偏微(10)對流擴散方程

3對流擴散方程 對流擴散方程 如果給定初值 則 3 1 3 2 構(gòu)成了對流擴散方程的初值問題 則成為對流占優(yōu)擴散方程 如果 3對流擴散方程 對流擴散方程 3 1中心顯式格式 格式 3 3 的截斷誤差為 如果 是對流方程不穩(wěn)定的差分格式 3 3 可改寫為 3對流擴散方程 如果令 此差分格式的增長因子為 即差分格式穩(wěn)定的充分條件為 3對流擴散方程 此差分格式的增長因子為 即差分格式穩(wěn)定的充分條件為 3對流擴散方程 上式可改寫為 即差分格式穩(wěn)定的充分條件為 3對流擴散方程 因為 所以上面不等式滿足條件為 即差分格式穩(wěn)定的充分條件為 3對流擴散方程 3 3 的穩(wěn)定性限制為 3 2修正中心顯示格式 代入 3 2修正中心顯示格式 代入 3 2修正中心顯示格式 將其代入 3 3 3 2修正中心顯示格式 利用Taylor級數(shù)展開有 3 2修正中心顯示格式 3 2修正中心顯示格式 中心顯示差分格式 3 3 求解 3 1 式相當(dāng)于求解微分方程 3 6 就是對流擴散方程 3 1 3 2修正中心顯示格式 3 6 就是對流擴散方程 3 1 3 2修正中心顯示格式 用 3 3 計算時擴散效應(yīng)減少 因此引入修正中心顯式格式 效果顯著 3 2修正中心顯示格式 因此引入修正中心顯式格式 逼近對流擴散方程 3 1 的截斷誤差為 3 7 與 3 3 的區(qū)別在于用 3 4 和 3 5 知 3 7 的穩(wěn)定性條件為 3 7 的穩(wěn)定性條件為 3 2修正中心顯示格式 3 3 的穩(wěn)定性限制為 恒成立 3 3迎風(fēng)差分格式 其辦法相當(dāng)于 在一階空間偏導(dǎo)數(shù)的離散中采用單邊差商 那么逼近 3 1 式的迎風(fēng)差分格式為 可以把 3 9 式寫成 3 3 式的形式 即 那么逼近 3 1 式的迎風(fēng)差分格式為 可以把 3 9 式寫成 3 3 式的形式 即 令 可以得到 3 9 式的穩(wěn)定性條件為 穩(wěn)定性的第一個條件等價于 3 3迎風(fēng)差分格式 利用穩(wěn)定性的第二個條件可得到 穩(wěn)定性的第一個條件等價于 3 3迎風(fēng)差分格式 而 利用不等式 令 穩(wěn)定性條件為 3 4Samarskii格式 設(shè)a 0 先對方程 3 1 作擾動 對 3 11 構(gòu)造迎風(fēng)格式 3 11 式化為 3 1 式 時 3 4Samarskii格式 推導(dǎo) 3 12 式的截斷誤差 Samarskii格式 3 4Samarskii格式 用Taylor級數(shù)展開 令 用Taylor級數(shù)展開有 3 4Samarskii格式 用Taylor級數(shù)展開有 3 4Samarskii格式 由于 所以 3 4Samarskii格式 利用 3 4Samarskii格式 Samarskii格式穩(wěn)定的條件為 3 5指數(shù)型差分格式 對 3 14 式積分可以得到 其中 通解 3 14 中有兩個待定常數(shù) 定態(tài)的對流擴散方程 相應(yīng)于 那么有 3 5指數(shù)型差分格式 3 5指數(shù)型差分格式 把 代入通解有 3 5指數(shù)型差分格式 上式改變寫法有 改變其形式 對流擴散方程 3 1 3 14 3 16 式相比較 給出 3 1 的差分格式 3 5指數(shù)型差分格式 3 17 為逼近對流擴散方程 3 1 的指數(shù)型差分格式 3 5指數(shù)型差分格式 如果在 3 18 中不考慮 3 5指數(shù)型差分格式 考慮 設(shè)u為對流擴散方程 3 1 的光滑解 3 5指數(shù)型差分格式 利用Taylor展開有 利用Taylor展開有 由此得 3 17 的截斷誤差為 3 5指數(shù)型差分格式 3 17 的截斷誤差為 利用 3 19 可得 3 5指數(shù)型差分格式 中心顯示格式的穩(wěn)定條件 中心顯式 3 17 的穩(wěn)定性條件為 3 19 3 5指數(shù)型差分格式 利用 3 19 可得 P103 考察指數(shù)格式Samarskii格式迎風(fēng)格式之間的關(guān)系 取h充分小 由此可以看出 3 20 式化為迎風(fēng)差分格式 3 9 P100 設(shè)a 0 想把指數(shù)格式改寫為 如果 那么 3 20 式化為SamarskiiP101 考察指數(shù)格式Samarskii格式迎風(fēng)格式之間的關(guān)系 3對流擴散方程 指數(shù)型差分格式 迎風(fēng)差分格式為 Samarskii格式 迎風(fēng)格式 Samarskii都是指數(shù)格式在某種情況下的近似 3 6隱式格式 考慮Crank Nicolson型隱式差分格式 其中 二階精度 增長因子 3 6隱式格式 Crank Nicolson 二階精