13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題.doc

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì) 13.4課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題 趙 洪 斌 營(yíng)口南樓經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)中學(xué)2017年6月19日13.4課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題 教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)背景分析：1、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明：本設(shè)計(jì)是營(yíng)口南樓經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)中學(xué)趙洪斌老師，經(jīng)過(guò)對(duì)這一節(jié)教學(xué)內(nèi)容研究，確定了教學(xué)的三維目標(biāo)、教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)和教學(xué)突破的關(guān)鍵，按照“問(wèn)題情景建立模型求解解釋與應(yīng)用”這一基本過(guò)程，設(shè)計(jì)每一課時(shí)的教學(xué)程序，每一程序按教師活動(dòng)、學(xué)生活動(dòng)情況和設(shè)計(jì)意圖欄三個(gè)方面進(jìn)行設(shè)計(jì)。2、教材分析：（1）、教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)意圖分析：義務(wù)教育教科書(shū)（人教版）數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第十三章軸對(duì)稱(chēng)第三小節(jié)。 隨著課改的深入，數(shù)學(xué)更貼近生活，更著眼于解決生產(chǎn)、經(jīng)營(yíng)中的問(wèn)題，于是就出現(xiàn)了為省時(shí)、省財(cái)力、省物力而希望尋求最短路徑的數(shù)學(xué)問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題的解答依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”或“垂線段最短”，由于所給的條件的不同，解決方法和策略上又有所差別。初中數(shù)學(xué)中路徑最短問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，并用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題的數(shù)學(xué)應(yīng)用性。 （2）、教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)思路分析：針對(duì)八年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和心理特征，以及他們的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，本節(jié)課內(nèi)容屬于“三不講”（學(xué)了就會(huì)的知識(shí)不講；講了不會(huì)的知識(shí)不講；不學(xué)也會(huì)的知識(shí)不講）中的學(xué)了就會(huì)的知識(shí)，因此，本課的教學(xué)以“自主學(xué)習(xí)，同伴互助”教學(xué)法為主，輔之教師點(diǎn)撥引導(dǎo)、討論交流，讓學(xué)生動(dòng)腦思考，動(dòng)口交流，動(dòng)心關(guān)注。3、學(xué)校及學(xué)生狀況分析：(1)遼寧大石橋南樓中學(xué)是一所初級(jí)農(nóng)村中學(xué)。學(xué)校共有1600多名學(xué)生，地處舉世聞名的鎂都大石橋毗鄰。本節(jié)課授課班級(jí)共有50名學(xué)生，該班是學(xué)校對(duì)七年級(jí)所學(xué)生在進(jìn)行入學(xué)情況調(diào)查后，根據(jù)學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)、興趣特長(zhǎng)以及性格特征平行分班組成的一個(gè)班級(jí)。在“新課改”的教育模式下，該班學(xué)生性格活潑好動(dòng)，熱愛(ài)動(dòng)手操作，對(duì)新教材有較強(qiáng)的適應(yīng)性。（2）教學(xué)對(duì)象是八年級(jí)學(xué)生，在學(xué)習(xí)本節(jié)前，學(xué)生已學(xué)習(xí)過(guò)研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”以及“三角形的第三邊大于另兩邊之差，小于另兩邊之和”等的問(wèn)題和軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)。八年級(jí)學(xué)生觀察、操作、猜想能力較強(qiáng)，但演繹推理、歸納、運(yùn)用數(shù)學(xué)意識(shí)的思想比較薄弱，思維的廣闊性、敏捷性、結(jié)密性、靈活性比較欠缺，自主探究和合作學(xué)習(xí)能力也需要在課堂教學(xué)中進(jìn)一步加強(qiáng)和引導(dǎo)，思維水平仍以經(jīng)驗(yàn)型為主，理論型思維尚處于萌芽階段，動(dòng)手探究、實(shí)踐認(rèn)知的能力還未完善培養(yǎng)形成，因此，在推理論證方面須堅(jiān)持遵循“特殊一般特殊”規(guī)律，注重對(duì)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐的指導(dǎo)及創(chuàng)新創(chuàng)造激發(fā)培養(yǎng)。二、教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能目標(biāo)：（1）結(jié)合具體實(shí)例，能靈活的運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)、線段公理解決實(shí)際問(wèn)題（2）初步學(xué)會(huì)思考，逐步提高思維技能和思維的有效性，初步學(xué)會(huì)探究問(wèn)題2、過(guò)程與方法目標(biāo)：（1）經(jīng)歷問(wèn)題的探究，學(xué)會(huì)從中提取有用信息，善于思考，善于提問(wèn)，善于歸納總結(jié)，培養(yǎng)良好思維習(xí)慣（2）經(jīng)歷運(yùn)用已有的生活經(jīng)驗(yàn)，已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)思維能力、推理能力和有條理的表達(dá)能力3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：（1）鼓勵(lì)學(xué)生大膽思考，善于思考，初步養(yǎng)成自覺(jué)思考的好習(xí)慣（2）鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，勇于探索，從中獲得成功的體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情（3）通過(guò)提供豐富的，生活中的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生要積極思考，滲透德育教育三、重點(diǎn)與難點(diǎn)及關(guān)鍵：1、重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱(chēng)將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題2、難點(diǎn)：如何利用軸對(duì)稱(chēng)將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段和最小問(wèn)題3關(guān)鍵：利用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，作任意已知點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和已知點(diǎn)，得到一條線段，利用兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解決.四、教學(xué)支持條件分析：活動(dòng)能使學(xué)生主動(dòng)探索、實(shí)踐、交流，達(dá)到掌握知識(shí)的目的，本節(jié)課更是一節(jié)難得的探索實(shí)踐活動(dòng)課，在課前制作教學(xué)課件，按新課程標(biāo)準(zhǔn)和葉圣陶先生所倡導(dǎo)的“解放學(xué)生的手，解放學(xué)生的大腦，解放學(xué)生的時(shí)間”及七年級(jí)學(xué)生的特點(diǎn)，我確定如下教法和學(xué)法。1、教法：針對(duì)八年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和心理特征，以及他們的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，本課的教學(xué)以“自主學(xué)習(xí)，同伴互助”教學(xué)法為主，輔之教師點(diǎn)撥引導(dǎo)、討論交流，讓學(xué)生動(dòng)腦思考，動(dòng)口交流，動(dòng)心關(guān)注。引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐中探索規(guī)律，師生互助互動(dòng)，精誠(chéng)合作，共同探索，體現(xiàn)以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的作用，提高學(xué)生分析和解題的能力，采取分組討論法、實(shí)踐操作法和發(fā)現(xiàn)法。2、學(xué)法：本節(jié)課注重調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考、主動(dòng)探索，鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、推理、想象等過(guò)程，盡可能地增加學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的時(shí)間和空間。通過(guò)本課的教學(xué)，在教師的引導(dǎo)下，能歸納概括發(fā)現(xiàn)新知；以學(xué)生自主學(xué)習(xí)為主，采取課前要求學(xué)生自主自學(xué)的預(yù)習(xí)方法；課堂體驗(yàn)、觀察分析、歸納綜合的學(xué)習(xí)方法。五、教學(xué)媒體：1、學(xué)習(xí)環(huán)境 多媒體教室2、學(xué)習(xí)資源 課件3、資源采集 農(nóng)遠(yuǎn)、互連網(wǎng)六、教學(xué)程序設(shè)計(jì)：1、采用自主探究式的教學(xué)方法，本著貫徹啟發(fā)性、直觀性、理論聯(lián)系實(shí)際的教學(xué)原則，體現(xiàn)以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的教學(xué)思想，確定本節(jié)課的教學(xué)方法如下：采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：逐步呈現(xiàn)教學(xué)信息，突出教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用；突出獨(dú)立性、又體現(xiàn)合作性。通過(guò)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、交流，師生互動(dòng)，讓學(xué)生自主獲取知識(shí)。 設(shè)問(wèn)題情境：營(yíng)造和諧的教學(xué)氛圍，引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)求知欲望。 練結(jié)合、步步設(shè)疑、逐漸深入、引導(dǎo)猜想、歸納總結(jié)、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的探究式思維訓(xùn)練。2、觀察分析探索概括七、13.4課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì) 第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課問(wèn)題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫一天，一位將軍專(zhuān)程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題： 從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？BAl 精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱(chēng)的 知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱(chēng)為“將軍飲馬問(wèn)題”你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？ 第二環(huán)節(jié)：【回顧思考】回顧思考提出問(wèn)題追問(wèn)1這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？ 將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象為一條直線 追問(wèn)2你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？ （1）從A 地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到B 地； B.AL（2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與A、B 連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和,就是從A 地到飲馬地點(diǎn),再回到B 地的路程之和 BAlC（3）現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線l上的點(diǎn)設(shè)C 為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB 的和最?。ㄈ鐖D） 第三環(huán)節(jié)：【回顧思考】AC 與CB 的和最?。?問(wèn)題2 如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)C 是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB 的和最小？ 追問(wèn)1對(duì)于問(wèn)題2，如何將點(diǎn)B“移”到l 的另一側(cè)B處，滿足直線l 上的任意一點(diǎn)C，都保持CB 與CB的長(zhǎng)度相等？ BlA追問(wèn)2你能利用軸對(duì)稱(chēng)的有關(guān)知識(shí)，找到上問(wèn)中符合條件的點(diǎn)B嗎？ 作法：（1）作點(diǎn)B 關(guān)于直線l 的對(duì)稱(chēng) 點(diǎn)B；（2）連接AB，與直線l 相交于點(diǎn)C則點(diǎn)C 即為所求 BlABC第四環(huán)節(jié)：【回顧思考】證明AC +BC最短問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC +BC最短嗎？ 證明：如圖，在直線l 上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C 不重合），連接AC，BC，BC由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知，BlABCC BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC= AC+BC證明：在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC即AC +BC 最短第五環(huán)節(jié)：【類(lèi)比探究，引出新知】這里的“C”的作用是什么追問(wèn)1證明AC +BC 最短時(shí)，為什么要在直線l 上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C 不重合），證明AC +BC AC+BC？這里的“C”的作用是什么？ BlABCC若直線l 上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C 不重合）與A，B 兩點(diǎn)的距離和都大于AC +BC，就說(shuō)明AC + BC 最小 追問(wèn)2回顧前面的探究過(guò)程，我們是通過(guò)怎樣的過(guò)程、借助什么解決問(wèn)題的？第六環(huán)節(jié)：【應(yīng)用新知解決問(wèn)題】例1如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB 的P 處前往山腳下的Q 處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返 回P 處，請(qǐng)畫(huà)出旅游船的最短路徑ABCPQ山河岸大橋基本思路：1、由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ 為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路將河岸抽象為一條直線BC，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)P，Q 在直線BC 的同側(cè)，如何在BC上找到一點(diǎn)R，使PR與QR 的和最小” 2、作Q關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，連接PQ交BC于R，旅游船線路：PQRP.第六環(huán)節(jié)：【應(yīng)用新知解決問(wèn)題】造橋選址問(wèn)題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直)路徑：從A到B要走的路線是AMNB，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AMBN最短即可選址造橋問(wèn)題1、解：在直線a上取任意一點(diǎn)M，作MNb于點(diǎn)N，平移AM，使點(diǎn)M移動(dòng)到點(diǎn)N的位置，點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)A的位置，連接AB交直線b于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作MNa于點(diǎn)M，則路徑AMNB最短2、解決連接河兩岸的兩個(gè)點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)平移河岸的方法將河的寬度為零，轉(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題由兩點(diǎn)之間線段最短(或三角形兩邊之和大于第三邊)可知，求距離之和最小問(wèn)題，就是運(yùn)用等量代換的方式，把幾條線段的和想辦法(如利用軸對(duì)稱(chēng)或平移等)轉(zhuǎn)化在一條線段上，從而解決這個(gè)問(wèn)題3、連接AE交河對(duì)岸與點(diǎn)M,則點(diǎn)M為建橋的位置，MN為所建的橋。證明：由平移的性質(zhì)，得 BNEM 且BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE,所以A.B兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC.CD.DB.CE,則AB兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN所以橋的位置建在CD處，AB兩地的路程最短。小組討論：回顧前面的探究過(guò)程，我們是通過(guò)怎樣的過(guò)程、借助什么解決問(wèn)題的？反思小結(jié)：解決連接河兩岸的兩個(gè)點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)平移河岸的方法將河的寬度為零，轉(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題由兩點(diǎn)之間線段最短(或三角形兩邊之和大于第三邊)可知，求距離之和最小問(wèn)題，就是運(yùn)用等量代換的方式，把幾條線段的和想辦法(如利用軸對(duì)稱(chēng)或平移等)轉(zhuǎn)化在一條線段上，從而解決這個(gè)問(wèn)題第七環(huán)節(jié)：【課堂練習(xí)】1、如圖，臺(tái)球桌上有一個(gè)黑球，一個(gè)白球，如何用球桿去擊白球使其撞到AB邊反彈后再撞到黑球？第八環(huán)節(jié)【課堂測(cè)試】1要在河邊修建一個(gè)水泵，分別向張村、李莊送水，修在河邊什么地方，可使所用水管最短？2.如圖，四邊形ABCD中，BAD120，BD90，在BC，CD上分別找一點(diǎn)E和F，使AEF周長(zhǎng)最小，求AEFAFE的度數(shù)解：如圖，分別作點(diǎn)A關(guān)于CD、BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，A2， 連接A1A2，分別交CD、BC于點(diǎn)F，E， 即此時(shí)AEF周長(zhǎng)最小 由對(duì)稱(chēng)可知A1DAF，A2BAE， 因?yàn)锳1A2180BAD60， 所以DAFBAEA1A260， 所以EAF 60， 所以AEFAFE180EAF1202、某中學(xué)八(2)班舉行文藝3、晚會(huì)，桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D處座位上，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？解：如圖b.(1)作C點(diǎn)關(guān)于OA的 對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C1，作D點(diǎn)關(guān)于 OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D1，(2)連接C1D1，分別交OA，OB于P，Q，那么小明沿CPQD的路線行走，所走的總路程最短第九環(huán)節(jié)：【課堂小結(jié)】總結(jié)提煉（1）本節(jié)課研究問(wèn)題的基本過(guò)程是什么？ （2）軸對(duì)稱(chēng)在所研究問(wèn)題中起什么作用？第十環(huán)節(jié)：【布置作業(yè)】 推薦作業(yè)，深化發(fā)展 1、必做題：教科書(shū)復(fù)習(xí)題13第15題 2、 選做題：已知：如圖A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.第十一環(huán)節(jié)：【教學(xué)反思】 本節(jié)“課題學(xué)習(xí)”，主要是讓學(xué)生多動(dòng)手、多實(shí)踐、多猜想、多論證、多總結(jié)。對(duì)于其中一些結(jié)論，大膽地鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行說(shuō)理甚至證明，說(shuō)理證明的形式多樣，可口述，可書(shū)寫(xiě)，可交流探討，注重對(duì)學(xué)生