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3.1.1傾斜角與斜率知識(shí)導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)1.傾斜角和斜率都是表示直線方向的幾何量,它們分別從“形”和“數(shù)”兩方面反映直線的傾斜程度2求直線斜率的方法有:定義法、公式法等3用正切函數(shù)(ktan)的圖象來掌握傾斜角和斜率之間的關(guān)系并熟記4由兩點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算直線的斜率,為求直線的方程奠定基礎(chǔ)高考導(dǎo)航1.已知直線的傾斜角(斜率),求直線的斜率(傾斜角)的問題,一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),分值5分2過兩點(diǎn)的直線的斜率公式是高考的高頻考點(diǎn),常與其他知識(shí)相結(jié)合,各種題型均有出現(xiàn),分值46分.知識(shí)點(diǎn)一直線的傾斜角1直線l的傾斜角的概念一個(gè)前提:直線l與x軸相交;一個(gè)基準(zhǔn):取x軸作為基準(zhǔn);兩個(gè)方向:x軸正方向與直線l向上方向2傾斜角的范圍當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0.因此,直線的傾斜角的取值范圍為0,180)1.傾斜角定義中含有三個(gè)條件:x軸正方向;直線向上的方向;小于180 的非負(fù)角2平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角,且傾斜程度相同的直線,其傾斜角相等;傾斜程度不同的直線,其傾斜角不相等知識(shí)點(diǎn)二直線的斜率1定義:傾斜角不是90的直線,它的傾斜角的正切值叫作這條直線的斜率2記法:斜率常用k表示,即ktan_.3斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系.圖示傾斜角009090900不存在k04.公式:經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直線的斜率公式k.直線都有傾斜角,但并不是所有的直線都有斜率當(dāng)傾斜角是90 時(shí),直線的斜率不存在,此時(shí),直線垂直于x軸(平行于y軸或與y軸重合)小試身手1判斷下列命題是否正確. (正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”)(1)任一直線都有傾斜角,都存在斜率()(2)傾斜角為135的直線的斜率為1.()(3)若一條直線的傾斜角為,則它的斜率為ktan.()(4)直線斜率的取值范圍是(,)()答案:(1)(2)(3)(4)22019山東省棗莊市校級(jí)月考給出下列結(jié)論:任意一條直線有唯一的傾斜角;一條直線的傾斜角可以為30;傾斜角為0的直線只有一條,即x軸;若直線的傾斜角為,則sin(0,1);若是直線l的傾斜角,且sin,則45.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A1 B2C3 D4解析:任意一條直線有唯一的傾斜角,傾斜角不可能為負(fù),傾斜角為0的直線有無數(shù)條,它們都垂直于y軸,因此正確,錯(cuò)誤中當(dāng)0時(shí),sin0,故錯(cuò)誤,中有可能為135,故錯(cuò)誤答案:A3已知直線l的傾斜角為30,則直線l的斜率為()A. B.C1 D.解析:由題意可知,直線l的斜率ktan30.答案:A42019泰州校級(jí)月考經(jīng)過點(diǎn)(0,2)和點(diǎn)(3,0)的直線的斜率為()A. B.C D解析:斜率k.答案:C類型一求直線的傾斜角 例1求圖中各直線的傾斜角【解析】(1)如圖(1),可知OAB為直線l1的傾斜角易知ABO30,OAB60,即直線l1的傾斜角為60.(2)如圖(2),可知xAB為直線l2的傾斜角,易知OBA45,OAB45,xAB135,即直線l2的傾斜角為135.(3)如圖(3),可知OAC為直線l3的傾斜角,易知ABO60,BAO30,OAC150,即直線l3的傾斜角為150.求直線的傾斜角,關(guān)鍵是依據(jù)平面幾何知識(shí)判斷直線向上方向與x軸正向之間所成的角,同時(shí)應(yīng)明確傾斜角的定義及傾斜角的范圍方法歸納根據(jù)定義求直線的傾斜角的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出草圖;然后根據(jù)定義找直線向上的方向與x軸的正方向的夾角,即為直線的傾斜角畫圖時(shí)一般要分情況討論,討論時(shí)要做到不重不漏,討論時(shí)的分類主要有0、銳角、直角和鈍角四類跟蹤訓(xùn)練1設(shè)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn),它的傾斜角為.如果將l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45得到直線l1,那么l1的傾斜角為()A45 B135C135 D當(dāng)0 135時(shí),傾斜角為45;當(dāng)135180時(shí),傾斜角為135解析:根據(jù)題意,畫出圖形,如圖所示A,B,C未分類討論,均不全面,不合題意通過圖形可知:當(dāng)0135時(shí),l1的傾斜角為45;當(dāng)1351,10,0,即0,5m.故m的取值范圍為.直接依據(jù)斜率公式建立不等式,然后求解不等式,即可得到所求的結(jié)果.基礎(chǔ)鞏固(25分鐘,60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1已知直線過點(diǎn)A(0,4)和點(diǎn)B(1,2),則直線AB的斜率為()A3B2C2 D不存在解析:由題意可得AB的斜率為k2.答案:B2以下兩點(diǎn)確定的直線的斜率不存在的是()A(4,1)與(4,1) B(0,1)與(1,0)C(1,4)與(1,4) D(4,1)與(4,1)解析:選項(xiàng)A,B,C,D中,只有D選項(xiàng)的橫坐標(biāo)相同,所以這兩點(diǎn)確定的直線與x軸垂直,即它們確定的直線的斜率不存在答案:D32019孝感檢測(cè)已知直線l經(jīng)過第二、四象限,則直線l的傾斜角的取值范圍是()A090 B90180C90180 D0180解析:直線傾斜角的取值范圍是0180,又直線l經(jīng)過第二、四象限,所以直線l的傾斜角的取值范圍是90180.答案:C4直線l的傾斜角是斜率為的直線的傾斜角的2倍,則l的斜率為()A1 B.C. D解析:tan,0180,30,260,ktan2.故選B.答案:B5過點(diǎn)M(2,m),N(m,4)的直線的斜率等于1,則m的值為()A1 B4C1或3 D1或4解析:kMN1,m1.答案:A二、填空題(每小題5分,共15分)6若直線l的斜率k的取值范圍是,則該直線的傾斜角的取值范圍是_解析:當(dāng)0k時(shí),因?yàn)閠an00,tan30,所以030.答案:0,30)7已知A(2,3),B(4,3),C三點(diǎn)在同一條直線上,則實(shí)數(shù)m的值為_解析:因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)在同一條直線上,所以有kABkAC,即,解得m12.答案:128若ab0,則過點(diǎn)P與Q的直線PQ的傾斜角的取值范圍是_解析:kPQ0,又傾斜角的取值范圍為0,),故直線PQ的傾斜角的取值范圍為.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的斜率是否存在?如果存在,求其斜率,并確定直線的傾斜角.(1)A(2,3),B(4,5);(2)C(2,3),D(2,1);(3)P(3,1),Q(3,10)解析:(1)存在直線AB的斜率kAB1,即tan1,又0180,所以傾斜角45.(2) 存在直線CD的斜率kCD1,即tan1,又0180,所以傾斜角135.(3)不存在因?yàn)閤PxQ3,所以直線PQ的斜率不存在,傾斜角90.10如圖,直線l2的傾斜角2120,直線l1的傾斜角為1,直線l1l2,求直線l1的斜率解析:由平面幾何知識(shí)可得2190,所以12901209030,所以直線l1的斜率為ktan30.能力提升(20分鐘,40分)11給出下列說法:若是直線l的傾斜角,則0180;若k是直線的斜率,則kR;任意一條直線都有傾斜角,但不一定有斜率;任意一條直線都有斜率,但不一定有傾斜角其中說法正確的個(gè)數(shù)是()A1 B2C3 D4解析:顯然正確,錯(cuò)誤答案:C12若經(jīng)過點(diǎn)P(1a,1a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析:因?yàn)橹本€的傾斜角為鈍角,所以1a3,即a2.且0,整理得0時(shí),a10.解得2a1.當(dāng)a20,此時(shí)無解綜上可得2a1.答案:(2,1)13已知直線l的傾斜角的取值范圍為45135,求直線l的斜率的取值范圍解析:當(dāng)90時(shí),l的斜率不存在;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的斜
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