多元函數(shù)微分學的幾何應用

第9章多元函數(shù)微分法 及其應用 2 空間曲線的切線與法平面 曲面的切平面與法線 9 6多元函數(shù)微分學的 幾何應用 全微分的幾何意義 小結思考題 第9章多元函數(shù)微分法及其應用 一元向量值函數(shù)及其導數(shù) 引言 在多元函數(shù)部分 我們可以利用偏導數(shù)來確定空間曲線的切線和空間曲面的切平面 在一元函數(shù)微分學中 我們可以利用導數(shù)確定曲線上某點處的切線斜率 并求出其切線和法線方程 設空間曲線 的參數(shù)方程為 一 一元向量值函數(shù)及其導數(shù) 若記 則 方程成為 1 一元向量值函數(shù)的定義 其中D叫函數(shù)的定義域 t為自變量 r叫因變量 說明 1 向量值函數(shù)是數(shù)量值函數(shù)的推廣 2 在R3中 若向量值函數(shù)的三個分量依次為f1 t f2 t f3 t 則可表示為 3 向量值函數(shù)的圖像 設向量r的起點在坐標原點 則終點M隨t的改變而移動 點M的軌跡稱為向量值函數(shù)r f t 的終端曲線 也稱為該函數(shù)的圖像 記作 反過來 向量值函數(shù) 稱為曲線 的向量方程 2 一元向量值函數(shù)的極限 說明 計算方法 等價條件 3 一元向量值函數(shù)的連續(xù)性 說明 1 向量值函數(shù)連續(xù)等價于它的分量函數(shù)都連續(xù) 2 若在某個區(qū)域內每一點都連續(xù) 則稱該函數(shù)是該區(qū)域上的連續(xù)函數(shù) 4 一元向量值函數(shù)的導數(shù) 記作 說明 1 向量值函數(shù)可導等價于它的分量函數(shù)都可導 且 2 若在某個區(qū)域內每一點都可導 則稱該函數(shù)是該區(qū)域上的可導函數(shù) 3 向量值函數(shù)的導數(shù)與數(shù)量值函數(shù)的導數(shù)運算法則形式相同 教材P92 4 向量值函數(shù)導向量的幾何意義 得切線的方向向量 結論 注意 該切向量指向與t的增長方向一致 5 向量值函數(shù)導向量的物理意義 小結 求向量值函數(shù)的極限 各分量取極限 求向量值函數(shù)的導數(shù) 各分量求導數(shù) 例 解 例 解 所求單位切向量一個是 其指向與t的增長方向一致 另一個是 其指向與t的增長方向相反 17 設空間曲線的方程 1 式中的三個函數(shù)均可導 1 空間曲線的方程為參數(shù)方程 二 空間曲線的切線與法平面 18 考察割線趨近于極限位置 上式分母同除以 割線的方程為 切線的過程 19 曲線在M處的切線方程 切向量 法平面 切線的方向向量稱為曲線的切向量 過M點且與切線垂直的平面 平面的點法式方程 20 解 切線方程 法平面方程 例 即 21 設曲線直角坐標方程為 法平面方程為 2 空間曲線的方程為 曲線的參數(shù)方程是 由前面得到的結果 在M x0 y0 z0 處 令 切線方程為 x為參數(shù) 兩個柱面 的交線 22 例在拋物柱面與的交線上 x為參數(shù) 于是 解 所以交線上與 對應點的切向量為 交線的參數(shù)方程為 取 求對應的點處的切向量 23 設空間曲線方程為 3 空間曲線的方程為 確定了隱函數(shù) 此曲線方程仍可用方程組 表示 兩個曲面 的交線 利用2 結果 切線方程為 法平面方程為 在M x0 y0 z0 處 兩邊分別對 x求導 下面求出 24 利用2 結果 兩邊分別對 x求全導數(shù) 25 法平面方程為 切線方程為 在點M x0 y0 z0 處的 26 解 例 切線方程和法平面方程 法一 直接用公式 令 代入公式 得切線方程 令 27 代入公式 得法平面方程 法平面方程公式 28 切線方程 解 將所給方程的兩邊對x求導 得 法平面方程 例 切線方程和法平面方程 推導法 法二 即 29 設曲線 練習 證 因原點 0 0 0 在法平面上 即 于是 證明此曲線必在以原點為中 的法平面都過原點 在任一點 心的某球面上 曲線過該點的法平面方程為 故有 任取曲線上一點 30 今在曲面 上任取一條 1 設曲面 的方程為F x y z 0的情形 隱式方程 三 曲面的切平面與法線 函數(shù)F x y z 的偏導數(shù)在該點連續(xù)且不同 點M對應于參數(shù) 不全為零 過點M的曲線 設其參數(shù) 方程為 時為零 過點M的曲線 過點M的曲線 31 由于曲線 在曲面 上 所以 在恒等式兩端對t求全導數(shù) 并令 則得 若記向量 曲線 在點M處切線的方向向量記為 則 式可改寫成 即向量 垂直 32 因為曲線 是曲面 上過點M的任意一條 所有這些曲線在點M的切線都與同一向量 垂直 因此這些切線必共面 稱為曲面 在點M的 過點M且垂直于切 法線 又是法線的方向向量 向量 稱為曲 法向量 切平面 由切線形成的這一 平面 平面的直線稱為曲面 在 點M的 面 在點M的 曲線 33 曲面在M x0 y0 z0 處的法向量 切平面方程為 法線方程為 所以曲面 上在點M的 34 解 令 切平面方程 法線方程 例 35 上求一點的坐標 使此點處的切平面平行于yOz平面 解 設所求點為 x y z 則切平面的法向量為 練習 由題意 由此得 所求之點 36 曲面在M處的切平面方程為 曲面在M處的法線方程為 令 或 顯式方程 2 曲面方程形為z f x y 的情形 37 例 證 則法向量為 切平面方程為 設 x0 y0 z0 是曲面上任一點 38 所以這些平面都過 原點 39 考研數(shù)學 一 3分 的切平面的方程是 練習 解 則法向量為 切平面方程為 即 平行 設 x0 y0 z0 是曲面上一點 40 例 證 的所有切平面都與一常向量平行 則曲面在任一點處的法向量 則 即 所以 所有的切平面均與 平行 取 41 3 曲面方程為參數(shù)方程的情形 u v為雙參變量 求 u0 v0 對應的點M0 x0 y0 z0 處的法向量 固定v v0 讓u變 它在M0處的切向量為 曲面 的參數(shù)方程為 得到曲面 上一條所謂的u 曲線 雙切線法 42 u v為雙參變量 求 u0 v0 對應的點M0 x0 y0 z0 處的法向量 它在M0處的切向量為 曲面 的參數(shù)方程為 同樣 固定u u0 讓v變 得到另一條所謂的v曲線 曲面 的法向量 同時與 垂直 故有公式 雙切線法 43 例 求馬鞍面 對應點處的切平面方程 解 u 1 得曲線 即 v 1 它們在點 u v 1 1 處的切向量分別為 在曲面上分別令 切平面的法向量為 切平面方程為 雙切線法 44 例 求馬鞍面 對應點處的切平面方程 解 將每個方程的兩端求微分 得 切平面方程為 全微分法 45 令 解 切線方程和法平面方程 垂直于 曲線在點 例 當空間曲線方程為一般式時 求切向量曾采用了推導法 處切線向量 再用向量代數(shù)法做此題 應同時 46 令 切線方程和法平面方程 例 47 切線方程和法平面方程 解 雙切平面法 由于兩曲面的交線的切線等 于兩曲面的切平面的交線 所以求出兩曲面在點P0 處的切平面方程 再將兩切平面方程聯(lián)立即為所求 48 一元函數(shù)微分的 如圖 四 全微分的幾何意義 對應的增量 增量時 當 y是曲線的縱坐標 dy就是切線縱坐標 回憶 幾何意義 49 因為曲面在M處的切平面方程 全微分的幾何意義 表示 平面上的點的豎坐標的增量 切平面上點的豎坐標的增量 曲面z f x y 在點 x0 y0 z0 處的切 z f x y 在點 x0 y0 的全微分 曲面z f x y 函數(shù)z f x y 在點 x0 y0 的全微分 50 其中 法向量 表示曲面的法向量的方向角 并假定法向量的方向是向上的 即使得它與 z軸的正向所成的角 是銳角 則法向量的 方向余弦為 51 思考 求旋轉拋物面 因為 第三個分量為負 解 而 為向下的法向量 故向上的法向量應為 在任意點 在任意點P x y z 處向上的法向量 即與z軸夾角為 銳角的法向量 52 研究生考題 填空 3分 解 令 練習 的旋轉面在點 處的指向外側的單位 法向量為 旋轉面方程為 53 空間曲線的切線與法平面 曲面的切平面與法線 小結 注意 向量的方向余弦的