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多項式,第一章多項式,多項式,1數環(huán)和數域,1數環(huán)和數域,數是數學中的一個基本概念,人們對數的認識經歷了一個長期的發(fā)展過程,由自然數到整數、有理數,然后是實數到復數。數學中的許多問題都和數的范圍有關,數的范圍不同,對同一問題的回答可能也不相同。例如,在實數范圍內沒有根,但在復數域內就有一對共軛復根。,在有理數范圍內不能進行因式分解,但在實域內就可以分解。,多項式,1數環(huán)和數域,我們通??紤]的數的范圍主要包括全體實數、全體有理數以及全體復數等,它們具有一些不同的性質,但也有很多共同的性質,在代數中經常將具有共同性質的對象統(tǒng)一進行討論。,一個數集中,數的加、減、乘、除運算稱為數的代數運算。,若數集P中任何兩個數做某一運算后的結果仍然在這個數集P中,則稱該數集P對這個運算是封閉的。,自然數集N對加、乘運算封閉,對減、除不封閉。整數集Z對加、減、乘運算封閉,對除不封閉。有理數集Q、實數集R、復數集C對加、減、乘、除(除數不為0)四種運算都封閉。,多項式,1數環(huán)和數域,根據數集對運算的封閉情況,可以得到兩類數集:數環(huán)和數域。,一、數環(huán),定義1:若P是由一些復數組成的非空集合,若數集P對加、減、乘三種運算都封閉,即對a,bP,總有a+b,a-b,abP,則稱數集P是一個數環(huán)。,例如:整數集Z、有理數集Q、實數集R、復數集C都是數環(huán)。,例1除了以上數環(huán)外,是否還有其他數環(huán)?有沒有最小數環(huán)?,例2一個數環(huán)是否一定包含0元?除零環(huán)外,是否還有只包含有限個元素的數環(huán)?,多項式,1數環(huán)和數域,例3證明,是包含,的最小數環(huán)。,二、數域,定義2:若P是由一些復數組成的集合,其中包含0和1,如果數集P對加、減、乘、除(除數不為0)四種運算都封閉,則稱數集P是一個數域。,定義3:若P是一個數環(huán),如果數集P內含有一個非零數對a,bP,且b0,有a/bP,則稱數集P是一個數域。,例如:有理數集Q、實數集R、復數集C都是數域。,多項式,1數環(huán)和數域,例4證明,是一個數域。,例5設,證明P2,P是一個數域,而且P是包含P1和P2的最小數域。,例6證明任何數域都包含有理數域Q。,例7在Q與R之間是否還有別的數域?R與C之間呢?,例8設F1和F2是兩個數域,證明:1)F1F2是一個數域;2)F1F2是數域的充分必要條件是F1F2或F2F1。,多項式,2一元多項式的定義和運算,2一元多項式的定義和運算,一、一元多項式的定義,定義1:設x是一個文字(或符號),n是一個非負整數,表達式其中a0,a1,an全屬于數域P,稱為系數在數域P中的一元多項式,或簡稱為數域P上的一元多項式。,定義1在以下兩方面推廣了中學的多項式定義:這里的x不再局限為實數,而是任意的文字或符號。多項式中的系數可以在任意數域中。,常數項,或稱零次項,稱為首項,其中首項系數an0,多項式,2一元多項式的定義和運算,例如:,是Q上的一元多項式。,是R上的一元多項式。,是C上的一元多項式。,而,都不是多項式。,定義2:如果在多項式f(x)與g(x)中,除去系數為零的項外,同次項的系數相等,那么就稱多項式f(x)或g(x)相等,記為f(x)=g(x),多項式,2一元多項式的定義和運算,定義3:設非負整數n稱為多項式f(x)的次數,記為,例如:,幾類特殊的多項式:零次多項式:次數為0的多項式,即非零常數。零多項式:系數全為0的多項式,即f(x)=0。對零多項式不定義次數,因此,在使用次數符號時,總假定f(x)0。首一多項式:首項系數為1的多項式。,多項式,2一元多項式的定義和運算,二、多項式的運算,定義4:設是數域P上次數分別為n和m的多項式(不妨假設mn),則多項式f(x)和g(x)的和,差為:當m1時,p(x)稱為f(x)的重因式。,如果f(x)的標準分解式為:則p1(x),p2(x),ps(x)分別是f(x)的k1重,k2重,ks重因式。,多項式,6重因式,定義2多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的一階導數f(x)是比f(x)低一次的多項式f(x)=annxn-1+an-1(n-1)xn-2+a1一階導數f(x)的導數稱為f(x)的二階導數,記為f(x)。f(x)的導數稱為f(x)的三階導數,記為f(x)。f(x)的k階導數記為f(k)(x)。,一個n次多項式的導數是一個n-1次多項式,它的n階導數就是一個常數,它的n+1階導數就是零。,多項式,6重因式,多項式的基本求導法則:1)(f(x)+g(x)=f(x)+g(x)2)(cf(x)=cf(x)3)(f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)4)(fm(x)=mfm-1(x)f(x),定理1若不可約多項式p(x)是f(x)的k重因式(k1),則p(x)是f(x)的k-1重因式。,推論1若不可約多項式p(x)是f(x)的k重因式(k1),則p(x)是f(x),f(x),f(k-1)(x)的因式,但不是f(k)(x)的因式。,多項式,6重因式,推論2不可約多項式p(x)是f(x)的重因式的當且僅當p(x)是f(x)與f(x)的公因式。,推論3多項式f(x)無重因式的充要條件是f(x)與f(x)互素。,例1求多項式有重因式的條件。,例2用分離重因式方法求多項式在Q上的標準分解式。,多項式,7多項式函數,7多項式函數,一、多項式函數的定義,定義1設f(x)Px,對任意的xP,作映射f:xf(x)P映射f確定了數域P上的一個函數f(x),f(x)稱為P上的多項式函數。,定義2設f(x)Px,對任意的cP,數f(c)=ancn+an-1cn-1+a0稱為當x=c時多項式函數f(x)的值,若f(c)=0,則稱c為f(x)在數域P中的根或零點。,多項式,7多項式函數,二、余數定理和綜合除法,定理1(余數定理)用一次多項式x-c去除多項式f(x),所得的余式就是一個常數,即這個多項式在x=c時的值f(c)。,問題:有沒有更簡單的方法確定帶余除法f(x)=q(x)(x-c)+r,利用綜合除法求q(x)與r時應注意:多項式系數按降冪排列,有缺項必須補上零除式x+b應變?yōu)閤-(-b),多項式,7多項式函數,例1求用x+2除f(x)=x5+x3+2x2+8x-5的商和余式。,例3每個多項式f(x)都可以唯一表示為x-x0的方冪和,即c0+c1(x-x0)+c2(x-x0)2+cn(x-xn)n的形式,其中c0,c1,cn為常數。,例4把f(x)=x5+x3+2x2+8x-5表示為x+2的方冪和。,例2設f(x)=x4+2x3-3x2+4x-5,求f(1+i)。,多項式,7多項式函數,定理2(因式定理)(x-c)是多項式f(x)的一個因式的充要條件是f(c)=0。,例5當a,b是什么數時,f(x)能被g(x)整除?其中f(x)=x4-3x3+6x2+ax+b,g(x)=x2-1。,三、多項式的根,定義3若x-c是f(x)的k重因式,則稱c是f(x)的一個k重根。當k=1時,c稱為f(x)的一個單根。,多項式,7多項式函數,定理3(根的個數定理)Px中的n次多項式(n0)在數域P中的根至多有n個,重根按重數計算。,定理4設f(x),g(x)Px,它們的次數都不超過n。若在P中有n+1個不同的數使得f(x)與g(x)的值相等。,問題:設a1,a2,an是P中n個不同的數,b1,b2,bn是P中n個任意的數,能否確定一個n-1次多項式f(x),使得f(ai)=bi,i=1,2,n,多項式,7多項式函數,四、多項式相等與多項式函數相等的關系,1、多項式相等,即f(x)=g(x)對應項的系數相等。2、多項式函數相等,即f(x)=g(x)cP有f(c)=g(c)。,定理5Px中兩個多項式f(x)和g(x)相等的充要條件是它們在P上定義的多項式函數相等。,多項式,8復系數與實系數多項式,8復系數與實系數多項式,問題:對于Px中的多項式多項式f(x),它在數域P上未必有根,但在復數域C上是否有根?,定理1(代數基本定理)每個次數1的復系數多項式在復數域中有一個根。,定理2每個次數1的復系數多項式在復數域中一定有一個一次因式。,一、復系數多項式,多項式,8復系數與實系數多項式,定理3任何次數1的復系數多項式在復數域中有n個根(重根按重數計算)。,推論1復數域上任何次數1的多項式都是可約的,即復數域上,不可約多項式只能是一次多項式。,推論2任何一個次數1的復系數多項式在復數域上都能分解為一次因式的乘積,在適當排序后,這個分解是唯一的。,多項式,8復系數與實系數多項式,一般的復系數多項式在復數域上的根與系數的關系。,設f(x)=a0 xn+a1xn-1+an-1x+an=a0(x-1)(x-2)(x-n)則a1/a0=-(1+2+n)a2/a0=(12+13+1n+n-1n)an/a0=(-1)n12n,例1求一個首項系數為1的4次多項式,使它以1和4為單根,-2為2重根。,多項式,8復系數與實系數多項式,二、實系數多項式,定理4如果是實系數多項式f(x)的一個復根,則的共軛復數也是f(x)的根,而且與有相同的重數。,定理5任何次數1的實系數多項式在實數域上都可唯一分解為一次因式與二次因式的乘積。,推論3Rx中不可約多項式除一次多項式外,只含有非實共軛復根的二次不可約多項式。,多項式,8復系數與實系數多項式,推論4實系數多項式在實數域上的標準分解式F(x)=a0(x-c1)l1(x-cs)ls(x2+p1x+q1)k1(x2+prx+qr)kr其中c1cs,p1pr,q1qr全為實數,l1ls,k1kr全為正整數,并且x2+pi+qi在實數域上是不可約的,即pi2-4qi0,例2已知實系數多項式x3+2x2+qx+r=0有一根是試求q,r,并求該方程的解。,例3求多項式xn-1在復數域和實數域上的因式分解。,多項式,9有理系數多項式,9有理系數多項式,一、整系數多項式的可約性,定義1(本原多項式)若非零整系數多項式f(x)的系數互素,則稱f(x)是一個本原多項式。,定理1(高斯引理)兩個本原多項式的乘積仍是本原多項式。,定理2一個非零整系數多項式f(x)在有理數域上可約的充要條件是它在整數環(huán)上可約。,多項式,9有理系數多項式,推論1設f(x),g(x)是整系數多項式,且g(x)是本原的,如果f(x)=g(x)h(x),其中h(x)是有理系數多項式,則h(x)一定是整系數多項式。,例1設f(x),g(x)是整系數多項式,若f(x)=g(x)h(x),則h(x)是否一定是整系數多項式。,例2設f(x),g(x)是本原多項式,且g(x)整除f(x),證明:f(x)除以g(x)的商也是本原多項式。,多項式,9有理系數多項式,問題:有理數域Q上的不可約多項式有什么特征?,定理3(Eisenstein定理)設f(x)=anxn+an-1xn-1+a0是一個整系數多項式,若存在素數p使得1、p|an2、p|an-1,an-2,a03、p2|a0則f(x)在有理數域上是可約的。,例3證明多項式f(x)=xn+3在有理數域上是不可約的。,多項式,9有理系數多項式,例4判斷多項式f(x)=x6-10 x3+2,g(x)=5x4-6x3+12x+6在有理數域上是否可約?。,例5設f(x)是有理數域上的多項式。證明:f(x)在有理數域是不可約的當且僅當存在有理數a0,b,使得多
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