2020屆洛陽(yáng)市高三上學(xué)期第一次統(tǒng)一考試（1月）數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2020屆河南省洛陽(yáng)市高三上學(xué)期第一次統(tǒng)一考試（1月）數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1已知集合，則（ ）ABCD【答案】C【解析】解一元二次不等式求得集合，由此求得兩個(gè)集合的交集.【詳解】由，解得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿足，則（ ）ABCD【答案】B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)以及復(fù)數(shù)模的幾何意義，判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由于復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿足，即復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在圓心為，半徑為的圓上，表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到的距離，也即圓上的點(diǎn)到圓心的距離，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)以及復(fù)數(shù)模的幾何意義，考查圓的方程，屬于基礎(chǔ)題.3為了節(jié)能減排，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，我國(guó)政府從2001年起就通過(guò)相關(guān)政策推動(dòng)新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)發(fā)展.下面的圖表反映了該產(chǎn)業(yè)發(fā)展的相關(guān)信息:根據(jù)上述圖表信息，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A2017年3月份我國(guó)新能源汽車(chē)的產(chǎn)量不超過(guò)萬(wàn)輛B2017年我國(guó)新能源汽車(chē)總銷量超過(guò)萬(wàn)輛C2018年8月份我國(guó)新能源汽車(chē)的銷量高于產(chǎn)量D2019年1月份我國(guó)插電式混合動(dòng)力汽車(chē)的銷量低于萬(wàn)輛【答案】D【解析】根據(jù)圖表對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，2017年3月份我國(guó)新能源汽車(chē)的產(chǎn)量，故A選項(xiàng)結(jié)論正確.對(duì)于B選項(xiàng)，2017年我國(guó)新能源汽車(chē)總銷量，故B選項(xiàng)結(jié)論正確.對(duì)于C選項(xiàng)，2018年8月份我國(guó)新能源汽車(chē)的銷量萬(wàn)量，高于產(chǎn)量萬(wàn)量，故C選項(xiàng)結(jié)論正確.對(duì)于D選項(xiàng)，2019年1月份我國(guó)插電式混合動(dòng)力汽車(chē)的銷量，故D選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表數(shù)據(jù)分析，考查閱讀與理解能力，屬于基礎(chǔ)題.4已知，是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列判斷正確的是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】D【解析】根據(jù)空間中線面關(guān)系的性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判斷，能得到答案.【詳解】對(duì)于A，平面和也可能相交，故A不正確；對(duì)于B，直線m與n也有可能是異面，故B不正確；對(duì)于C，直線m與n有可能平行、異面以及相交但不垂直，故C不正確；對(duì)于D，同時(shí)垂直于一個(gè)平面的兩條直線互相平行，故D正確故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中線面之間位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題.5已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，且成等差數(shù)列，則該數(shù)列公比為（ ）ABCD【答案】C【解析】結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)，將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此求得的值.【詳解】由于成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6我國(guó)數(shù)學(xué)家陳最潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就.哥德巴赫猜想簡(jiǎn)述為“每個(gè)大于的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”(注:如果一個(gè)大于的整數(shù)除了和自身外無(wú)其他正因數(shù)，則稱這個(gè)整數(shù)為素?cái)?shù))，如.在不超過(guò)的素?cái)?shù)，隨機(jī)選取個(gè)不同的數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和等于的概率是（ ）ABCD【答案】B【解析】先求得以內(nèi)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，然后根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求的概率.【詳解】以內(nèi)的素?cái)?shù)為共個(gè)，任選兩個(gè)的方法數(shù)有種，和為的有共種，所以不超過(guò)的素?cái)?shù)，隨機(jī)選取個(gè)不同的數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和等于的概率是.故選：B【點(diǎn)睛】選本小題主要考查古典概型的計(jì)算，考查組合數(shù)的計(jì)算，考查素?cái)?shù)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.7圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（ ）A1B3C5D9【答案】B【解析】求得圓心，代入直線，利用基本不等式求得的最小值.【詳解】圓的圓心為，由于圓關(guān)于直線對(duì)稱，圓心坐標(biāo)滿足直線方程，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓的幾何性質(zhì)，考查基本不等式求最小值.8正三棱錐的三視圖如下圖所示，則該正三棱錐的表面積為（ ）ABCD【答案】A【解析】通過(guò)三視圖還原出立體圖，通過(guò)條件可求得底面正三角形邊長(zhǎng)為，則底面積為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則可求側(cè)面積為，所以可得表面積.【詳解】如圖所示，底面正三角的高AD=3，所以，AB=AC=BC=，所以,又SH為側(cè)視圖中的高，所以SH=3，則,則在等腰中,所以側(cè)面積為，所以表面積為，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查已知三視圖求幾何體的表面積，準(zhǔn)確的還原出立體圖是解題的關(guān)鍵，屬中檔題.9已知函數(shù)的周期為，將其圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱，現(xiàn)將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，若，則( )ABCD【答案】B【解析】由周期求，由平移對(duì)稱求，由求，然后可得答案.【詳解】由周期為，可得.由圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱，可得，結(jié)合，可得.所以，.，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).一般可以通過(guò)周期性、對(duì)稱性等性質(zhì)求出等參數(shù)的值.10已知函數(shù)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)不同的根等價(jià)于函數(shù)與由兩個(gè)不同的交點(diǎn).在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出圖象，求解即可.【詳解】由題意可知，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與由兩個(gè)不同的交點(diǎn).在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出圖象，如圖所示.由圖象可知，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于中檔題.11已知點(diǎn)分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且滿足，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)判斷出三角形是直角三角形，利用、雙曲線的定義和勾股定理列方程組，化簡(jiǎn)后求得離心率.【詳解】由于，所以三角形是直角三角形.所以，化簡(jiǎn)得，即.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法，考查雙曲線的定義，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.12設(shè)是定義在上的函數(shù)，滿足條件，且當(dāng)時(shí)，則，的大小關(guān)系是（ ）ABCD【答案】B【解析】利用已知條件將轉(zhuǎn)換為，根據(jù)時(shí)的單調(diào)性，比較出的大小關(guān)系.【詳解】依題意，所以.因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題13平面向量與的夾角為，且，則 _【答案】【解析】利用來(lái)求得.【詳解】依題意.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量模的運(yùn)算，考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.14若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最小值是_【答案】【解析】畫(huà)出可行域，平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置，由此求得的最小值.【詳解】畫(huà)出可行域如下圖所示，平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界點(diǎn)位置，此時(shí)取得最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求最小值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.15在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則_【答案】【解析】將變形為，即，則，由以及余弦定理，變形整理得，兩式聯(lián)立得，再由余弦定理，求解即可.【詳解】又為的內(nèi)角.，即為直角三角形，則由余弦定理可知，整理的聯(lián)立解得，.由余弦定理可知，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理，屬于中檔題.16已知橢圓為右頂點(diǎn).過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線交軸于，橢圓的離心率為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)【答案】【解析】設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求得點(diǎn)坐標(biāo)，由三點(diǎn)共線列方程，結(jié)合橢圓的離心率求得的值，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)，所以，由于三點(diǎn)共線，所以，解得.由于橢圓離心率，所以，所以.所以橢圓方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓的離心率求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題17已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】（）（）【解析】試題分析：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)已知由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，聯(lián)立解方程再由數(shù)列為遞增數(shù)列可得則通項(xiàng)公式可得（2）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，有所以，裂項(xiàng)求和即可試題解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，所以有聯(lián)立兩式可得或者又因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以q1，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，有所以所以【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，數(shù)列求和18“公平正義”是社會(huì)主義和諧社會(huì)的重要特征，是社會(huì)主義法治理念的價(jià)值追求.“考試”作為一種公平公正選拔人才的有效途徑，正被廣泛采用.每次考試過(guò)后，考生最關(guān)心的問(wèn)題是:自己的考試名次是多少？自已能否被錄取?能獲得什么樣的職位？某單位準(zhǔn)備通過(guò)考試(按照高分優(yōu)先錄取的原則)錄用名，其中個(gè)高薪職位和個(gè)普薪職位.實(shí)際報(bào)名人數(shù)為名，考試滿分為分. 考試后對(duì)部分考生考試成績(jī)進(jìn)行抽樣分析，得到頻率分布直方圖如下：試結(jié)合此頻率分布直方圖估計(jì)：(1)此次考試的中位數(shù)是多少分（保留為整數(shù)）？(2)若考生甲的成績(jī)?yōu)?80分，能否被錄取?若能被錄取，能否獲得高薪職位？(分?jǐn)?shù)精確到個(gè)位，概率精確到千分位)【答案】(1)202分 (2)能被錄取，不能獲得高薪職位【解析】(1)用樣本估計(jì)總體，以頻率當(dāng)作概率，進(jìn)行估計(jì).根據(jù)題意可知，中位數(shù)是頻率分布直方圖所有小長(zhǎng)方形的面積相等的分界線，則求頻率和為時(shí)的分界線橫坐標(biāo)，即可.(2)根據(jù)題意可知，估計(jì)不低于分的概率，并計(jì)算不低于分的人數(shù)，從而確定排名，即可.【詳解】(1)成績(jī)?cè)诘念l率為，在的頻率為，在的頻率為，則中位數(shù)約為.(2)不低于分的概率為不低于分的人數(shù)為，即考生甲大約排在第名，由于排在名以前，所以能被錄取.但是排在名以后所以不能獲得高薪職位，只能獲得普薪職位.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)頻率分布直方圖，用樣本估計(jì)總體的中位數(shù).屬于中檔題.19如圖，已知四邊形為等腰梯形，為正方形，平面平面，.（1）求證:平面平面.（2）點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，求三棱錐體積的取值范圍.【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）【解析】（1）由題意可知，再由平面平面，可知平面,根據(jù)面面垂直的判定定理，證明即可.（2）連接，過(guò)點(diǎn)作，由題意可知，平面，則，再根據(jù)的取值范圍，確定的取值范圍，從而求解三棱錐體積的取值范圍，即可.【詳解】解:（1）證明:在等腰梯形中，.即.又平面平面，平面平面平面.平面.平面，平面平面.（2）解:連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足在上.由題意可知，在中，則平面平面，平面，.由(1)知平面平面，平面平面得平面.即三棱錐體積的取值范圍.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，以及三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵方法，屬于中檔題.20設(shè)函數(shù).(1)若當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間.(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明：.【答案】（1），的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為. （2），證明見(jiàn)解析【解析】（1）求導(dǎo)數(shù)，由題意可知為方程的根，求解值，即可.再令導(dǎo)數(shù)，分別求解單調(diào)增區(qū)間與單調(diào)減區(qū)間，即可.（2）函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于方程即在上有兩個(gè)不等實(shí)根，則，即可. 變形整理為；若證明不等式，則需證明，由變形為，不妨設(shè)，即證，令，則，求函數(shù)的取值范圍，即可證明.【詳解】（1）時(shí)，取得極值.解得或解得的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）存在兩個(gè)極值點(diǎn)方程即在上有兩個(gè)不等實(shí)根.，.所證不等式等價(jià)于即不妨設(shè)，即證令，在上遞增.成立.成立.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)極值求參數(shù)取值范圍，證明不等式.屬于難題.21過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn).(1)求的值.(2) 在直線上的射影分別為，線段的中點(diǎn)為， 求證.【答案】（1） （2）見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)直線的方程為與拋物線聯(lián)立，得，設(shè)，則，由距離公式得，代入，求解即可.（2）要證，只需證，分別求解，相減求解，即可.【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立消去得.顯然.設(shè)，則，由兩點(diǎn)間距離公式得，（2）由(1)得，【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系中的定值問(wèn)題，以及根據(jù)斜率相等證明直線平行，屬于較難的一道題.22在極坐標(biāo)系中，已知圓的圓心，半徑，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).以極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系.（1）求圓的參數(shù)方程；（2）若點(diǎn)在線段上，且，求動(dòng)點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.【答案】（1）（為參數(shù)）；（2）【解析】（1）已知得，圓心的直角坐標(biāo)為，則可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）結(jié)合（1）得，圓的極坐標(biāo)方程為，再設(shè)，則，將代入的極坐標(biāo)方程即可得解.【詳解】（1）由已知得，圓心的直角坐標(biāo)為，所以的直角坐標(biāo)方程為，所以圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（2）由（1）得，圓的極坐標(biāo)方程為，即設(shè)，根據(jù)，可得，將代入的極坐標(biāo)方程，得，即動(dòng)點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方