歷年綜合應用及證明題.doc

2001年21、過作拋物線的切線，求（1）切線方程；（2）由拋物線、切線、以及軸所圍平面圖形的面積；（3）該平面分別繞軸、軸旋轉一周的體積。22、設函數(shù)，具有二階連續(xù)導數(shù)，且，（1）求，使得在連續(xù)；（2）求。23、設函數(shù)在上具有嚴格單調遞減的導數(shù)，在處右連續(xù)且，試證：對于滿足不等式的，恒有下式成立：。24、一租賃公司有40套設備要出租。當租金每月每套200元時，該設備可以全部租出；當租金每月每套增加10元時，租出的設備就會減少1套；而對于租出的設備，每月需要花20元的維持費。問租金定位多少時，該公司可獲最大利潤？2002年24、從原點作拋物線的兩條切線，由這兩條切線與拋物線所圍成的圖形記為S。求（1）S的面積；（2）圖形S繞軸旋轉一周所得的立體體積。（本題滿分7分）25、證明：當時，成立。（本題滿分8分）26、已知某廠生產(chǎn)件產(chǎn)品的成本為（元），產(chǎn)品產(chǎn)量與價格之間的關系為：（元），求：（1）要使平均成本最小，應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？（2）要企業(yè)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時，企業(yè)可獲最大利潤，并求最大利潤。（本題滿分8分）2003年21、拋物線（1）拋物線上哪一點處切線平行于軸？寫出切線方程。（2）求拋物線與水平切線及軸所圍平面圖形的面積。（3）求該平面圖形繞軸旋轉所成的旋轉體的體積。（9分）22、證明：在內有且僅有一個實根。（7分）23、設計一個容積為立方米的有蓋圓柱形貯油桶。已知單位面積造價：側面是底面一半，蓋又是側面的一半，問貯油桶的尺寸如何設計，造價最低？（8分）五、綜合題（本大題共2小題，共10分，2000級做，2001不做）。24、將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出收斂區(qū)間（不考慮區(qū)間端點）。25、求微分方程的通解。（6分）2004年21、證明：，并利用此等式求22、設函數(shù)可導，且滿足方程，求。23、甲乙二城位于一直線形河流的同一側，甲城位于岸邊，乙城離河岸40公里，乙城在河岸的垂足與甲城相距50公里，兩城計劃在河岸上合資共建一個污水處理廠，已知從污水處理廠到甲乙二城鋪設排污管的費用分別為每公里500元和700元。問污水處理廠建在何處，才能使鋪設排污管的費用最?。?005年21、證明方程在-1,1上有且僅有一個實根。22、設函數(shù)的圖形上有一拐點P（2，4），在拐點P處曲線的切線斜率為3，又知該函數(shù)的二階導數(shù)求此函數(shù)。23、已知曲邊三角形由拋物線及直線所圍成，求 （1）曲邊三角形的面積； （2）該曲邊三角形繞x軸旋轉一周，所形成的旋轉體體積。24、設f(x)為連續(xù)函數(shù)，且f(2)=1,，（u1）（1）交換F(u)的積分次序；（2）求2006年21、證明：當時，。22、已知曲線過原點且在點（x,y）處的切線斜率等于2x+y，求此曲線方程。23、已知一平面圖形由拋物線圍成。（1）求此平面圖形的面積；（2）求此平面圖形繞y軸旋轉一周所得的旋轉體的體積。24、設，其中是由以及坐標軸圍成的正方形區(qū)域，函數(shù)f(x)連續(xù)。（1）求a的值使得g(t)連續(xù)；（2）求2007年21、設平面圖形由曲線及兩坐標軸圍成 （1）求該平面圖形繞軸旋轉所形成的旋轉體的體積；（2）求常數(shù)，使直線將該平面圖形分成面積相等的兩部分。22、設函數(shù)具有如下性質：（1）在點的左側臨近單調減少；（2）在點的右側臨近單調增加；（3）其圖形在點的兩側凹凸性發(fā)生改變。試確定常數(shù)的值23、設，證明： 24、求證：當 時，2008年21、求曲線的切線，使其在兩坐標軸上的截距之和最小，并求此最小值。22、設平面圖形由曲線與直線所圍成。 （1）求該平面圖形繞軸旋轉一周所得的旋轉體的體積。（2）求常數(shù)，使直線將該平面圖形分成面積相等的兩部分。23、設函數(shù)在閉區(qū)間0，2（）上連續(xù)，且，證明：在開區(qū)間上至少存在一點，使得 24、對任意實數(shù)，證明不等式： 2009年21、 22、設是由拋物線 和直線 （1）繞軸旋轉所成的旋轉體的體積，以及繞軸旋轉所成的旋轉體的體積（2）求常數(shù)，使得的面積與的面積相等23、已知函數(shù)，證明：函數(shù)24、證明： 2010年21、證明：當時，22、 設其中函數(shù)在處具有二階連續(xù)導數(shù)，且，證明：函數(shù)在處連續(xù)且可導。23、設由拋物線，直線與y軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周所形成的旋轉體的體積記為