7_3三重積分的計算

第三節(jié),一、三重積分的概念,二、三重積分的計算,三重積分,第七章,一、三重積分的概念,類似二重積分解決問題的思想,采用,引例:設(shè)在空間有限閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻的,物質(zhì),求分布在內(nèi)的物質(zhì)的,可得,“大化小,常代變,近似和,求極限”,解決方法:,質(zhì)量M.,密度函數(shù)為,定義.設(shè),存在,稱為體積元素,若對作任意分割:,任意取點(diǎn),則稱此極限為函數(shù),在上的三重積分.,在直角坐標(biāo)系下常寫作,三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.,性質(zhì):,例如,下列,中值定理.,在有界閉域上連續(xù),則存在,使得,V為的,體積,“乘積和式”極限,二、三重積分的計算,1.利用直角坐標(biāo)計算三重積分,方法1.投影法(“先一后二”),方法2.截面法(“先二后一”),方法3.三次積分法,先假設(shè)連續(xù)函數(shù),并將它看作某物體,通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計算,最后,推廣到一般可積函數(shù)的積分計算.,的密度函數(shù),方法:,方法1.投影法(“先一后二”),該物體的質(zhì)量為,細(xì)長柱體微元的質(zhì)量為,微元線密度,方法2.截面法(“先二后一”),為底,dz為高的柱形薄片質(zhì)量為,該物體的質(zhì)量為,面密度,投影法,方法3.三次積分法,設(shè)區(qū)域,利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:,當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號時,因?yàn)?均為非負(fù)函數(shù),根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計算.,小結(jié):三重積分的計算方法,方法1.“先一后二”,方法2.“先二后一”,方法3.“三次積分”,具體計算時應(yīng)根據(jù),三種方法(包含12種形式)各有特點(diǎn),被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇.,其中為三個坐標(biāo),例1.計算三重積分,所圍成的閉區(qū)域.,解:,面及平面,例2.計算三重積分,解:,用“先二后一”,2.利用柱坐標(biāo)計算三重積分,就稱為點(diǎn)M的柱坐標(biāo).,直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:,坐標(biāo)面分別為,圓柱面,半平面,平面,如圖所示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為,因此,其中,適用范圍:,1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單;,2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量互相分離.,其中為由,例3.計算三重積分,所圍,解:在柱面坐標(biāo)系下,及平面,柱面,成半圓柱體.,例4.計算三重積分,解:在柱面坐標(biāo)系下,所圍成.,與平面,其中由拋物面,原式=,3.利用球坐標(biāo)計算三重積分,就稱為點(diǎn)M的球坐標(biāo).,直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系,坐標(biāo)面分別為,如圖所示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為,因此有,其中,適用范圍:,1)積分域表面用球面坐標(biāo)表示時方程簡單;,2)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時變量互相分離.,例5.計算三重積分,解:在球面坐標(biāo)系下,所圍立體.,其中,與球面,例6.求曲面,所圍立體體積.,解:由曲面方程可知,立體位于xoy面上部,利用對稱性,所求立體體積為,yoz面對稱,并與xoy面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體為,且關(guān)于xoz,內(nèi)容小結(jié),積分區(qū)域多由坐標(biāo)面,被積函數(shù)形式簡潔,或,*說明:,三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:,對應(yīng)雅可比行列式為,變量可分離.,圍成;,1.將,用三次積分表示,其中由,所,提示:,思考與練習(xí),六個平面,圍成,2.設(shè),計算,提示:利用對稱性,原式=,奇函數(shù),3.設(shè)由錐面,和球面,所圍成,計算,提示:,利用對稱性,用球坐標(biāo),備用題1.計算,所圍成.,其中由,分析：若用“先二后一”,則有