2008-2014歷年考研數(shù)學(xué)一真題及答案詳解.doc

2008年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1)設(shè)函數(shù)則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(A)0(B)1 (C)2(D)3(2)函數(shù)在點(diǎn)處的梯度等于(A)(B)- (C)(D)(3)在下列微分方程中,以(為任意常數(shù))為通解的是(A)(B)(C)(D)(4)設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界,為數(shù)列,下列命題正確的是(A)若收斂,則收斂 (B)若單調(diào),則收斂(C)若收斂,則收斂(D)若單調(diào),則收斂(5)設(shè)為階非零矩陣,為階單位矩陣. 若,則 (A)不可逆,不可逆(B)不可逆,可逆 (C)可逆,可逆 (D)可逆,不可逆(6)設(shè)為3階實(shí)對(duì)稱矩陣,如果二次曲面方程在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)方程的圖形如圖,則的正特征值個(gè)數(shù)為(A)0(B)1(C)2(D)3(7)設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布且分布函數(shù)為,則分布函數(shù)為(A)(B) (C) (D) (8)設(shè)隨機(jī)變量,且相關(guān)系數(shù),則(A)(B)(C)(D)二、填空題(9-14小題,每小題4分,共24分,請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)微分方程滿足條件的解是. (10)曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(11)已知冪級(jí)數(shù)在處收斂,在處發(fā)散,則冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?(12)設(shè)曲面是的上側(cè),則.(13)設(shè)為2階矩陣,為線性無(wú)關(guān)的2維列向量,則的非零特征值為.(14)設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的泊松分布,則.三、解答題(1523小題,共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)(15)(本題滿分10分)求極限.(16)(本題滿分10分) 計(jì)算曲線積分,其中是曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段.(17)(本題滿分10分)已知曲線,求曲線距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn).(18)(本題滿分10分)設(shè)是連續(xù)函數(shù),(1)利用定義證明函數(shù)可導(dǎo),且.(2)當(dāng)是以2為周期的周期函數(shù)時(shí),證明函數(shù)也是以2為周期的周期函數(shù). (19)(本題滿分10分),用余弦級(jí)數(shù)展開(kāi),并求的和.(20)(本題滿分11分),為的轉(zhuǎn)置,為的轉(zhuǎn)置.證明:(1). (2)若線性相關(guān),則.(21)(本題滿分11分)設(shè)矩陣,現(xiàn)矩陣滿足方程,其中,(1)求證.(2)為何值,方程組有唯一解,求.(3)為何值,方程組有無(wú)窮多解,求通解.(22)(本題滿分11分)設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,的概率分布為,的概率密度為,記,(1)求.(2)求的概率密度.(23)(本題滿分11分) 設(shè)是總體為的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.記, (1)證明是的無(wú)偏估計(jì)量.(2)當(dāng)時(shí) ,求.2009年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1)當(dāng)時(shí),與等價(jià)無(wú)窮小,則(A) (B)(C)(D)(2)如圖,正方形被其對(duì)角線劃分為四個(gè)區(qū)域,則(A) (B)(C) (D) (3)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的圖形為1-2023-1O則函數(shù)的圖形為(A)0231-2-11(B) 0231-2-11(C)0231-11(D)0231-2-11(4)設(shè)有兩個(gè)數(shù)列,若,則(A)當(dāng)收斂時(shí),收斂.(B)當(dāng)發(fā)散時(shí),發(fā)散. (C)當(dāng)收斂時(shí),收斂.(D)當(dāng)發(fā)散時(shí),發(fā)散.(5)設(shè)是3維向量空間的一組基,則由基到基的過(guò)渡矩陣為(A)(B) (C)(D)(6)設(shè)均為2階矩陣,分別為的伴隨矩陣,若,則分塊矩陣的伴隨矩陣為(A)(B) (C)(D)(7)設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),則(A)0(B)0.3 (C)0.7(D)1 (8)設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,的概率分布為,記為隨機(jī)變量的分布函數(shù),則函數(shù)的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為(A)0(B)1 (C)2(D)3二、填空題(9-14小題,每小題4分,共24分,請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則 .(10)若二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為,則非齊次方程滿足條件的解為 .(11)已知曲線,則 .(12)設(shè),則 .(13)若3維列向量滿足,其中為的轉(zhuǎn)置,則矩陣的非零特征值為 .(14)設(shè)為來(lái)自二項(xiàng)分布總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,和分別為樣本均值和樣本方差.若為的無(wú)偏估計(jì)量,則 .三、解答題(1523小題,共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)(15)(本題滿分9分)求二元函數(shù)的極值.(16)(本題滿分9分)設(shè)為曲線與所圍成區(qū)域的面積,記,求與的值.(17)(本題滿分11分)橢球面是橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成,圓錐面是過(guò)點(diǎn)且與橢圓相切的直線繞軸旋轉(zhuǎn)而成.(1)求及的方程. (2)求與之間的立體體積.(18)(本題滿分11分)(1)證明拉格朗日中值定理:若函數(shù)在上連續(xù),在可導(dǎo),則存在,使得.(2)證明:若函數(shù)在處連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,則存在,且(19)(本題滿分10分)計(jì)算曲面積分,其中是曲面的外側(cè).(20)(本題滿分11分)設(shè),(1)求滿足的.的所有向量,. (2)對(duì)(1)中的任意向量,證明無(wú)關(guān).(21)(本題滿分11分)設(shè)二次型.(1)求二次型的矩陣的所有特征值; (2)若二次型的規(guī)范形為,求的值.(22)(本題滿分11分)袋中有1個(gè)紅色球,2個(gè)黑色球與3個(gè)白球,現(xiàn)有回放地從袋中取兩次,每次取一球,以分別表示兩次取球所取得的紅球、黑球與白球的個(gè)數(shù).(1) 求. (2)求二維隨機(jī)變量概率分布(23)(本題滿分11 分)設(shè)總體的概率密度為,其中參數(shù)未知,是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.(1)求參數(shù)的矩估計(jì)量.(2)求參數(shù)的最大似然估計(jì)量. 2010年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1)極限=(A)1(B)(C)(D) (2)設(shè)函數(shù)由方程確定,其中為可微函數(shù),且則=(A)(B)(C)(D) (3)設(shè)為正整數(shù),則反常積分的收斂性(A)僅與取值有關(guān)(B)僅與取值有關(guān)(C)與取值都有關(guān)(D)與取值都無(wú)關(guān)(4)= (A)(B) (C)(D)(5)設(shè)為型矩陣為型矩陣,若則(A)秩秩(B)秩秩 (C)秩秩(D)秩秩(6)設(shè)為4階對(duì)稱矩陣,且若的秩為3,則相似于(A)(B) (C)(D) (7)設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 則=(A)0(B)1 (C)(D)(8)設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度為上均勻分布的概率密度, 為概率密度,則應(yīng)滿足(A)(B) (C)(D)二、填空題(9-14小題,每小題4分,共24分,請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)設(shè)求= .(10)= .(11)已知曲線的方程為起點(diǎn)是終點(diǎn)是則曲線積分= .(12)設(shè)則的形心的豎坐標(biāo)= .(13)設(shè)若由形成的向量空間的維數(shù)是2,則= .(14)設(shè)隨機(jī)變量概率分布為則= .三、解答題(1523小題,共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)(15)(本題滿分10分)求微分方程的通解.(16)(本題滿分10分)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.(17)(本題滿分10分)(1)比較與的大小,說(shuō)明理由(2) 記求極限(18)(本題滿分10分)求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).(19)(本題滿分10分)設(shè)為橢球面上的動(dòng)點(diǎn),若在點(diǎn)的切平面與面垂直,求點(diǎn)的軌跡并計(jì)算曲面積分其中是橢球面位于曲線上方的部分.(20)(本題滿分11分)設(shè)已知線性方程組存在兩個(gè)不同的解.(1)求(2)求方程組的通解.(21)(本題滿分11分)設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為且的第三列為(1)求(2)證明為正定矩陣,其中為3階單位矩陣.(22)(本題滿分11分)設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求常數(shù)及條件概率密度(23)(本題滿分11 分)設(shè)總體的概率分布為123其中未知,以來(lái)表示來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本(樣本容量為)中等于的個(gè)數(shù)試求常數(shù)使為的無(wú)偏估計(jì)量,并求的方差.2011年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)1、 曲線的拐點(diǎn)是（ ）A （1，0） B （2，0） C （3，0） D （4，0）2、設(shè)數(shù)列單調(diào)減少，且。無(wú)界，則冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?）A B C D 3、 設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且.。則函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值的一個(gè)充分條件是（ ）A B C D 4、設(shè) ，則 的大小關(guān)系是（ ）A B C D 5、設(shè)A為3階矩陣，把A的第二列加到第一列得到矩陣B ，再交換B的第二行與第3行得到單位陣E，記，則A=（ ）A B C D 6、設(shè)是4階矩陣，為A的伴隨矩陣。若是的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的基礎(chǔ)解系可為（ ）A B C D 7、設(shè)為兩個(gè)分布函數(shù)，且連續(xù)函數(shù)為相應(yīng)的概率密度，則必為概率密度的是（ ）A B C D +8、設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且都存在，記，則（ ）A B C D 二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定的位置上。9、曲線的弧長(zhǎng)為_(kāi)10、微分方程滿足條件的解為_(kāi)11、設(shè)函數(shù)，則12、設(shè)是柱面方程與平面的交線，從軸正向往軸負(fù)向看去為逆時(shí)針?lè)较?，則曲線積分13、若二次曲面的方程，經(jīng)正交變換化為，則14、設(shè)二維隨機(jī)變量，則三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15、（本題滿分10分） 求極限16、（本題滿分9分）設(shè)函數(shù)，其中具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)可導(dǎo)且在處取得極值.求17、（本題滿分10分）求方程的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)，其中為參數(shù)。18、（本題滿分10分）證明：對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立；設(shè)，證明數(shù)列收斂.19、（本題滿分11分）已知函數(shù)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，其中計(jì)算二重積分20、（本題滿分11分）設(shè)向量組，不能由向量組，線性表示；（1） 求的值；（2） 將用線性表示；21、（本題滿分11分）A為3階實(shí)對(duì)稱矩陣，A的秩為2，且求（1）A的特征值與特征向量 （2） 矩陣A22、（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量X與Y的概率分布分別為X01Y-101且求（1）二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布； （2）的概率分布（3）X與Y的相關(guān)系數(shù)23、（本題滿分11分）設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中已知，未知.為樣本均值和樣本方差.求（1）求參數(shù)的最大似然估計(jì) (2) 計(jì)算E和D2012年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1）曲線漸近線的條數(shù)為（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，則（A） （B） （C） （D）（3）如果在處連續(xù)，那么下列命題正確的是（ ）（A）若極限存在，則在處可微（B）若極限存在，則在處可微（C）若在處可微，則極限存在（D）若在處可微，則極限存在（4）設(shè) sinxdx(k=1,2,3),則有D（A）I1 I2 I3. (B) I2 I2 I3. (C) I1 I3 I1, (D) I1 I2 I3.（5）設(shè)其中為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的是（ ）（A） （B） （C） （D）（6）設(shè)為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且，則（ ）（A） （B） （C） （D）（7）設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為1與參數(shù)為4的指數(shù)分布，則（）（8）將長(zhǎng)度為1m的木棒隨機(jī)地截成兩段，則兩段長(zhǎng)度的相關(guān)系數(shù)為（）二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.（9）若函數(shù)滿足方程及，則=_。（10） _。（11） _。（12）設(shè)則_。（13）設(shè)X為三維單位向量，E為三階單位矩陣，則矩陣的秩為_(kāi)。（14）設(shè)是隨機(jī)事件，互不相容，,則_。三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）證明：（16）（本題滿分10分）求的極值。（17）（本題滿分10分）求冪級(jí)數(shù)x2n 的收斂域及和函數(shù)（18）（本題滿分10分）已知曲線，其中函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，。若曲線L的切線與x軸的交點(diǎn)到切點(diǎn)的距離恒為1，求函數(shù)的表達(dá)式，并求此曲線L與x軸與y軸無(wú)邊界的區(qū)域的面積。（19）（本題滿分10分）已知是第一象限中從點(diǎn)沿圓周到點(diǎn)，再沿圓周到點(diǎn)的曲線段，計(jì)算曲線積分。（20）（本題滿分10分）設(shè)，（）求（）已知線性方程組有無(wú)窮多解，求，并求的通解。（21）（本題滿分10分）三階矩陣，為矩陣的轉(zhuǎn)置，已知，且二次型。1）求 2）求二次型對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，寫出正交變換過(guò)程。（22）（本題滿分10分）已知隨機(jī)變量以及的分布律如下表所示，X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12求：(1)； (2)與.（23）（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立且分別服從正態(tài)分布與，其中是未知參數(shù)且,設(shè),(1) 求的概率密度；(2) 設(shè)為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求的最大似然估計(jì)量；(3) 證明為的無(wú)偏估計(jì)量。2013碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一1.已知極限，其中k，c為常數(shù)，且，則（ ）A. B. C. D. 2.曲面在點(diǎn)處的切平面方程為（ ）A. B. C. D. 3.設(shè)，令，則（ ）A . B. C. D. 4.設(shè)，為四條逆時(shí)針?lè)较虻钠矫媲€，記，則A. B. C. D 5.設(shè)A,B,C均為n階矩陣，若AB=C，且B可逆，則（ ）A.矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價(jià)B矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價(jià)C矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價(jià)D矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價(jià)6.矩陣與相似的充分必要條件為（ ）A. B. 為任意常數(shù) C. D. 為任意常數(shù)7.設(shè)是隨機(jī)變量，且，則（ ）A. B. C. D8.設(shè)隨機(jī)變量,，給定，常數(shù)c滿足，則( )9.設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程y-x=ex(1-y) 確定，則 。10.已知y1=e3x xe2x，y2=ex xe2x，y3= xe2x是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個(gè)解，則該方程的通解y=。11.設(shè)。12.。13.設(shè)A=(aij)是3階非零矩陣，為A的行列式，Aij為aij的代數(shù)余子式.若aij+Aij=0(i，j=1,2,3），則A。14.設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，a為常數(shù)且大于零，則PYa+1|Ya=三解答題： （15）（本題滿分10分）計(jì)算，其中f(x) (16)(本題10分)設(shè)數(shù)列an滿足條件：S（x）是冪級(jí)數(shù)（1）證明：（2）求（17）（本題滿分10分）求函數(shù).(18)(本題滿分10分)設(shè)奇函數(shù)f(x)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)=1，證明：（I）存在（）存在19.(本題滿分10分)設(shè)直線L過(guò)A（1,0,0），B（0,1,1）兩點(diǎn)將L繞z軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面，與平面所圍成的立體為。（1） 求曲面的方程；（