且可以使用多邊形結(jié)構(gòu)或一組曲面塊模型球體。當(dāng)使用直線勾畫(huà)，用多邊形結(jié)構(gòu)模型化球體時(shí)，一個(gè)球的定義要求許多沿經(jīng)度或緯度的部分，這些部分看起來(lái)就像一個(gè)球體上的平行線和子午線。它們的數(shù)量對(duì)最后形狀的幾何光滑度有一個(gè)成比例的影響。當(dāng)使用曲面塊模型化球體時(shí)，除了上述的信息外，還要求指定一種類型樣條。球體也經(jīng)常作為自由形式模型的起點(diǎn)。3.圓柱體和錐體(cylindar&cone) 圓柱體和圓錐體通常被定義為多邊形物體，可以由下列變量定形：半徑、高度、徑向部件的數(shù)目，緯向部件的數(shù)目，和它們是否有端面。用于構(gòu)造圓柱體和錐體部件的數(shù)目定義這些物體模型的細(xì)節(jié)程度。具有少量部件的物體能夠比具有許多部件的物體更快地重繪。4.圓環(huán)和圓管(toures&tube) 圓環(huán)是三維的封閉的形狀，看起來(lái)就像一個(gè)油煎圈餅，圓環(huán)就象一個(gè)彎曲延伸的、兩個(gè)底面相互連接到一塊的圓柱。構(gòu)造圓環(huán)要求的變量與構(gòu)造球體要求的變量一樣，另加一個(gè)變量，即半徑。建立一個(gè)圓環(huán)模型要求的變量包括：使用多邊形還是使用曲面塊、內(nèi)半徑大小、外半徑大小、緯度劃分?jǐn)?shù)和經(jīng)度劃分?jǐn)?shù)。5.規(guī)則多面體(polygon) 許多三維物體都屬于規(guī)則多面體的范圍，或?qū)儆诰哂卸鄠€(gè)面的物體的范圍。最常見(jiàn)的規(guī)則多面體包括四面體、八面體、十二面體、二十面體等等。構(gòu)造規(guī)則多面體一般需要指定一個(gè)半徑和面數(shù)。6.二維形狀(shape) 使用拉伸或旋轉(zhuǎn)之類的模型構(gòu)造技術(shù)，從二維形狀可用來(lái)產(chǎn)生三維形狀。二維形狀通常包括弧、圓、螺旋線、三角形、正方形和其他多邊形。第四節(jié) 基本形體生成方法一、拉伸(Extrude) 通過(guò)從一個(gè)二維輪廓線開(kāi)始，沿一個(gè)坐標(biāo)軸或沿一條直線拉伸或擴(kuò)展它，產(chǎn)生三維形狀。簡(jiǎn)單的拉伸僅沿任一坐標(biāo)軸進(jìn)行。被拉伸的二維輪廓線可以用幾何原素工具產(chǎn)生，或由其它程序以可移植性好的文件格式產(chǎn)生的輸出產(chǎn)生(比如EPS，即壓縮的PostScript、IGES、DXF、AI等)。二、旋轉(zhuǎn)(Lathe) 基于軟件的旋轉(zhuǎn)工具模擬實(shí)際的鏇床，鏇床是一種有旋轉(zhuǎn)底座的工具，在底座上放一個(gè)圓柱形木料，隨著底座繞垂直軸旋轉(zhuǎn)，木料由放在它表面上的鋼刀片成型。陶工的轉(zhuǎn)輪在一塊粘土上進(jìn)行幾乎一致的操作。隨著一個(gè)刀片或尖銳的工具按預(yù)定義的路徑移進(jìn)移出，粘圖或木料繞圓柱均勻地切削。軟件旋轉(zhuǎn)工具將二維輪廓線繞軸旋轉(zhuǎn)，二維形狀可以是開(kāi)口的，也可以是閉和的。隨著二維輪廓沿一個(gè)圓或徑向路徑旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生一個(gè)新的三維形狀。隨著它們的旋轉(zhuǎn)，它通常保持與旋轉(zhuǎn)路徑垂直。生成的三維物體由包含在旋轉(zhuǎn)的二維輪廓線內(nèi)的區(qū)域定義。旋轉(zhuǎn)面要有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角和多個(gè)步驟或面。部件的的數(shù)量通常由輪廓線上的點(diǎn)數(shù)決定。三、放樣(Lofting) Lofting這個(gè)名詞來(lái)源于古代的造船者，它運(yùn)用復(fù)雜的截面來(lái)產(chǎn)生船身的一種造船程序，Loft則是在組合船身時(shí)用來(lái)支撐它而建造的工具，將截面舉起置入Loft的過(guò)程便稱為L(zhǎng)ofting.在造型軟件中，一個(gè)放樣物體是由兩個(gè)或更多的造型結(jié)合而成的。其中一個(gè)造型用來(lái)當(dāng)作路徑(Path)，主要用于定義物體的深度；另一個(gè)造型則用來(lái)作為物體的截面。第二個(gè)造型我們通常稱為平面造型(Shape)或是剖面(Cross Section)，你可以在造型物體中任意插入許多需要的剖面。第三章 三維形態(tài)高級(jí)建模方法第一節(jié) 自由曲線曲面的表示 在形狀表達(dá)領(lǐng)域中以復(fù)雜方式自由地變化的曲線曲面稱為自由曲線曲面。它在現(xiàn)實(shí)生活中大量地存在(如汽車車身、飛機(jī)、船舶等等)，這類形狀用傳統(tǒng)的方式是不能很好地表達(dá)的。自由曲線曲面可用隱函數(shù)方程和參數(shù)方程兩種形式表示，如果用隱函數(shù)表示一圓心在原點(diǎn)單位半徑的圓有如下形式： f(x,y)=0 即 x2+y2-1=0 若用參數(shù)形式來(lái)表達(dá)這個(gè)圓則可以表示為： x(u)=cos(u) y(u)=sin(u) 0=u0，定義：則上次曲線可表示為：其中Ri,p(u)稱為有理基函數(shù)。第二節(jié) 利用自由曲面建模 自由曲面的建模也是從構(gòu)造曲線開(kāi)始的，當(dāng)所需的自由曲線構(gòu)造完畢后，就可利用這些曲線來(lái)構(gòu)造自由曲面了，最后將得到的各曲面片進(jìn)行拼接、光滑處理，從而構(gòu)造出所要的模型。整個(gè)構(gòu)造過(guò)程如下： 用自由曲線的生成工具描繪U方向曲線 用自由曲線的生成工具描繪V方向曲線 定義U方向曲線的順序 定義V方向曲線的順序 構(gòu)造初始曲面片 進(jìn)行曲面的拼接、光滑處理 曲面后處理 以下給出幾個(gè)自由曲面建模的實(shí)例，從中可以看出自由曲面建模的強(qiáng)大功能。第三節(jié) 自由形體變換 在某些場(chǎng)合下，模型的形狀用前面的方法難以實(shí)現(xiàn)，我們稱這種形態(tài)為自由型物體。要建立這種模型是十分耗時(shí)的，因?yàn)樗纳蛇^(guò)程就象雕塑家完成一個(gè)雕塑作品一樣，需要在簡(jiǎn)單的模型表面上進(jìn)行許多局部的拉壓和揉和等多種變換，最終得到所需的形態(tài)。自由型物體的建模在第六節(jié)有較詳細(xì)的敘述，現(xiàn)在僅介紹幾種自由型物體的變換方法。一、直接點(diǎn)操作 最常見(jiàn)、最容易的創(chuàng)建三維自由型物體的方法是從現(xiàn)有的三維結(jié)構(gòu)(多邊形或基于樣條)開(kāi)始，這些結(jié)構(gòu)可以被雕刻或轉(zhuǎn)換成希望的物體。這個(gè)虛擬的雕刻過(guò)程非常類似于用手塑造新粘土的過(guò)程。粘土的最初形狀對(duì)于期望的最后三維形狀來(lái)說(shuō)是不重要的。隨著手的推拿、壓、拉和磨平，不成形的膠泥最終變成有意義的結(jié)構(gòu)。二、變形網(wǎng)絡(luò)FFT 還有另一種比直接點(diǎn)操作更適用于任務(wù)的自由模型技術(shù)，特別在需要統(tǒng)一的總體變形，或用戶沒(méi)有技術(shù)或時(shí)間一次處理大量的點(diǎn)時(shí)使用。這一技術(shù)被稱作網(wǎng)格變形技術(shù)FFT(free form transforma)。網(wǎng)格有時(shí)也被稱為邊界框。 網(wǎng)格是一個(gè)點(diǎn)和線的結(jié)構(gòu)，它控制模型中的點(diǎn)?？梢詫⒕W(wǎng)格考慮成一個(gè)格子結(jié)構(gòu)，這些格子用想象中的彈簧連接到模型中的點(diǎn)上。因此，當(dāng)移動(dòng)格子或格子上的點(diǎn)時(shí)，也拖動(dòng)物體中的點(diǎn)隨它們一起移