高考數(shù)學第九章數(shù)列第61課等差數(shù)列教案.docx

等差數(shù)列一、教學目標1理解等差數(shù)列的概念；2掌握等差數(shù)列的通項公式與前項和公式，體會基本量的方法與方程的思想；3能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)等差關系，并能運用有關知識來解決問題；4理解等差數(shù)列與函數(shù)的關系.二、基礎知識回顧與梳理1、設公差為的等差數(shù)列，若，那么+等于 【教學建議】本題主要是幫助學生復習不會整體代入，有整體代入的思想教學時，教師可讓學生先口答結(jié)合本題，強調(diào)整體的思想解析：因為，成等差，公差為設，則，,50成等差數(shù)列，即得2、中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2015，則該數(shù)列的首項為_【教學建議】本題旨在讓學生理解等差中項的應用3、在等差數(shù)列an中，a100，a110且|a11|a10|，Sn是其前n項和下列命題： 公差d0； an為遞減數(shù)列； S1，S2，S19都小于零，S20，S21，都大于零； n19時，Sn最小； n10時，Sn最小其中正確的是_(填序號)【教學建議】本題旨在讓學生理解項與和的正負以及最值之間的聯(lián)系，可用多種方法來判斷。4、已知等差數(shù)列中，,，則前項和的最小值為 【教學建議】本題選自課本第44頁習題“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數(shù)列中，前項和的最小值是所有非正項之和法一：由不等式組確定出前多少項為非負（或非正）；（即找正負項的分界點）法二：因等差數(shù)列前項是關于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性上述兩種方法是運用了哪種數(shù)學思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？5、某種卷筒衛(wèi)生紙繞在盤上,空盤時盤芯直徑，滿盤時直徑,已知衛(wèi)生紙的厚度為,問:滿盤時衛(wèi)生紙的總長度大約是 米(精確到)?【教學建議】本題選自課本第42頁例題本題需要將實際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問題，在解題過程中要注意每個數(shù)據(jù)與五個量、, 的關系本題中空盤時的半徑并不是首項，滿盤時的半徑并不是末項三、診斷練習1、教學處理：課前由學生自主完成4道小題，并要求將解題過程扼要地寫在學習筆記欄課前抽查批閱部分同學的解答，了解學生的思路及主要錯誤課堂上重點展示學生的計算過程，關鍵處要求學生說明解題思路和方法，充分暴露學生的思維過程，使得點評更具有針對性2、診斷練習點評題1：在數(shù)列中,若(),則= , = .【分析與點評】已知數(shù)列的遞推關系求通項公式時要先判斷該數(shù)列是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列若是等差或等比數(shù)列，則按等差或等比數(shù)列的通項公式求解；若不是等差或等比數(shù)列，一般先將遞推關系變形，構(gòu)造一個等差或等比數(shù)列，從而求出通項公式容易記錯公式或等題2：在等差數(shù)列中，已知，則 . 答案：【分析與點評】本題已知，顯然我們只能獲得基本量的關系，而不能直接解出.因此必然包涵的整體能夠使用我們從已知中得到的關系題3：設為等差數(shù)列前n項和,若，則 .【分析與點評】利用數(shù)列的相關性質(zhì)，能簡化解題過程，達到事半功倍的效果教學中要關注學生的解答，引導學生發(fā)現(xiàn)與之間的關系，用簡捷的途徑進行計算通過本題小結(jié)兩點：解數(shù)列題一定要注意已知式和所求式之間的內(nèi)在聯(lián)系；等差數(shù)列中，與之間的關系.題4： 已知等差數(shù)列中，公差，且，則數(shù)列的通項公式為 【分析與點評】方法1可以直接根據(jù)等差數(shù)列的通項公式代入，得到關于的二元二次方程組，解出，從而求出通項公式，方法2利用等差數(shù)列的性質(zhì)再由，解得，從而可以求出公差為2，得通項公式為本題主要考查對等差數(shù)列的基本量的運用以及等差數(shù)列的下標和性質(zhì)的運用。3、要點歸納（1）強化 “巧用性質(zhì)、減少運算量”在等差、等比數(shù)列的計算中運用，用“基本量法”方法求解是處理數(shù)列問題的基本方法，要求學生熟練掌握.同時強調(diào)，并不是每道題都有捷徑，要充分合理地運用條件，時刻注意求解的目標，選擇方法時要慎重；（2）等差數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差數(shù)列問題的既快捷又方便的工具，應有意識去應用；（3）在應用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件，有時需要進行適當變形；（4）等差數(shù)列的所有問題都要向通項公式、性質(zhì)、前項和轉(zhuǎn)化；（5）在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題，是必須具備的能力.四、范例導析例1已知等差數(shù)列的前項和為Sn，且=30，=50.（1）求通項；（2）若=242，求；（3）求 前項和?！窘虒W處理】在提問學生問題討論交流后，可教師板書示范，也可讓學生練習、板演后點評【引導分析與精講建議】1、強調(diào)應用等差數(shù)列的通項公式求和,運用了方程的思想,一般地,可由得求出和,從而確定通項.化歸為首項、公差(公比)和項數(shù)之間的關系，通過列方程（組）解決問題.這是研究等差(等比)數(shù)列的最基本方法.也可從等差數(shù)列中任意兩項之間關系入手().2、通項公式法： (，是常數(shù))( N*)是等差數(shù)列；例： 【教學處理】本題可讓學生自主嘗試、相互交流，教師觀察巡視并點評證明數(shù)列是等差數(shù)列的兩種基本方法是：（1）利用定義，證明（常數(shù)）；（2）利用等差中項，即證明（2）.例3：已知在等差數(shù)列中，是它的前n項的和，.求； 這個數(shù)列前多少項的和最大，并求出這個最大值.【教學處理】先給學生獨立思考的時間，然后指名學生回答問題（1），學生評議，教師評點并板書過程。問題（1）結(jié)束后，可讓學生討論后回答，教師板書、點評問題（2）?！疽龑Х治雠c精講建議】（1），又， ，則，又， （2）方法一：由中可知， 當時，有最大值，的最大值是. 方法二：由，可得. 由a，得；由,得； 又為正整數(shù)，所以當時，有最大值. 反思：本題考查的知識點是等差數(shù)列基本量的求解，數(shù)列的函數(shù)特性，如何求前項和的最值問題.(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式，通過配方或借助圖象求 二次函數(shù)最值的方法求解.(2)鄰項變號法：時，滿足的項數(shù)m使得取得最大值為；當時，滿足的項數(shù)m使得取得最小值為.變式題:1、設等差數(shù)列的前項和為,已知,.(1) 求公差的取值范圍.(2)求的前項和為最大時的值.2、已知在等差數(shù)列中，是它的前n項的和，. 求； 這個數(shù)列前多少項的和最大，并求出這個最大值.求使得的最大的。拓展題:已知數(shù)列的首項，通項與前n項和為之間滿足（1）求證：是等差數(shù)列，并求公差；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）數(shù)列中是否存在自然數(shù)，使得不等式對任意大于等于的自然數(shù)都成立？若存在求出最小的值；若不存在，說明理由【教學處理】先給學生獨立思考的時間，然后指名學生回答問題（1），學生評議，教師評點并板書過程。問題（1）結(jié)束后，可讓學生板書問題（2），并思考問題（3），學生討論后回答，教師板書、點評問題（3）?！疽龑Х治雠c精講建議】（1）利用與的關系可以實現(xiàn)與的相互轉(zhuǎn)化，由已知中，我們易得，兩邊同除以后，即可得到，即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，即可得到數(shù)列的通項公式；（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合，我們可以得到n2時，的通項公式，結(jié)合首項=3，我們可以得到的通項公式；（3）令解不等式我們可以求出滿足條件的取值范圍，再根據(jù)kN，即可得到滿足條件的k值本題考查的知識點是等差關系的確定，數(shù)列的函數(shù)特性，數(shù)列的遞推公式要判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列最常用的辦法就是根據(jù)定義，判斷是否為一個常數(shù)【備用】設數(shù)列的前項的和為，且對任意都有 （1）求的值； （2）求數(shù)列的通項公式解：（1）當時，有， 當時，有（2）由得， 同時有 由-，得 因為，所以 同理有， 由-，得，整理，得由于，故當時，都有所以數(shù)列為首項是1，公差是1的等差數(shù)列， 所求通項公式為【評注】在處理數(shù)列中由組成的關系時，基本轉(zhuǎn)化方法有兩個，一個是把轉(zhuǎn)化為，建立數(shù)列通項的遞推關系，一個是把化為，建立的遞推關系，解題時要根據(jù)實際情況靈活掌握。 五、解題反思1確定等差數(shù)列的關鍵是確定首項和公差解決等差（比）數(shù)列的問題時，通常考慮兩類方法：基本量法，即運用條件轉(zhuǎn)化成關于a和d(q)的方程；巧妙運用等差（比）數(shù)列的性質(zhì)（如下標和的性質(zhì)、子數(shù)列的性質(zhì)、和的性質(zhì)）.一般地，運用數(shù)列的性質(zhì)，可化繁為簡. 2等差數(shù)列通項公式中聯(lián)系著五個量：，根據(jù)方程的思想已知其中三個量，可求出另外兩個量3若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列，且和為定值時，可設中間三個數(shù)為-，+，偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設中間兩數(shù)為-，+4數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，求解數(shù)列的問題時要注意函數(shù)思想，方程思想及化歸思想的應用為等差數(shù)列中，有五個量、, 通過解方程(組)知三可求二，和是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知，是常用的方法方程(組)的數(shù)學思想方法在數(shù)列部分應用很廣泛，注意運用5. 求等差數(shù)列最值有三法：借助求和公式是關于的二次函數(shù)的特點,用配方法求解;借助等差數(shù)列的性質(zhì)判斷,通過”轉(zhuǎn)折項”求解;借助二次函數(shù)圖象求解（經(jīng)過原點）啟示：尋找分