2011年考研數(shù)學(xué)試題及參考答案(數(shù)學(xué)一).doc

2011年考研數(shù)學(xué)試題（數(shù)學(xué)一）一、選擇題1、 曲線的拐點(diǎn)是（ ）（A）（1，0） （B）（2，0） （C）（3，0） （D）（4，0）【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查拐點(diǎn)的判斷。直接利用判斷拐點(diǎn)的必要條件和第二充分條件即可?！窘馕觥坑煽芍謩e是的一、二、三、四重根，故由導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系可知，故（3，0）是一拐點(diǎn)。2、 設(shè)數(shù)列單調(diào)減少，無界，則冪級數(shù)的收斂域?yàn)椋?） （A） (-1，1 （B） -1，1) （C） 0，2) （D）(0，2【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查冪級數(shù)的收斂域。主要涉及到收斂半徑的計(jì)算和常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂性的一些結(jié)論，綜合性較強(qiáng)?！窘馕觥繜o界，說明冪級數(shù)的收斂半徑；單調(diào)減少，說明級數(shù)收斂，可知冪級數(shù)的收斂半徑。因此，冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間為。又由于時(shí)冪級數(shù)收斂，時(shí)冪級數(shù)發(fā)散。可知收斂域?yàn)椤?、 設(shè) 函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處取得極小值的一個(gè)充分條件是（ ）（A） (B) (C) (D) 【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查二元函數(shù)取極值的條件，直接套用二元函數(shù)取極值的充分條件即可?！窘馕觥坑芍?，所以，要使得函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處取得極小值，僅需，所以有4、設(shè)，則的大小關(guān)系是( ) （A） （B） （C） （D）【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查定積分的性質(zhì)，直接將比較定積分的大小轉(zhuǎn)化為比較對應(yīng)的被積函數(shù)的大小即可?！窘馕觥繒r(shí)，因此，故選（B）5. 設(shè)為3階矩陣，將的第二列加到第一列得矩陣，再交換的第二行與第一行得單位矩陣.記,則( )（A） （B） （C） （D）【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查初等矩陣與初等變換的關(guān)系。直接應(yīng)用相關(guān)定理的結(jié)論即可?！窘馕觥坑沙醯染仃嚺c初等變換的關(guān)系知，所以，故選（D）6、設(shè)是4階矩陣，為的伴隨矩陣，若是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則基礎(chǔ)解系可為（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，需要綜合應(yīng)用秩，伴隨矩陣等方面的知識，有一定的靈活性?！窘馕觥坑傻幕A(chǔ)解系只有一個(gè)知，所以，又由知，都是的解，且的極大線生無關(guān)組就是其基礎(chǔ)解系，又，所以線性相關(guān)，故或?yàn)闃O大無關(guān)組，故應(yīng)選（D）7、設(shè)為兩個(gè)分布函數(shù)，其相應(yīng)的概率密度是連續(xù)函數(shù)，則必為概率密度的是( )（A） （B）（C） （D）【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)?！窘馕觥繖z驗(yàn)概率密度的性質(zhì)：；。可知為概率密度，故選（）。8、設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且與存在，記,，則（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查隨機(jī)變量數(shù)字特征的運(yùn)算性質(zhì)。計(jì)算時(shí)需要先對隨機(jī)變量進(jìn)行處理，有一定的靈活性?！窘馕觥坑捎诳芍蕬?yīng)選（B）二、填空題9、曲線的弧長= 【答案】 【考點(diǎn)分析】本題考查曲線弧長的計(jì)算，直接代公式即可?！窘馕觥?0、微分方程滿足條件的解為 【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查一階線性微分方程的求解。先按一階線性微分方程的求解步驟求出其通解，再根據(jù)定解條件，確定通解中的任意常數(shù)?！窘馕觥吭匠痰耐ń鉃橛?，得，故所求解為11、設(shè)函數(shù)，則 【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算?！窘馕觥俊９?。12、設(shè)是柱面方程與平面的交線，從軸正向往軸負(fù)向看去為逆時(shí)針方向，則曲線積分 【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查第二類曲線積分的計(jì)算。首先將曲線寫成參數(shù)方程的形式，再代入相應(yīng)的計(jì)算公式計(jì)算即可?！窘馕觥壳€的參數(shù)方程為，其中從到。因此13、若二次曲面的方程為，經(jīng)正交變換化為，則 【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型的相關(guān)知識。題目中的條件相當(dāng)于告訴了二次型的特征值，通過特征值的相關(guān)性質(zhì)可以解出。【解析】本題等價(jià)于將二次型經(jīng)正交變換后化為了。由正交變換的特點(diǎn)可知，該二次型的特征值為。該二次型的矩陣為，可知，因此。14、設(shè)二維隨機(jī)變量服從，則 【答案】【考點(diǎn)分析】：本題考查二維正態(tài)分布的性質(zhì)?！窘馕觥浚河捎冢啥S正態(tài)分布的性質(zhì)可知隨機(jī)變量獨(dú)立。因此。由于服從，可知，則。三、解答題15、（本題滿分10分）求極限【答案】【考點(diǎn)分析】：本題考查極限的計(jì)算，屬于形式的極限。計(jì)算時(shí)先按未定式的計(jì)算方法將極限式變形，再綜合利用等價(jià)無窮小替換、洛必達(dá)法則等方法進(jìn)行計(jì)算。【解析】：16、（本題滿分9分）設(shè)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)可導(dǎo)，且在處取得極值，求【答案】【考點(diǎn)分析】：本題綜合考查偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和二元函數(shù)取極值的條件，主要考查考生的計(jì)算能力，計(jì)算量較大?！窘馕觥浚河捎谠谔幦〉脴O值，可知。故17、（本題滿分10分）求方程不同實(shí)根的個(gè)數(shù)，其中為參數(shù)【答案】時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)根時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根【考點(diǎn)分析】：本題考查方程組根的討論，主要用到函數(shù)單調(diào)性以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。解題時(shí)，首先通過求導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上檢驗(yàn)是否滿足零點(diǎn)存在定理的條件。【解析】：令，則，（1） 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，故此時(shí)的圖像與軸與只有一個(gè)交點(diǎn)，也即方程只有一個(gè)實(shí)根（2） 時(shí)，在和上都有，所以在和是嚴(yán)格的單調(diào)遞減，又，故的圖像在和與軸均無交點(diǎn)（3） 時(shí)，時(shí)，在上單調(diào)增加，又知，在上只有一個(gè)實(shí)根，又或都有，在或都單調(diào)減，又，所以在與軸無交點(diǎn)，在上與軸有一個(gè)交點(diǎn)綜上所述：時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)根時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根18、（本題滿分10分）證明：（1）對任意正整數(shù)，都有（2）設(shè)，證明數(shù)列收斂【考點(diǎn)分析】：本題考查不等式的證明和數(shù)列收斂性的證明，難度較大。（1）要證明該不等式，可以將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式，再利用單調(diào)性進(jìn)行證明；（2）證明收斂性時(shí)要用到單調(diào)有界收斂定理，注意應(yīng)用（1）的結(jié)論?！窘馕觥浚海?）令，則原不等式可化為。先證明：令。由于，可知在上單調(diào)遞增。又由于，因此當(dāng)時(shí)，。也即。再證明：令。由于，可知在上單調(diào)遞增。由于，因此當(dāng)時(shí)，。也即。因此，我們證明了。再令由于，即可得到所需證明的不等式。（2），由不等式可知：數(shù)列單調(diào)遞減。又由不等式可知：。因此數(shù)列是有界的。故由單調(diào)有界收斂定理可知：數(shù)列收斂。19、（本題滿分11分）已知函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，其中，計(jì)算二重積分【答案】：【考點(diǎn)分析】：本題考查二重積分的計(jì)算。計(jì)算中主要利用分部積分法將需要計(jì)算的積分式化為已知的積分式，出題形式較為新穎，有一定的難度。【解析】：將二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分可得首先考慮，注意這是是把變量看做常數(shù)的，故有由易知。故。對該積分交換積分次序可得：再考慮積分，注意這里是把變量看做常數(shù)的，故有因此20、（本題滿分11分）不能由線性表出。求；將由線性表出。【答案】：；【考點(diǎn)分析】：本題考查向量的線性表出，需要用到秩以及線性方程組的相關(guān)概念，解題時(shí)注意把線性表出與線性方程組的解結(jié)合起來?！窘馕觥浚?由于不能由表示 可知，解得 本題等價(jià)于求三階矩陣使得可知計(jì)算可得因此21、（本題滿分11分）為三階實(shí)矩陣，且（1）求的特征值與特征向量（2）求【答案】：（1）的特征值分別為1，-1，0，對應(yīng)的特征向量分別為，（2）【考點(diǎn)分析】：實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量，解題時(shí)注意應(yīng)用實(shí)對稱矩陣的特殊性質(zhì)?！窘馕觥浚海?） 可知：1，-1均為的特征值，與分別為它們的特征向量，可知0也是的特征值而0的特征向量與，正交設(shè)為0的特征向量有 得 的特征值分別為1，-1，0 對應(yīng)的特征向量分別為， （2） 其中， 故22. （本題滿分11分） X 0 1 P 1/3 2/3 Y -1 0 1 P 1/3 1/3 1/3求：（1）的分布； （2）的分布； （3）.【答案】：（1） X Y 0 1-101/301/30101/3（2） -1 0 1 P 1/3 1/3 1/3（3）【考點(diǎn)分析】：本題考查二維離散型分布的分布律及相關(guān)數(shù)字特征的計(jì)算。其中，最主要的是第一問聯(lián)合分布的計(jì)算?！窘馕觥浚海?）由于，因此。故，因此再由可知同樣，由可知這樣，我們就可以寫出的聯(lián)合分布如下： （2）可能的取值有，其中，則有。因此，的分布律為 -1 0 1 P 1/3 1/3 1/3（3），故23、（本題滿分11分）設(shè)為來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本，其中已知，未知，和分別表示樣本均值和樣本方差，（1）求參數(shù)的最大似然估計(jì)（2）計(jì)算和【答案】：（1）（2）【考