勾股定理課件ppt課件

初中數(shù)學(xué)勾股定理 北京師范大學(xué)田開蘭 重點難點考點 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 理解勾股定理的內(nèi)容 已知直角三角形的兩邊 會運用勾股定理求第三邊 2 勾股定理的應(yīng)用 3 會運用勾股定理的逆定理 判斷直角三角形 重點 掌握勾股定理及其逆定理 難點 理解勾股定理及其逆定理的應(yīng)用 考點 勾股定理勾股定理的逆定理勾股定理的應(yīng)用 知識架構(gòu) 考點一 勾股定理 一 勾股定理的推導(dǎo)法一 面積證法 SA SB SC結(jié)論 兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積 相傳2500年前 畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家里做客時 發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系 考點一 勾股定理 一 勾股定理的推導(dǎo)法二 趙爽弦圖的證法S大正方形 S小正方形 4S直角三角形在中國古代 人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為 勾 下半部分稱為 股 我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為 勾 較長的直角邊稱為 股 斜邊稱為 弦 c2 b a 2 4 ab c2 a2 b2 考點一 勾股定理 一 勾股定理的推導(dǎo)法三 茄菲爾德的證法有趣的總統(tǒng)證法美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀 簡捷 易懂 明了的證明 就把這一證法稱為 總統(tǒng) 證法 c2 a2 b2 考點一 勾股定理 二 勾股定理一 勾股定理 如果直角三角形的兩直角邊分別為a b 斜邊為c 那么一定有勾股定理的另一種表述 直角三角形兩直角邊的平方和和等于斜邊的平方 二 勾股定理的其他表示形式 解題技巧 1 勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系 是解決有關(guān)線段計算問題的重要依據(jù)2 勾股定理的探索與驗證 一般采用 構(gòu)造法 通過構(gòu)造幾何圖形 并計算圖形面積得出一個等式 從而得出或驗證勾股定理 c2 a2 b2 考點一 勾股定理 例1 如圖3 分別以Rt ABC三邊為邊向外作三個正方形 其面積分別用S1 S2 S3表示 容易得出S1 S2 S3之間有的關(guān)系式 考點一 勾股定理 例2 如圖 學(xué)校有一塊長方形花鋪 有極少數(shù)人為了避開拐角走 捷徑 在花鋪內(nèi)走出了一條 路 他們僅僅少走了步路 假設(shè)2步為1米 卻踩傷了花草 考點一 勾股定理 例3 如圖2 一個3米長的梯子AB 斜著靠在豎直的墻AO上 這時AO的距離為2 5米 求梯子的底端B距墻角O多少米 如果梯的頂端A沿墻下滑0 5米至C 算一算 底端滑動的距離近似值 結(jié)果保留兩位小數(shù) 考點二 勾股定理的逆定理 一 勾股定理的逆定理 直角三角形的判定 如果三角形的三邊長a b c滿足 那么這個三角形是直角三角形 符號語言 在 ABC中 若a2 b2 c2 則 ABC是直角三角形 注意 1 這一命題是勾股定理的逆定理2 它可以幫助我們判斷三角形的形狀 為根據(jù)邊的關(guān)系解決角的有關(guān)問題提供了新的方法 3 定理的證明采用了構(gòu)造法 利用已知三角形的邊a b c a2 b2 c2 先構(gòu)造一個直角邊為a b的直角三角形 由勾股定理證明第三邊為c 進(jìn)而通過 SSS 證明兩個三角形全等 證明定理成立 c2 a2 b2 考點二 勾股定理的逆定理 二 勾股數(shù)組 定義 能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù) 稱為勾股數(shù)組 常見勾股數(shù)組 1 a 3 b 4 c 2 a 9 b c 15 3 a b 40 c 50 4 a 24 b 32 c 5 a 5 b c 13 6 a b 36 c 39 7 a 25 b 60 c 考點二 勾股定理的逆定理 三 解題技巧 在中考中 很多問題常常要證明兩條直線互相垂直 當(dāng)題中給出線段的長度要證明它們互相垂直時 往往用到勾股定理的逆定理通過計算得到證明 勾股定理的逆定理是用來判定一個三角形是否是直角三角形的 勾股定理的逆定理也可用來證明兩直線是否垂直 勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理 而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理 它不僅可以判定三角形是否為直角三角形 還可以判定哪一個角是直角 從而產(chǎn)生了證明兩直線互相垂直的新方法 利用勾股定理的逆定理 通過計算來證明 體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想 考點二 勾股定理的逆定理 四 逆命題與互逆命題1 互逆命題 兩個命題中 如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論 而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的題設(shè) 那么這兩個命題叫做互逆命題 如果把其中一個叫做原命題 那么另一個叫做它的逆命題 2 互逆定理 如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題 那么它也是一個定理 這兩個定理叫做互逆定理 其中一個叫做另一個的逆定理 3 注意 任何一個命題都有 但任何一個定理未必都有 五 勾股定理判別三角形形狀三角形的三邊分別為a b c 其中c為最大邊 若a2 b2 c2 則三角形是直角三角形 若a2 b2 c2 則三角形是銳角三角形 若a2 b2 c2 則三角形是鈍角三角形 所以使用勾股定理的逆定理時首先要確定三角形的最大邊 考點二 勾股定理的逆定理 例4 說出下列命題的逆命題 這些命題的逆命題成立嗎 兩直線平行 內(nèi)錯角相等 如果兩個實數(shù)相等 那么它們的絕對值相等 全等三角形的對應(yīng)角相等 角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上 例5 思考 我們知道3 4 5是一組勾股數(shù) 那么3k 4k 5k k是正整數(shù) 也是一組勾股數(shù)嗎 一般地 如果a b c是一組勾股數(shù) 那么ak bk ck k是正整數(shù) 也是一組勾股數(shù)嗎 考點二 勾股定理的逆定理 例6 在 ABC中 三條邊的長分別為a b c a n2 1 b 2n c n2 1 n 1 且n為整數(shù) 這個三角形是直角三角形嗎 若是 哪個角是直角 考點二 勾股定理的逆定理 例7 下列不是一組勾股數(shù)的是 A 5 12 13B C 12 16 20D 7 24 25例8 下面有幾組數(shù)可以作為直角三角形的邊長 1 9 12 15 2 12 35 36 3 15 3639 4 12 18 32 5 5 12 13 6 7 24 25A 2B 3C 4D 5 考點三 勾股定理的應(yīng)用 1 已知兩邊求第三邊2 利用列方程求線段的長3 判別一個三角形是否是直角三角形4 靈活變通例 如圖一個圓柱 底圓周長6cm 高4cm 一只螞蟻沿外壁爬行 要從A點爬到B點 則最少要爬行cm 考點三 勾股定理的應(yīng)用 一 利用勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù) n為正整數(shù) 的點 例9 在數(shù)軸上畫出表示的點 尺規(guī)作圖 考點三 勾股定理的應(yīng)用 一 直角三