初中數(shù)學(xué)開放題教學(xué)

透過中考命題看初中數(shù)學(xué)開放題的課堂教學(xué) 大慶市祥閣學(xué)校張琳琳 第一章問題的提出 我國數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀 我國數(shù)學(xué)教育存在的問題 我國的數(shù)學(xué)教學(xué)與國際上其他國家相比 重視基本知識的教學(xué)和基本技能的訓(xùn)練 學(xué)生的數(shù)學(xué)基本功扎實 學(xué)習(xí)刻苦勤奮 整體數(shù)學(xué)水平高 但學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識上和創(chuàng)造能力的發(fā)展上卻嚴(yán)重滯后 對所學(xué)知識的數(shù)學(xué)背景了解也不多 多年來我們所注重培養(yǎng)的還只是 復(fù)制型 的人才 而只有創(chuàng)新才是一個民族發(fā)展的靈魂 第二章數(shù)學(xué)開放題的界定 分類 及研究意義 一 數(shù)學(xué)開放題的界定 條件多余需選擇 條件不足需補充 結(jié)論不唯一的習(xí)題 稱為數(shù)學(xué)開放題 二 數(shù)學(xué)開放題的特征 從數(shù)學(xué)開放題的結(jié)構(gòu)和形式上 它具有以下的特征 1 非完備性2 不確定性3 層次性4 發(fā)散性5 探究性6 發(fā)展性7 創(chuàng)新性 三 數(shù)學(xué)開放題的分類 1 按命題的要素來分類 1 條件開放型 例1 如果兩個三角形有兩條邊分別對應(yīng)相等 請你補充一個條件 使這兩個三角形全等 2 結(jié)論開放型 例2 百雞問題 已知每只公雞值五元錢 每只母雞值三元錢 每只小雞值一元錢 現(xiàn)在用一百元錢買一百只小雞 問 這一百只雞中 公雞 母雞 小雞各有多少只 3 策略開放型 例3 用盡可能多的方法 四等分圓的面積 4 綜合開放型 例4 怎樣測量一個建筑物的高度 針對以上情況有幾種不同的結(jié)論 2 從答案的結(jié)構(gòu)上可分為四類 有限窮舉型 如例2 百雞問題 它的答案共有四組解 4 18 78 8 11 33 12 4 84 0 25 75 2 有限混沌型 給出四個數(shù) 用加 減 乘 除算24的游戲 有些問題的解答甚至要借助于電腦 3 無限離散型 這類問題的答案是無窮的 我們常用兩種方式來處理這類問題 一種是將答案作適當(dāng)?shù)姆诸?給出每類答案的典型解法 還有一種是提供一種構(gòu)造答案的方法 例5 規(guī)定等腰三角形與等邊三角形接近的程度為等腰三角形的正度 請你給出一個合理 合情的計算等腰三角形正度的公式 等邊三角形的特征是三個角相等 都是60 邊相等但邊長未知 那么正度就只能用等腰三角形的底與腰的關(guān)系或者頂角與底角的關(guān)系來表示 設(shè)等腰三角形的底長為a 腰長為b 頂角度數(shù)為 底角度數(shù)為 下面就是一個計算正度的公式 a b 它的值越小 等腰三角形就越接近等邊三角形 當(dāng)取值為0時 就是等邊三角形 例6 某校初一年級有兩個班 期末數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀者共有42人 全年級的優(yōu)秀率為40 其中一班的優(yōu)秀率為36 二班的優(yōu)秀率為42 求一 二班的人數(shù) 請參照此題不改變列二元一次方程組的形式和解法 再編一道類似的應(yīng)用題 4 無限連續(xù)型 這類問題的答案分布在一些實數(shù)區(qū)間內(nèi) 或者是一些可以連續(xù)變化的幾何圖形 描述這種變化的數(shù)學(xué)手法通常是引進參數(shù)表示 例7 兩個全等的三角板 可以拼出各種不同的圖形 下面各圖已畫出其中一個三角形 請你分別補畫出另一個與其全等的三角形 使每個圖形分別成不同的軸對稱圖形 所畫的三角形可與原三角形有重疊部分 四 數(shù)學(xué)開放題教學(xué)的教育學(xué)和心理學(xué)理論基礎(chǔ) 一 數(shù)學(xué)開放題教學(xué)的教育學(xué)理論基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育有三個領(lǐng)域 課程論 教學(xué)論和學(xué)習(xí)論 1 數(shù)學(xué)開放題教學(xué)的課程論理論基礎(chǔ) 學(xué)科中心課程論 兒童中心課程論和學(xué)問中心課程論2 數(shù)學(xué)開放題教學(xué)的課程論理論基礎(chǔ)教學(xué)的七條基本原則 1 階段漸進原則 2 啟發(fā)引導(dǎo)原則 3 過程教學(xué)原則 4 歸納演繹原則 5 面向全體原則 6 啟動學(xué)習(xí)原則 7 動機激發(fā)原則 數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)開放式教學(xué)模式由師生關(guān)系結(jié)構(gòu) 教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu) 教學(xué)過程結(jié)構(gòu)構(gòu)成了教學(xué)模式的三個 子結(jié)構(gòu) 數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)主要分為下面幾步 教師提出問題 學(xué)生動腦動手解答問題 討論研究 師生合作交流 師生提出來變式問題 深化研究 教師總結(jié) 或提出更一般化的問題 3 數(shù)學(xué)開放題教學(xué)的學(xué)習(xí)論基礎(chǔ) 國外的學(xué)習(xí)理論流派主要有 行為派 認知派 社會文化歷史學(xué)派 人本主義學(xué)派和建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論 二 數(shù)學(xué)開放題教學(xué)的心理學(xué)理論基礎(chǔ) 1 教育與學(xué)生心理的發(fā)展的密切關(guān)系 2 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)部與外部動力因素 五 數(shù)學(xué)開放題教學(xué)的研究意義 1 有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維 創(chuàng)造能力和創(chuàng)新意識 養(yǎng)成良好的思維品質(zhì) 提高數(shù)學(xué)能力和問題解決的能力 例1 盡量用多種方法在紙上畫出一個直角 解 按照一定的分類方法 1 疊紙法 2 工具畫圖 如三角板 量角器 3 尺規(guī)作圖 畫一條線段的垂線 4 利用三角形的性質(zhì) 如等腰三角形三線合一 5 利用四邊形的性質(zhì) 如菱形的兩對角線互相垂直 6 利用圓的性質(zhì) 如直徑所對的角為直角 相交兩圓公共弦垂直平分兩圓連心線等 2 加深學(xué)生對數(shù)學(xué)實質(zhì)的理解 有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)學(xué)應(yīng)用意識 加強數(shù)學(xué)交流 例2 已知 PAD中 APD 120度 B C為AD上的點 PBC為等邊三角形 試盡可能多地找出圖形中各幾何量之間的關(guān)系 結(jié)論 線段相等 角相等 角的互補關(guān)系 角的和差倍關(guān)系 三角形相似 線段乘積關(guān)系 三角形面積 例3 北京市出租車現(xiàn)行收費標(biāo)準(zhǔn)為 3公里以下 含3公里 收起步費10元 3公里以上至10公里 含10公里 部分每公里收費2元 10公里以上部分每公里收費3元 1 如果把張強所乘的公里數(shù)為設(shè)為x公里 那么他所需付出的出租車費用是多少 2 如果張強從家到公司有18公里 而他有兩種乘車方案 方案一 從家乘一輛出租車到公司 方案二 先從家上一輛出租車 行駛到10公里處下車 再換乘另一輛出租車到達公司 分兩次付費 請問 張強選擇哪一種乘車方案更省錢 3 張強 陳紅 楊梅三個人合乘一輛出租車 并并商定車費要合理分擔(dān) 如果張強在全程三分之一處下車 陳紅在全程三分之二處下車 楊梅一人坐到終點 全程共計車費48元 你認為他們?nèi)绾畏謹傑囐M比較合理呢 例4 從北京和上海同時向大慶運計算機 不同的運法就會有不同的運輸成本 請盡量按自己的想法去計算 從許多計算結(jié)果中找出最低的運輸成本和分配方案 3 鼓勵學(xué)生參與 充分發(fā)揮學(xué)生主體意識 學(xué)生體驗自我決定感 有能感和成功感 增強了自信心和對數(shù)學(xué)的濃厚興趣 例5 一個圓形花壇種分割成面積相等的四部分 種上四種不同的花 請你試可能多的給出分割方案 4 培養(yǎng)學(xué)生合作意識 探索精神 訓(xùn)練和養(yǎng)成良好的心理素質(zhì) 例6 用盡可能多的方法對勾股定理進行證明 5 數(shù)學(xué)開放題引起學(xué)生學(xué)習(xí)方式和教師教學(xué)方式的改變 例7 從小明家到學(xué)校有兩條路 其中一條比另一條長63米 已知其中一條道路長129米 現(xiàn)在小明和小紅同時從家出發(fā) 經(jīng)過3小時后同時到達學(xué)校 那么你能求出幾種數(shù)量關(guān)系 例8 由于大慶市正在搞城市建設(shè) 某工地需要一些形狀相同 大小相等的三角形 焊接起來做支架 現(xiàn)在請你下料 你會怎么辦 6 數(shù)學(xué)開放題的評價功能例如 兩圓外切于點T 為PT為其內(nèi)公切線 AB為其外公切線 且T A B為切點 PT與AB相交于點P 根據(jù)圖中所給出的條件及線段 請寫出一個正確結(jié)論 并加以證明 第三章 國內(nèi)外數(shù)學(xué)開放題發(fā)展現(xiàn)狀 一 數(shù)學(xué)開放題在日本的發(fā)展數(shù)學(xué)開放題起源于日本在1971年日本文部省島田茂小組首次提出數(shù)學(xué)開放題 的概念 他們設(shè)計了許多著名的經(jīng)典題型如 水槽問題 九九乘法表問題 花圃設(shè)計問題 等 日本的數(shù)學(xué)開放題研究經(jīng)歷了從 未完結(jié)問題 到 課題學(xué)習(xí) 的發(fā)展過程 日本隊的新大綱設(shè)置了 課題學(xué)習(xí) 的教學(xué)形式 課題學(xué)習(xí)中教師列舉日常生活中熟悉的事例 形成如 田徑場上的數(shù)學(xué) 交通安全中的數(shù)學(xué) 高層建筑中的數(shù)學(xué) 等問題 在課堂上和學(xué)生在討論中學(xué)習(xí) 一是作為綜合的 課題學(xué)習(xí) 例1 探索線段的黃金分割的比 方法一 在一條線段上用尺規(guī)作出黃金分割的作圖法 方法二 從特定的等腰三角形中得到黃金分割的比 方法三 從特定的長方形的兩邊之間的比得出黃金分割 方法四 從正五邊形中得到黃金分割比 二是作為問題解決的 課題學(xué)習(xí) 例2 求2人同生日的概率是多少 20人 30人 40人同生日的概率的結(jié)果又會怎么樣呢 用計算器計算各種情況下的結(jié)果 并調(diào)查其他班級的實際情況 檢驗計算結(jié)果 在日本1993年出版的6套初中數(shù)學(xué)教材中 設(shè)置了225個課題 包括數(shù)與式的課題29個 圖形的課題107個 函數(shù)和概率的課題44個 數(shù)學(xué)史和計算機的課題25個 1998年第一屆東亞國際數(shù)學(xué)教育大會認為 數(shù)學(xué)開放教學(xué)方法 是迄今為止亞洲人提出的唯一讓世界普遍接受并關(guān)注的一個口號 觀點 和思想 2 數(shù)學(xué)開放題在美國的發(fā)展美國在經(jīng)歷了 新數(shù)運動 的失敗后 總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn) 70年代提出了 回到基礎(chǔ) 80年代提出了 問題解決 1989年 美國國家研究委員會 NRC 發(fā)表了 休戚與共 關(guān)于數(shù)學(xué)教育失敗向全國所作的報告 文件提出了數(shù)學(xué)課程必須作出重大的改革 目前 美國近六分之一的中小學(xué)都采用的數(shù)學(xué)教材 芝加哥大學(xué)學(xué)校數(shù)學(xué)設(shè)計 中已經(jīng)編排了一部分數(shù)學(xué)開放題 在美國6年級的數(shù)學(xué)課上 學(xué)生會在老師的帶領(lǐng)下 觀看奧運會上100米短跑錄像 然后由學(xué)生得出決定一個運動員成績的主要因素的各種結(jié)論 美國的中小學(xué)數(shù)學(xué)競賽中也常常出現(xiàn)數(shù)學(xué)開放題 3 數(shù)學(xué)開放題在英國的發(fā)展英國是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的發(fā)源地 1988年 英國成立了國家課程委員會 對中小學(xué)校主要科目提出了改革方案 在英國國家課程中 數(shù)學(xué)是三大核心課程之一 在英國的課堂教學(xué)中 大量選用數(shù)學(xué)開放題 例1 中學(xué)的數(shù)學(xué)課上 學(xué)生們會離開教室 走上街頭 通過觀察得出結(jié)論 這個學(xué)校所在地區(qū)的自行車牌號的編制規(guī)則是什么 英國的高中畢業(yè)考試有這樣一個數(shù)學(xué)測試內(nèi)容 給學(xué)生指定一個路段 觀察兩邊的建筑和周圍環(huán)境 自己發(fā)現(xiàn)一個可用數(shù)學(xué)解決的問題 并把它轉(zhuǎn)化成為數(shù)學(xué)模式加以解決 可見問題的條件 結(jié)論 以至于解題的策略是全面開放的 二 數(shù)學(xué)開放題在我國的發(fā)展 1997年2月 開放題 數(shù)學(xué)教學(xué)的新模式 被立為國家教育科學(xué) 九五 規(guī)劃重點課題 2000年出臺的 新課程標(biāo)準(zhǔn) 提出編寫數(shù)學(xué)開放題進入教材的建議 2000年教育部發(fā)布的 2000年初中畢業(yè)升學(xué)考試改革指導(dǎo)意見 中明確指出 數(shù)學(xué)考試應(yīng)該設(shè)計一定數(shù)量的開放性問題 現(xiàn)在 全國各地中 高考的選拔考試和競賽中已經(jīng)出現(xiàn)了一些格調(diào)清新的開放性試題 并且比重越來越大 三 新課程標(biāo)準(zhǔn) 下數(shù)學(xué)開放題教學(xué)1 數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)案例 要求學(xué)生統(tǒng)計自己家庭一周內(nèi)丟棄的塑料袋個數(shù) 并依據(jù)所收集的數(shù)據(jù)展開討論 它的程序是 1 把這個問題作為家庭作業(yè) 2 學(xué)生自主進行統(tǒng)計活動 3 在課堂上讓幾位同學(xué)發(fā)表統(tǒng)計結(jié)果 可以列出統(tǒng)計表 也可以采取其它的形式 4 利用小組討論和班級討論的方式進行統(tǒng)計分析 老師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)對全班一周丟棄塑料袋情況用不同的算法進行描述和評價 5 結(jié)合問題情景深入領(lǐng)會有關(guān)概念 例如 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù)等概念的含義 通過問題的層層深入讓學(xué)生進一步感受不同統(tǒng)計量的差異 用不同統(tǒng)計量來表示同一問題的必要性 6 問題自然延伸 計算這些塑料袋對土地造成的污染 先估算一個袋的污染 然后通過多種方式計算推及到一周 一年 全班同學(xué)的家庭 全校同學(xué)的家庭 照這樣的速度要多久就會污染整個學(xué)校呢 三 新課程標(biāo)準(zhǔn)下的初中數(shù)學(xué)教學(xué) 2 教材在例題的編排上以數(shù)學(xué)開放題的形式呈現(xiàn)問題七年級下冊 數(shù)與代數(shù) 部分 6 3實踐與探索一節(jié) 共有4道例題 全部是以數(shù)學(xué)開放題的形式呈現(xiàn)的試解下列問題 與你的同伴討論與交流 問題3 用一根長60厘米的鐵絲圍成一個長方形 長方形的寬是長的 求這個長方形的長和寬 長方形的寬比長少4厘米 求這個長方形的面積 比較1 2 所得兩個長方形面積的大小 你能圍出面積更大的長方形嗎 討論 每小題中如何設(shè)求知數(shù) 在第2小題中 能不能直接設(shè)面積為x平方厘米 如不能 怎么辦 探索 求題2中的寬比長少4厘米改為3厘米 2厘米 1厘米 0厘米 即長寬相等 長方形的面積有什么變化 讀一讀 本節(jié)問題中 通過探索我們發(fā)現(xiàn) 長方形在周長一定的情況下 它的長和寬越接近 面積就越大 當(dāng)長和寬相等 既成為正方形時 面積最大 通過以后的學(xué)習(xí) 我們就會知道其中的道理 有趣的是 若把這根鐵絲圍成任何封閉的平面圖形 包括隨意七凹八凸的不規(guī)則圖形 面積最大的是圓 這里的道理需要很深的學(xué)問 將來你有興趣認識它嗎 問題4 小明爸爸前年存了年利率為2 43 的二年期定期儲蓄 今年到期后 扣除利息稅 所得利息正好為小明買了一只價值48 6元的計算器 問小明爸爸前年存了多少元 討論 扣除利息的20 那么實際得到利息的多少 你能否列出較簡單的方程 問題5 小張和父親預(yù)定搭乘家門口的公共汽車走趕往火車站 去家鄉(xiāng)看爺爺 在行駛了三分之一路程之后 估計繼續(xù)乘公共汽車將會在火車開車后半小時到達火車站 隨即下車改乘出租車 車速提高了一倍 結(jié)果趕在火車開車前15分鐘到達火車站 已知公共汽車的平均速度是40千米 時 問小張家到火車站有多遠 吳小紅同學(xué)給出了如下解法 張勇同學(xué)又提出另外一種解法 討論 試比較以上兩種解法 它們各是如何設(shè)未知數(shù)的 哪一種比較方便 是不是還有其他設(shè)未知數(shù)的方法 試試看 問題6 課外活動時 李老師來教室布置作業(yè) 有一道題只寫了 學(xué)校校辦廠需制作一塊廣告牌 請來兩名工人 已知師傅單獨完成需4天 徒弟單獨完成需6天 就加校長叫他聽一個電話而離開教室 調(diào)皮的小劉說 讓我試一試 上去添了 兩人合作需幾天完成 有同學(xué)反對 這太簡單了 但也引起了大學(xué)的興趣 于是各自試了起來 有添上一人先做幾天再讓另一人做的 有兩人先合作再一人離開的 有考慮兩人合作完成后的報酬問題的 李老師加到教室后選了兩位同學(xué)的問題 合起來在黑板上寫出 現(xiàn)由徒弟先做1天 再兩人合作 完成后共付給報酬450無 若按各人完成的工作量會給報酬 該如何分配 試解答這一問題 并與同學(xué)們一起交流各自的做法 又如七年級上冊 統(tǒng)計與概率 部分 5 2數(shù)據(jù)的表示一節(jié) 以問題的形式編排 其策略 和結(jié)論全部是開放的 問題1 解放以來 我國的國內(nèi)生產(chǎn)總值 GDP 一直呈遞增趨勢 1952年只有679億元 1962年上升到1149 3億元 1970年上升到2252 7億元 1980年上升到45117 8億元 1990年上升到18547 9億元 2000年上升到89404億元 摘自 經(jīng)濟日報 2001年3月4日第7版 設(shè)計一張統(tǒng)計表 簡明地表示這一段文字信息 再設(shè)計一張折線統(tǒng)計圖 直觀地表明這種遞增趨勢 從上述兩張圖表中 你能得出哪些結(jié)論 說說你的理由 可設(shè)計如表5 2 1和圖5 2 1所示的統(tǒng)計圖表 問題2 在2000年第27屆悉尼奧林匹克運動會上 中國體育代表團取得了很好的成績 中國體育健兒在該屆奧運會上共奪得多少枚獎牌 其獲得的金牌數(shù)中占多大的比例 從所獲獎牌總數(shù)情況看 和最近幾屆奧運會相比 中國體育健兒在本屆奧運會上的成績?nèi)绾?3 數(shù)學(xué)開放題在新教材的習(xí)題中 所占的數(shù)量不斷增多 七年級下冊6 3實踐與探索一節(jié) 的習(xí)題為例 全節(jié)共有19道習(xí)題 其中數(shù)學(xué)開放題占了4道 四個開放題是這樣編排的 1 為慶祝九運會開幕 初一班學(xué)生接受了制作小旗的任務(wù) 開始時只有一半同學(xué)參加制作 每天制作40面 完成了三分之一后 全班同學(xué)一起參加 結(jié)果提前一天半完成任務(wù) 假設(shè)每人制作效率相同 問共制作小旗多少面 將上題與問題5比較 你發(fā)現(xiàn)了什么 2 編一道聯(lián)系實際的應(yīng)用題 使所列的方程是 并與同學(xué)交流 比較一下 3 試將下題內(nèi)容改為與我們?nèi)粘Ｉ?學(xué)習(xí)有關(guān)的問題 使所列的方程相或相似 食堂存煤若干噸 原來每天燒煤3噸 用去15噸后 改進設(shè)備 耗煤量改為原來的一半 結(jié)果多燒了10天 求原存煤量 4 試對以下情景提出問題 并討論解答 某班組織去風(fēng)景區(qū)春游 大部分同學(xué)先坐公共汽車前往 平均速度為24千米 時 4名負責(zé)后勤的同學(xué)晚半小時坐校車出發(fā) 速度為60千米 時 同時到達山腳下 到達后發(fā)現(xiàn)乘坐纜車上山費用較大 且不能瀏覽沿途風(fēng)景 于是商定 大部隊步行上山 4名后勤改為先遣隊 乘纜車上山 做好在山頂舉行活動的準(zhǔn)備 纜車速度是步行的3倍 步行同學(xué)中途在一個景點逗留了10分鐘 到達山頂時比先遣隊晚了半小時 北師大版課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)八年級下冊第四章第七節(jié) 測量旗桿的高度 開放題教學(xué)實例 大慶市祥閣學(xué)校張琳琳 情境引入 古埃及金字塔到底有多高 新知探究 塔高AB 塔的影子BC 標(biāo)桿CD 標(biāo)桿的影子CE A B E C DCE AC DE ACB DEC DC EB AB EB ABC DCE 90 A B 新知探究 實驗活動 怎樣測量旗桿的高度 方法 利用陽光下的影子 D E A B C D E 方法 利用陽光下的影子 方法 利用標(biāo)桿 A B C E F D 方法 利用標(biāo)桿 HF DGF 人 標(biāo)桿 旗桿 A B C E F D 方法 利用標(biāo)桿 人 標(biāo)桿 旗桿 方法 利用小鏡子 方法 利用小鏡子 A B C D E BE CDE 1 2 ABE CDE 實驗活動 你還有其他的測量方法嗎 如圖 某同學(xué)想測量旗桿的高度 他在某時刻測得1米長的標(biāo)桿豎直放置時影子長為1 5米 他在同一時刻測量旗桿的影子長時 因旗桿靠近一棟樓房 影子不全落在地面上 一部分落在墻上 他測得落在地上的影子BC長為9m 留在墻上的影子CD高為2m 你能幫他求出旗桿AB的高度嗎 A B C D 變式練習(xí) F G H 2 9 1 1 5 2 9 如圖 某同學(xué)想測量旗桿的高度 他在某時刻測得1米長的標(biāo)桿豎直放置時影子長為1 5米 他在同一時刻測量旗桿的影子長時 因旗桿靠近一棟樓房 影子不全落在地面上 一部分落在墻上 他測得落在地上的影子長為9m 留在墻上的影子高為2m 你能幫他求出旗桿的高度嗎 A B C D 變式練習(xí) F G H 2 9 1 1 5 思維延伸 小明在某一時刻測得1m的桿子在陽光下的影子長為2m 他想測量電線桿AB的高度 但其影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上 量得CD 2m BC 10m CD與地面成45 求電線桿的高度 A B D C E F 這節(jié)課你有什么收獲 1 知識收獲 2 方法收獲 小結(jié)提升 作業(yè) 以小組為單位測量操場上的旗桿的高度 可以用多種方法 并填寫活動報告 祥閣學(xué)校張琳琳 一元一次不等式 組 在生活中的應(yīng)用 想和我們一起去旅游嗎 假如我們班要去旅游 以小組為單位分別組成4個旅游團利用我們學(xué)過的知識分析一下 你們組會選擇那個旅游團 為什么 壽山一日游180元 人 A每位游客六五折優(yōu)惠 解 設(shè)我們組人數(shù)為x人 選擇A團所需費用為yA元 選擇B團所需費用為yB元 則 第一組 第二組 第三組 第四組 人數(shù) 人數(shù) 人數(shù) 人數(shù) 所以當(dāng)有14人時兩種方式收費一樣 故選 故選 故選 故選 A全體六五折 B一人免費 其余七折 由180 65 x 180 70 x 1 得x 14 48x x 1 輛 X 2 輛 64 X 2 人 例 1 祥閣學(xué)校組織部分老師和三好學(xué)生去壽山旅游兩天 若租用48座客車若干輛 剛好坐滿 若租用64座客車 則能少租一輛 且有一輛沒有坐滿 但超過一半 已知租用48座客車每輛250元 租用64座客車每輛300元 問應(yīng)租用哪種客車較合算 32 第 X 2 輛座的人數(shù) 64 32 48X 64 X 2 64 48X 64 X 2 例 1 1 設(shè)租用48座的客車X輛 根據(jù)題意得 X取正整數(shù) X 5 2 當(dāng)X 5時 5 250 1250元 4 300 1200元 租用4輛64輛客車合算 32 48X 64 X 2 64 原不等式組的解集為4 X 6 所以當(dāng)房間有 間時 人數(shù)為 人 所以當(dāng)房間有 間時 人數(shù)為 人 解 設(shè)有四人間有x間 則x應(yīng)滿足的不等式組 解不等式組得 所以當(dāng)房間有 間時 人數(shù)為 人 0 4X 19 6 X 2 0 59 11 63 12 67 10 x為整數(shù) x 10 11 12 老師們想在農(nóng)家小園住上一晚 農(nóng)家小園有4人間和6人間兩種房間 且數(shù)目相同 若全部住4人間 19人沒地方住 若全部住6人間 有一間不滿也不空 你來算一算 四人間有幾間 來旅游的教師又有多少人 課堂小結(jié) 1 在進行某些數(shù)的運算時運用平方差公式會簡化運算 2 運用平方差公式進行式的運算時 要注意運算的順序 3 本節(jié)課運用了哪些方法 類比法 由特殊到一般 壽山旅游局地產(chǎn)開發(fā)公司計劃開發(fā)A B兩種類型的渡假別墅共80套 該公司所籌資金不少于2090萬元 但不超過2096萬元 兩種戶型號的建房成本和售價如下表 1 該公司對這兩種戶型有哪幾種建房方案 2 該公司如何建房獲得利潤最大 研究與探討 1 設(shè)A種戶型的別墅建X套 則B種戶型的別墅建 80 X 套 2090 X 28 80 X 209648 X 50 X取非負整數(shù) X為48 49 50 有三種建房方案 A型48套 B型32套 A型49套 B型31套 A型50套 B型30套 2 設(shè)該公司建房獲得利潤W 萬元 W 5X 6 80 X 480 X 當(dāng)X 48時 W最大 432 萬元 即A型48套 B型32套時獲得利潤最大 作業(yè) 1 動手編一道你身邊有關(guān)一元一次不等式 組 的應(yīng)用題 并用你學(xué)過的知識解決 2 有學(xué)生44人 住若干間宿舍 如果每間住8人 則有一間宿舍不滿也不空 問有多少間宿舍 如圖 平行四邊形ABCD E為CD邊延長線上的一點 連結(jié)BE交AD于F 找出圖中的基本圖形 找出圖中的基本圖形 B 二 練習(xí) 1 如圖 平行四邊形ABCD E為CD邊延長線上的一點 連結(jié)BE交AD于F 試猜想比例式是否成立 若成立 請證明 若不成立 請說明理由 中間比 B 等量BC B 在證明比例式成立時 通常的方法是 方法小結(jié) 找基本圖形 找中間比 找等量 D E 1 在下列各圖中 添加適當(dāng)?shù)钠叫芯€ 使結(jié)論成立 三 變式訓(xùn)練 輔助線的添加 2 在下列各圖中 添加適當(dāng)?shù)钠叫芯€ 使結(jié)論成立 G A 2 在下列各圖中 添加適當(dāng)?shù)钠叫芯€ 使結(jié)論成立 G 3 在下列各圖中 添加適當(dāng)?shù)钠叫芯€ 使結(jié)論成立 G A 3 在下列各圖中 添加適當(dāng)?shù)钠叫芯€ 使結(jié)論成立 G 總結(jié) 1 引平行線時 經(jīng)常過已知線段的端點引2 盡量使更多的已知線段成比例3 盡量不分割已知線段 已知 如圖 AD為 ABC的中線 F為AB上一點 且AF AB 2 3 CF交AD于E 求EF EC的值 四 學(xué)以致用 拓展思維 第五章透過中考命題看數(shù)學(xué)開放題課堂教學(xué)開放探究題是近幾年中考試題中的常見題型 以填空選擇和解答類的客觀試題呈現(xiàn) 如08年哈爾濱的28 3 題 大慶20 28題 09年牡丹江的26題 12年大慶的26題等 條件開放 題型一條件開放與探究 同類的題還有1 09日照 如圖 在四邊形ABCD中 已知AB與CD不平行 ABD ACD 請你添加一個條件 使得加上這個條件后能夠推出AD BC且AB CD 2 07大慶 如圖 請你添加一個條件 使OC OD 只添加一個即可 3 09龍巖 如圖2 點B E F C在同一直線上 已知 A D B C 要使三角形ABF與DCE全等 需要補充的一個條件是 寫出一個即可 4 09懷化 如圖3 已知AB AD BAE DAC 要使三角形ABC與ADE全等 可補充的條件是 寫出一個即可 5 04黑龍江 一組數(shù)據(jù)5 7 7 x的中位數(shù)與平均數(shù)相等 則x的值為 例1 08黑龍江 已知 正方形ABCD中 繞點A順時針旋轉(zhuǎn) 它的兩邊分別交CB DC 或它們的延長線 于點M N 當(dāng)繞點A旋轉(zhuǎn)到BM DN時 如圖1 易證BM DN MN 當(dāng)繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖2時 線段BM DN與MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系 寫出猜想 并加以證明 當(dāng)繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時 線段BM DN與MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系 請直接寫出你的猜想 1 猜想型 題型二 結(jié)論開放與探索 例2 09杭州 如圖 在等腰梯形ABCD中 C 60 AD BC 且AD DC E F分別在AD DC的延長線上 且DE CF AF BE交于點P 求證 AF BE 請你猜測 BPF的度數(shù) 并證明你的結(jié)論 3 09婁底 如圖5 AB AC D是BC的中點 連接AD 在AD的延長線上取一點E 連接BE CE 猜測 當(dāng)AE與AD滿足什么數(shù)量關(guān)系時 四邊形ABEC是菱形 并說明理由 4 09江西 如圖7 已知線段AB 2a a 是AB的中點 直線L1垂直于點A 直線L2垂直于點M 點P是L1左側(cè)一點 P到L1的距離為b a b 2a 作出點P關(guān)于L1的對稱點P1 并在PP1上取一點P2 使點P2 P1關(guān)于L2對稱 P1P2與AB有何位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系 請說明理由 例3 09河南 如圖所示 BAC ABD AC BD 點O是AD BC的交點 點E是AB的中點 試判斷OE和AB的位置關(guān)系 并給出證明 2 09麗水 已知命題 如圖8點A D B E在同一條直線上 AD BE A FDE 則 判斷這個命題是真命題還是假命題 如果是真命題 請給出證明 如果是假命題 請?zhí)砑右粋€適當(dāng)條件使它成為真命題 并加以證明 2 判斷型 3 09河南 如圖9 在Rt三角形ABC中 ACB 90 B 60 BC 2 點O是AC的中點 過點O的直線L與AC重合的位置開始 繞點O作逆時針旋轉(zhuǎn) 交AB邊于點D 過點C作CE AB交直線于點E 設(shè)直線L的旋轉(zhuǎn)角x 當(dāng)x 度時 四邊形EDBC是等腰梯形 此時AD的長為 當(dāng)x 度時 四邊形EDBC是直角梯形 此時AD的長為 3 當(dāng)x 90時 判斷四邊形EDBC是否為菱形 并說明理由 3 存在型 這類問題的特征是在提設(shè)條件下判斷數(shù)學(xué)對象的存在性 解法步驟是先假設(shè)數(shù)學(xué)對象成立 以此為前提 進行運算或推理 若推出矛盾可否定假設(shè) 否則給出肯定的證明 例4 大慶2012 26題 已知等邊三角形ABC的邊長為3個單位 若點P由A出發(fā) 以每秒1個單位的速度在三角形的邊上沿A B C A方向運動 第一次回到點A處停止運動 設(shè)AP S 用t表示運動時間 1 當(dāng)點P由B到C運動的過程中 用t表示S2 當(dāng)t取何值時 S等于 求出所有的t值 根據(jù) 2 中t的取值 直接寫出在哪些時段AP 09荊門 一開口向上的拋物線與X軸交于A m 2 0 B m 2 0 兩點 記拋物線頂點為C 且AC垂直于BC 若m為常數(shù) 求拋物線的解析式 若m為小于0的常數(shù) 那么 1 中的拋物線經(jīng)過怎么樣的平移可以使頂點在坐標(biāo)原點 設(shè)拋物線交y軸正半軸于D點 問是否存在實數(shù)m 使得為等腰三角形 若存在 求出m的值 若不存在 請說明理由 例5 大慶 如圖 四邊形AEFG和ABCD都是正方形 他們的邊長分別為 2a 且點F在AD上 以下問題的結(jié)果均可用a b的代數(shù)式表示 1 求 2 把正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45得圖 求圖 中3 把正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)一周 在旋轉(zhuǎn)的過程中 是否存在最大值 最小值 如果存在 直接寫出最大值 最小值 如果不存在 請說明理由 題型三策略開放與探究 例6 07黑龍江 四邊形 中 繞 點旋轉(zhuǎn) 它的兩邊分別交 或它們的 延長線 于 當(dāng) 繞 點旋轉(zhuǎn)到 時 如圖1 易證 當(dāng) 繞 點旋轉(zhuǎn) 時 在圖2和圖3這兩種情況下 上述 到 結(jié)論是否成立 圖1 圖2 圖3 A B C D F E M N M A B C D E F N A B C D E F N M 解題策略開放 例7 09淄博 請寫出符合以下三個條件的一個函數(shù)的解析式 1 過點 3 1 2 在第一象限內(nèi)y隨x的增大而減小 3 當(dāng)自變量的值為2時 函數(shù)值小于2 例8 09威海 如圖 在四邊形ABCD中 E是BC邊的中點 連接DE并延長 交AB的延長線于F點 AB BF 添加一個條件 使四邊形ABCD是平行四邊形 你認為下面四個條件中可選擇的是A AD BCB CD BFC A CD F CDE 例9 09大慶 先化簡 再從不等式組 的整數(shù)解中選擇一個恰當(dāng)?shù)臄?shù)帶入求值 例10 09十堰 如圖 四邊形ABCD是正方形 點G是BC上任意一點 DEAG于點E BFAG于點F 1 求證 DE BF EF 2 當(dāng)點G為BC邊中點時 試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系 并說明理由 3 若點G為CB延長線上一點 其余條件不變 請你在圖 中畫出圖形 寫出此時DE BF EF之間的數(shù)量關(guān)系 不需要證明 例11 09本溪 在中 AB AC 點D是直線BC上一點 不與B C重合 以AD為一邊在AD的右側(cè)作 使AD AE 連接CE 1 如圖 當(dāng)點D在線段BC上 如果 則 2 設(shè) 3 如圖 當(dāng)點D在線段BC上移動 則之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系 請說明理由 當(dāng)點D在直線BC上移動 則之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系 請直接寫出你的結(jié)論 12 09咸寧 如圖12 將矩形ABCD沿對角線AC剪開 再把ACD沿CA方向平移到 1 證明 2 若 試問當(dāng)點C在線段AC上的什么位置時 四邊形ABCD是菱形 并說明理由 13 09哈爾濱 已知 的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點F 如圖1若為銳角三角形且 過點F作FG BC 交直線AB與點G 求證 FG DC AD 如圖2 若 過點F作FG BC 交直線AB與點G 則FG DC AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系是 在 2 的條件下 若AG 5 DC 3 將一個45角的頂點與點B重合并繞點B旋轉(zhuǎn) 這個角的兩邊分別相交于線段FG于M N兩點 如圖3 連接CF 線段CF分別與線段BM 線段BN相交于P Q兩點 若NG 求線段PQ的長 二 結(jié)合中考挖掘教材價值 變式一 2006年大連市第23題 如圖13 1 圖13 2分別是兩個相同正方形 正六邊形 其中一個正多邊形的頂點在另一個正多邊形外接圓圓心O處 求圖13 1中 重疊部分面積與陰影部分面積之比 求圖13 2中 重疊部分面積與陰影部分面積之比 直接出答案 根據(jù)前面探索和圖13 3 你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況 n為大于2