分解質(zhì)因數(shù)(一)

第29講 分解質(zhì)因數(shù)(一)2005年2月28日，設(shè)在美國奧蘭多的梅森素?cái)?shù)搜索組織的一名數(shù)學(xué)愛好者，發(fā)現(xiàn)了迄今為止最大的素?cái)?shù)，即1。 素?cái)?shù)也叫做質(zhì)數(shù)，是只能被自己和1整除的數(shù)。如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)約數(shù)，那么就說這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。例如：2、3都是36的質(zhì)因數(shù)，4和9都是36的因數(shù)，但不是36的質(zhì)因數(shù)。把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。我們常用分解質(zhì)因數(shù)的方法，并利用已知的條件和未知條件中的數(shù)的特征，從而順利地解決一些相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。例題與方法例1、23( )=( )5。在括號(hào)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使等式成立，共有多少種不同的填法？ 思路點(diǎn)撥丁?。哼@是一道帶余除法，被除數(shù)是23，余數(shù)是5，要求的是除數(shù)和商。根據(jù)“被除數(shù)=除數(shù)商+余數(shù)”，可以知道“除數(shù)商=被除數(shù)余數(shù)=235=18”。小麥斯：對(duì)!這道題要用到帶余除法算式的數(shù)量關(guān)系：除數(shù)商=被除數(shù)余數(shù)，在上述討論中，既然知道了“除數(shù)商”的積是18，將18寫成兩個(gè)自然數(shù)相乘的形式，這樣共有三種情況：118、29、36。機(jī)靈猴：特別注意的是，余數(shù)必須比除數(shù)小，那么可以將1、2、3排除，因?yàn)樗鼈兌夹∮?，不能作為除數(shù)，剩下的只能是6、9和18作為除數(shù)了。解：符合題意的填法有：23(6)=35；23(9)=25；23(18)=15。小麥斯：聰明的小讀者，如果上面算式中的余數(shù)與商相同，被除數(shù)又應(yīng)是多少？例2、小華的妹妹參加了今年中學(xué)數(shù)學(xué)智力競(jìng)賽，小華問他妹妹：“這次競(jìng)賽你得了多少分？獲了第幾名？”妹妹告訴他：“我得的名次和我的歲數(shù)及我的分?jǐn)?shù)乘起來是2910，你看我的成績和名次各是多少？”思路點(diǎn)撥丁?。河深}中“我得的名次和我的歲數(shù)及我的分?jǐn)?shù)乘起來是2910”可以知道，2910是三個(gè)數(shù)量的乘積，那么就要把2910分解質(zhì)因數(shù)。小麥斯：將一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，常用短除法求得，有時(shí)也采用直接分解的方法，要注意的是，在質(zhì)因數(shù)的連乘中，一般要按照從大到小的順序排列。機(jī)靈猴：將2910分解質(zhì)因數(shù)得2910=23597。小華的妹妹是個(gè)中學(xué)生，不可能是2歲、3歲、5歲，也不能是6歲、10歲，因此，可以肯定，小華妹妹是35=15(歲)，名次是第2名，成績是97分。解：將2910分解質(zhì)因數(shù)得2910=23597=2(35)97答：小華的妹妹今年15歲，名次是第2名，成績?yōu)?7分。小麥斯：數(shù)學(xué)問題來源于生活，因此，有些數(shù)量可以結(jié)合實(shí)際情況作出判斷。例3、學(xué)校木工組做了一些長方形的教學(xué)用板，它們的長和寬是互質(zhì)數(shù)，而且這些長方形的面積都是2008平方厘米，這樣的長方形可能有多少種？思路點(diǎn)撥丁?。呵懊嫖覀儗W(xué)過了長方形的面積公式：長方形的面積=長寬，由題意可知，木板的面積是2008平方厘米，說明長乘的寬的積是2008 平方厘米，只要將2008寫成兩個(gè)數(shù)的乘積就可以了。即：2008=12008 =21004 =4502 =8251小麥斯：上面將2008寫成兩個(gè)整數(shù)的形式，要注意的是“它們的長和寬是互質(zhì)數(shù)”這一個(gè)條件及一些實(shí)際情況。機(jī)靈猴：互質(zhì)數(shù)就是公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)。在上面4組乘法算式中，只有1和2008互質(zhì)、8和251互質(zhì)，所以可能的答案只有兩組，另外，2008厘米長的木板，即20.08米長的教學(xué)木板，是不切實(shí)際的。丁?。号?這道題不僅要將2008寫成兩個(gè)整數(shù)的乘積，同時(shí)還要根據(jù)互質(zhì)數(shù)的概念，將不符合題意的數(shù)組排除在外。解：將2008寫成兩個(gè)整數(shù)相乘的形式，共有4組。112008、21004、4502、8251。其中互質(zhì)的是1和2008、8和251，1和2008不切實(shí)際，排除掉。答：可能的情況只有一組，即長251厘米、寬8厘米。小麥斯：公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)，上面的數(shù)組雖然有4組，但真正符合題意的只有1組，另外還要考慮一些實(shí)際情況。例4、將下列八個(gè)數(shù)平均分成兩組，并使這兩組數(shù)的乘積相等： 12、18、33、35、36、65、77、104 思路點(diǎn)撥 丁?。簩⑦@八個(gè)數(shù)平均分成兩組，每組四個(gè)數(shù)，并要求這兩組數(shù)的乘積相等，應(yīng)該怎么辦？小麥斯：注意到兩組乘式的積相等可以知道，在這兩組數(shù)的乘積中，所含有質(zhì)因數(shù)必須完全相同，因此，必須將這八個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，得：12=223；36=2233；18=233；65=513；33=311；77=711；35=57；104=22213。機(jī)靈猴：觀察上述分解式中，雖然有很多的質(zhì)因數(shù)，但只要適當(dāng)歸類，就可以發(fā)現(xiàn)其中的奧妙。小麥斯：從上面可以看出，104和65分在不同的組里，因?yàn)楹匈|(zhì)因數(shù)13的只有這兩個(gè)數(shù)，又因?yàn)?5含有質(zhì)因數(shù)5，所以，35和104應(yīng)在同一組；35里有質(zhì)因數(shù)7，那么77必須和65一組，同理，33、35和104一組，因?yàn)楣灿?個(gè)質(zhì)因數(shù)2，每邊共有4個(gè)質(zhì)因數(shù)2，所以，33、35、104和18一組，77、65、36和12應(yīng)為另一組。解：先把這八個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，再按各組中每種質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)相同的原則進(jìn)行劃分，可得：（3）（）（513）（711）（2）（311）（57）（13）即12366577183335104答：這兩組數(shù)分別是：12、36、65、99和18、33、35、104。小麥斯：兩組數(shù)的乘積相等，那么兩組數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，它們的質(zhì)因數(shù)也應(yīng)相同，真是利用這一特征，巧妙解決了這一問題。例5、504乘以自然數(shù)a，得到一個(gè)平方數(shù)，即等于某自然數(shù)的平方。求a的最小值和這個(gè)平方數(shù)。（a不為0）思路點(diǎn)撥丁?。何抑?，平方數(shù)是兩個(gè)相同的自然數(shù)相乘的積，如0、1、4、9、16、25、36、，而504a是一個(gè)較大的平方數(shù)，這可把我難住了！小麥斯：這其實(shí)并不難！要從平方數(shù)的特征分析起，因?yàn)橐粋€(gè)平方數(shù)所含有的每種質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)都為偶數(shù)。例如：36,362233，2和3的個(gè)數(shù)都是偶數(shù)。機(jī)靈猴：只要將504分解質(zhì)因數(shù)就可以了，然后將不是偶數(shù)個(gè)質(zhì)因數(shù)的補(bǔ)上1個(gè)，這樣就可以求出a的最小值，也就能求出這個(gè)平方數(shù)了！解：5047a27147056答：a的最小值是14，這個(gè)平方數(shù)是7056。小麥斯：關(guān)于平方數(shù)，它有許多特征，如它的每類質(zhì)因數(shù)都是偶數(shù)個(gè)；平方數(shù)的末尾只能是0、1、4、5、6、9；平方數(shù)除以4所得的余數(shù)只能余0或1，利用這些特征可以解決看似復(fù)雜卻很簡單的數(shù)學(xué)問題。例6、把若干個(gè)自然數(shù)1、2、3、4、，連乘起來，當(dāng)乘積的最末20位恰好都是0時(shí)，最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小是多少？思路點(diǎn)撥丁?。涸诔朔ㄓ?jì)算中，因?yàn)?510，這樣含有質(zhì)因數(shù)一個(gè)2和一個(gè)5乘積的末尾就有一個(gè)0了！小麥斯：要求乘積的末尾有20個(gè)0，必須有20對(duì)“25”這樣兩個(gè)質(zhì)因數(shù)相乘，在若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)（0除外）的算式中，含有質(zhì)因數(shù)2的個(gè)數(shù)一定多于含有質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)。機(jī)靈猴：這題的關(guān)鍵即是只需知道乘積中共需要20個(gè)質(zhì)因數(shù)5。丁?。嘿|(zhì)因數(shù)5包含在5的倍數(shù)中：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70、75、80、85等中，共有20個(gè)質(zhì)因數(shù)5，所以，最小值為85。小麥斯：這題還可以用估算的方法，確定含有質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)的范圍。假如最小值為70，質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)有16（個(gè)）；假如最小值為90，質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)有21（個(gè)），90585即是最小值。機(jī)靈猴：上面的解法真好，聰明的小讀者，你明白了嗎？解：123458485的積的末尾正好有20個(gè)0。答：最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小是85。小麥斯：如果要求的是最大值，答案又應(yīng)是多少？總結(jié)與提示分解質(zhì)因數(shù)是數(shù)論的一個(gè)重要組成部分，它是判定一個(gè)數(shù)是否質(zhì)數(shù)或合數(shù)的重要標(biāo)準(zhǔn)。將自然數(shù)列中的合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)是自然數(shù)的重要特性（質(zhì)數(shù)不可以分解質(zhì)因數(shù)），同時(shí)也為我們解決一些數(shù)學(xué)問題和生活中的數(shù)學(xué)問題提供了一種重要的數(shù)學(xué)思考方法，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚、陳景潤等在數(shù)論領(lǐng)域作出了杰出的貢獻(xiàn)。練習(xí)與提示（每題10分，共100分）1、 用1、2、3三個(gè)數(shù)字，允許重復(fù)使用，可以組成100以內(nèi)的哪些質(zhì)數(shù)？2、 三個(gè)自然數(shù)的乘積為120，其中兩個(gè)數(shù)的和等于另一個(gè)數(shù)，求這三個(gè)數(shù)。3、用462個(gè)大小相同的正方形拼成一個(gè)長方形，有多少種不同的拼法？4、把9、15、28、30、34、55、77、85這八個(gè)數(shù)平均分成兩組，使每組四個(gè)數(shù)的乘積相等，應(yīng)該怎樣分？5、如果兩個(gè)自然數(shù)的和是32，這兩個(gè)數(shù)的積可以整除3003，那么，這兩個(gè)數(shù)的差是多少？6、要使1453220積的末五位數(shù)都是0，里填入的自然數(shù)的最小值是多少？7、班主任李老師帶領(lǐng)五（1）班同學(xué)去種樹，全班同學(xué)恰好可以平均分成3組，如果老師與學(xué)生每人種樹棵數(shù)一樣多，則共種了364棵樹。五（1）班學(xué)生有多少人？每人種樹多少棵？8、有若干箱同樣大小的正方形