北京市延慶區(qū)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月份模擬考試試卷含答案

高三年級（數(shù)學(xué)） 第1頁（共 4 頁） 北京市延慶區(qū)高三模擬考試試卷 數(shù)學(xué) 2020. 3 本試卷共 5 頁，150 分。考試時長 120 分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題紙上，在試 卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將答題紙交回。 第一部分（選擇題，共第一部分（選擇題，共 40 分）分） 一、選擇題共一、選擇題共 10 小題，每小題小題，每小題 4 分，共分，共 40 分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合 題目要求的一項(xiàng)。 分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合 題目要求的一項(xiàng)。 （1）已知復(fù)數(shù) 2i 2izaa=是正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為 （A）0 （B）1 （C）1 （D）1 （2）已知向量(1, )ak= r ，( ,2)bk= r ，若a r 與b r 方向相同，則k等于 （A）1 （B）2 （C）2 （D）2 （3）下列函數(shù)中最小正周期為的函數(shù)是 （A）sinyx= （B） 1 cos 2 yx= （C）tan2yx= （D）|sin|yx= （4）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在其定義域上是增函數(shù)的是 （A） 1 y x = （B）tanyx= （C） ee xx y = （D） 2,0 2,0 xx y xx + = （5）某四棱錐的三視圖所示，已知 該四棱錐的體積為 4 3 3 ，則它的表 面積為 （A）8 （B）12 （C）44 3+ （D）20 （6） 25 1 (2)x x +的展開式中， 4 x的系數(shù)是 （A）160 （B）80 （C）50 （D）10 1 1 正（主）視圖 1 1 側(cè)（左）視圖 俯視圖 高三年級（數(shù)學(xué)） 第2頁（共 4 頁） （7）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)(1,2)A繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90到點(diǎn)B，設(shè)直線 OB與x軸正半軸所成的最小正角為，則cos等于 （A） 2 5 5 （B） 5 5 （C） 5 5 （D） 2 5 （8） 已知直線, a b， 平面, ，b=I，/ /a，ab， 那么 “a” 是 “” 的 （A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 （9） 某企業(yè)生產(chǎn),A B兩種型號的產(chǎn)品，每年的產(chǎn)量分別為10萬支和40萬支，為了擴(kuò) 大再生產(chǎn)，決定對兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)線進(jìn)行升級改造，預(yù)計改造后的,A B兩種產(chǎn)品的 年產(chǎn)量的增長率分別為50%和20%，那么至少經(jīng)過多少年后，A產(chǎn)品的年產(chǎn)量會 超過B產(chǎn)品的年產(chǎn)量（取lg20.3010=） （A）6 年 （B）7年 （C）8年 （D）9年 （10） 已知雙曲線 22 :1 169 xy C= 的右焦點(diǎn)為F， 過原點(diǎn)O的直線與雙曲線C交于 ,A B兩 點(diǎn)，且60AFB=，則BOF的面積為 （A）3 3 2 （B）9 3 2 （C）3 2 （D） 9 2 第二部分第二部分（非選擇非選擇題，共題，共 110 分分） 二二、填空題共、填空題共 5 小題小題，每小題，每小題 5 分分，共，共 25 分分。 （11）已知集合 |1 k Mx x = ，且3M ，則k的取值范圍是 （12）經(jīng)過點(diǎn)( 2,0)M 且與圓 22 1xy+=相切的直線l的方程是 （13）已知函數(shù) 22 ( )sinsin2cosf xxxx=+，則() 12 f = （14） 某網(wǎng)店統(tǒng)計連續(xù)三天出售商品的種類情況： 第一天售出19種商品， 第二天售出13 種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商 高三年級（數(shù)學(xué)） 第3頁（共 4 頁） 品有4種，則該網(wǎng)店第一天售出但第二天未售出的商品有 種；這三天 售出的商品至少有 種. （15） 在ABC中，10AB =，D是BC邊的中點(diǎn). 若6AC =，60A =， 則AD 的長等于 ；若45CAD=，6 2AC =，則ABC的面積等于 . 三三、解答題解答題共共 6 小題小題，共，共 85 分分。解答。解答應(yīng)應(yīng)寫出文字說明，寫出文字說明，演演算算步驟步驟或證明過程?；蜃C明過程。 （16） （本小題 14 分） 如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD是正方形，4AB =， PDPC，O是CD的中點(diǎn)，PO 平面ABCD，E是棱PC 上的一點(diǎn)，/ /PA平面BDE. （）求證：E是PC的中點(diǎn)； （）求證：PD和BE所成角等于90. （17） （本小題 14 分） 已知數(shù)列 n a是等差數(shù)列， n S是 n a的前 n 項(xiàng)和， 10 16a=， . （）判斷 2024 是否是數(shù)列 n a中的項(xiàng)，并說明理由； （）求 n S的最值. 從 8 10a =， 8 8a =， 8 20a =中任選一個，補(bǔ)充在上面的問題中并作答. 注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分。 （18） （本小題 14 分） A，B，C 三個班共有 120 名學(xué)生，為調(diào)查他們的上網(wǎng)情況，通過分層抽樣獲得了部 分學(xué)生一周的上網(wǎng)時長，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時） ： A 班 12 13 13 18 20 21 B 班 11 11.5 12 13 13 17.5 20 C 班 11 13.5 15 16 16.5 19 21 （）試估計 A 班的學(xué)生人數(shù)； O E D A C B P 高三年級（數(shù)學(xué)） 第4頁（共 4 頁） （） 從這120名學(xué)生中任選1名學(xué)生， 估計這名學(xué)生一周上網(wǎng)時長超過15小時的概率； （）從 A 班抽出的 6 名學(xué)生中隨機(jī)選取 2 人，從 B 班抽出的 7 名學(xué)生中隨機(jī)選取 1 人，求這 3 人中恰有 2 人一周上網(wǎng)時長超過 15 小時的概率. （19） （本小題 14 分） 已知函數(shù) 2 2 21 ( ) 1 axa f x x + = + ，其中0a . （）當(dāng)1a =時，求曲線( )yf x=在原點(diǎn)處的切線方程； （）若函數(shù)( )f x在0,)+上存在最大值和最小值，求a的取值范圍. （20） （本小題 15 分） 已知橢圓 22 22 :1(0) xy Gab ab +=的左焦點(diǎn)為(2,0)F ，且經(jīng)過點(diǎn)(2,1)C ， ,A B分別是G的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線 與G交于,P Q兩點(diǎn)（點(diǎn)在第 一象限） ，且與線段交于點(diǎn). （）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程； （）若3PQ =，求直線 的方程； （）若的面積是的面積的4倍，求直線 的方程. （21） （本小題 14 分） 在數(shù)列 n a中，若 * n a N，且 1 , , 2 3, n n n nn a a a aa + = + 是偶數(shù) 是奇數(shù) （1,2,3,n =L） ，則稱 n a為 “J 數(shù)列”.設(shè) n a為“J 數(shù)列” ，記 n a的前n項(xiàng)和為 n S. （）若 1 10a =，求 3n S的值； （）若 3 17S =，求 1 a的值； （）證明： n a中總有一項(xiàng)為1或3. OlQ ABM l BOPBMQl 高三年級（數(shù)學(xué)） 第5頁（共 4 頁） 延慶區(qū)延慶區(qū) 2019-2020 學(xué)年度高三數(shù)學(xué)試卷評分參考學(xué)年度高三數(shù)學(xué)試卷評分參考 一、選擇題一、選擇題: （每小題每小題 4 分，共分，共 10 小題，共小題，共 40 分分. 在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)是符合題目要求的） 1. C 2D 3D 4C 5. B 6B 7A 8. C 9. B 10. A 二二、填空填空題題: （每小題每小題 5 分，共分，共 5 小題，共小題，共 25 分分） 11(,3)； 12. 3 (2) 3 yx= +； 13 13 2 ； 1416,29； 157,42. 10. 考察知識：雙曲線的定義和性質(zhì)（對稱性、考察知識：雙曲線的定義和性質(zhì)（對稱性、漸近線、離心率漸近線、離心率） ，） ， 平行四邊形的定義和性質(zhì)（相鄰內(nèi)角互補(bǔ)） ，平行四邊形的定義和性質(zhì)（相鄰內(nèi)角互補(bǔ)） ， 三角形的性質(zhì)（余弦定理、面積公式）三角形的性質(zhì)（余弦定理、面積公式）. 正切兩角和公式正切兩角和公式 15. 在ACD中， sin2sin45 ACCD = ，在 ABD中， sin1sin3 ABBD = ， 相除得：相除得： 3 sin3 5 =， 所以 7 2 sinsin(453) 10 A=+= ， 所以 1 sin42 2 ABC SAB ACA = . 三、解答題： （三、解答題： （共共 6 小題，共小題，共 85 分分. 解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟.） 16.（）聯(lián)結(jié)AC，設(shè)AC與BD交于F，聯(lián)結(jié)EF， 1 分 因?yàn)?/ /PA平面BDE， 平面PACI平面BDE=EF, 所以 / /PAEF 4 分 因?yàn)?ABCD是正方形， 所以 F是AC的中點(diǎn) 所以 E是PC的中點(diǎn) 6 分 （） （法一）因?yàn)?PO 平面ABCD， E D A C B P F O x A F1 F y B A D C B 1 3 2 高三年級（數(shù)學(xué)） 第6頁（共 4 頁） 所以 POBC 7 分 因?yàn)?ABCD是正方形， 所以 BCCD 因?yàn)?PO CDO=I 所以 BC 平面PDC 10 分 所以 BCPD 因?yàn)?PDPC 因?yàn)?BCPCC=I 所以 PD 平面PBC 13 分 因?yàn)?BE 平面PBC 所以 PDBE 所以 PD與BE成90角. 14 分 （法二）連接OF， 因?yàn)?PO 平面ABCD， 所以 PO CD， PO OF. 7 分 因?yàn)?ABCD是正方形， 所以 OFCD. 所以 ,OF OC OP兩兩垂直. 以,OF OC OP分別為x、y、z建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.8 分 則(0,0,2)P，(0, 2,0)D，(4,2,0)B，(0,1,1)E， 9 分 (0, 2, 2)PD = uuu v ，( 4, 1,1)BE = uuu v , 10 分 0 ( 4)( 2) ( 1)( 2) 1PD BE= + + uuu v uuu v （1 分） 0= 13 分 所以所以 PD與BE成90角. 14 分 17. 解：選 （）因?yàn)?108 16,10aa=， 所以3d = 2 分 所以 18 7102111aad= 4 分 所以 1 (1)11 (1) 3 n aandn=+= + 高三年級（數(shù)學(xué)） 第7頁（共 4 頁） 314n= 6 分 令 3142024n=，則32038n = 此方程無正整數(shù)解 所以2024不是數(shù)列 n a中的項(xiàng). 8 分 不能只看結(jié)果； 某一步驟出錯，即使后面步驟都對，給分不能超過全部分?jǐn)?shù)的一半； 只有結(jié)果，正確給 1 分. （） （法一）令0 n a ， 即 3140n，解得： 142 4 33 n = 當(dāng)5n 時，0, n a 當(dāng)4n 時，0, n a 11 分 當(dāng)4n =時， n S的最小值為 4 11 85226S = = .13 分 n S無最大值 14 分 只給出最小值-26，未說明 n=4 扣 1 分. n S無最大值 1 分 （） （法二） 2 1 ()325 222 n n n aa Snn + =， 251 4 266 b a = 11 分 當(dāng)4n =時， n S的最小值為 4 325 16426 22 S = .13 分 n S無最大值 14 分 選 （） 108 16,8aa=Q， 4d= 2 分 18 782820aad= 4 分 1 (1)20(1)4 n aandn=+= + 424n= 6 分 令 4242024n=，則42048n = 高三年級（數(shù)學(xué)） 第8頁（共 4 頁） 解得512n = 2024是數(shù)列 n a中的第 512 項(xiàng). 8 分 （）令0 n a ， 即 4240n，解得：6n 當(dāng)6n =時，0, n a = 當(dāng)6n 時，0, n a 當(dāng)6n 時，0, n a 11 分 當(dāng)5n =或6n =時， n S的最小值為 56 20 16 12 8 460SS= =. 13 分 n S無最大值 14 分 選 （） 108 16,20aa=Q， 2d= 2 分 18 7201434aad=+= 4 分 1 (1)34(1)( 2) n aandn=+=+ 236n= + 6 分 令 2362024n+=，則994n = （舍去） 2024不是數(shù)列 n a中的項(xiàng). 8 分 （在 1, a d的基礎(chǔ)上利用單調(diào)性作出正確判定給滿分） （）令0 n a ， 即 2360n+，解得：18n 當(dāng)18n =時，0, n a = 當(dāng)18n 時，0, n a 當(dāng)18n 時，0, n a 11 分 當(dāng)17n =或18n =時， n S的最大值為 高三年級（數(shù)學(xué)） 第9頁（共 4 頁） 1718 18 (340) 306 2 SS + =. 13 分 n S無最小值. 14 分 18 （本小題滿分 14 分） 解： （）由題意知，抽出的 20 名學(xué)生中，來自A班的學(xué)生有6名根據(jù)分層抽樣 方法，A班的學(xué)生人數(shù)估計為 6 12036 20 = 3 分 只有結(jié)果 36 扣 1 分 （）設(shè)從選出的 20 名學(xué)生中任選 1 人，共有 20 種選法，4 分 設(shè)此人一周上網(wǎng)時長超過 15 小時為事件 D, 其中 D 包含的選法有 3+2+4=9 種， 6 分 9 () 20 P D=. 7 分 由此估計從 120 名學(xué)生中任選 1 名，該生一周上網(wǎng)時長超過 15 小時的 概率為 9 20 . 8 分 只有結(jié)果 9 20 而無必要的文字說明和運(yùn)算步驟，扣 2 分. （）設(shè)從A班抽出的 6 名學(xué)生中隨機(jī)選取 2 人，其中恰有(12)ii 人一周上 網(wǎng)超過 15 小時為事件 i E,從B班抽出的 7 名學(xué)生中隨機(jī)選取 1 人，此人一周上網(wǎng)超 過 15 小時為事件F 則所求事件的概率為： 21111 35332 21 21 67 15 1811 () 15 735 C CC C C P E FE F C C + = U. 14 分 （）另解：從 A 班的 6 人中隨機(jī)選 2 人，有 2 6 C種選法，從 B 班的 7 人中隨機(jī)選 1 人，有 1 7 C種選法， 故選法總數(shù)為： 21 67 15 7105CC=種 10 分 設(shè)事件“此 3 人中恰有 2 人一周上網(wǎng)時長超過 15 小時”為E， 則E中包含以下情況： （1）從 A 班選出的 2 人超 15 小時，而 B 班選出的 1 人不超 15 小時， 高三年級（數(shù)學(xué)） 第10頁（共 4 頁） （2）從 A 班選出的 2 人中恰有 1 人超 15 小時，而 B 班選出的 1 人 超 15 小時， 11 分 所以 21111 35332 21 67 15 1811 ( ) 15 735 C CC C C P E C C + = . 14 分 只有 21111 35332 21 67 15 1811 ( ) 15 735 C CC C C P E C C + = ，而無文字說明，扣 1 分 有設(shè)或答，有 11 ( ) 35 P E =，給 3 分 19 （本小題滿分 14 分） （）解： 22 2 ) 1( )1 (2 )(1 + = x x xfa時，當(dāng). 切線的斜率2)0(= fk； 0)0(=f 曲線)(xfy =在原點(diǎn)處的切線方程為：xy2=. 5 分 （） 22 22 ) 1( 2) 12() 1(2 )( + + = x xaaxxa xf 2 2222 222221 () (1)(1) axaxaaxxa xx + = + （）（） 7 分 （1）當(dāng)時，0a0 1 00)( 21 = a xaxxf； 則的變化情況如下表：隨、xxfxf)()( ）上單調(diào)遞減，）上單調(diào)遞增，在（在（+, 11 , 0)( aa xf 9 分 x 0 （0， a 1 ） a 1 （+， a 1 ） )(x f + 0 )(xf 1 2 a 遞增 ) 1 ( a f 遞減 法法 1： 2 ) 1 ()(a a fxf=的最大值為 10 分 ,1)0()(0)( 2 恒成立）時，（存在最小值，則若=+afxfxxf 高三年級（數(shù)學(xué)） 第11頁（共 4 頁） 1 1 12 2 2 2 + + a x aax 即： xa a xaax 1 2 1 12 2 22 ）（在), 0( +x恒成立， 0 2 1 2 a a . 1001, 0 2 aaa， 13 分 所以a的取值范圍為 1 , 0(. 14 分 法法 2： 2 ) 1 ()(a a fxf=的最大值為； 10 分 當(dāng) 1 x a 時，22ax ， 22 2110axaa+ + ， 0)(,+xfx時； 即 1 , 0 a x時， 22 ( )1,f xaa； ) 1 +， a x時， 2 ( )0f xa （ ， 01)0()( 2 = afxf存在最小值，則若， 10a 所以a的取值范圍為 1 , 0(. 14 分 用趨近說：0)(,+xfx時，論述不嚴(yán)謹(jǐn)，扣 1 分. （2）當(dāng)時，0a0 1 00)( 21 = a xaxxf；. 則的變化情況如下表：隨、xxfxf)()( x 0 （0，a） a （+ ，a） )(x f - 0 + )(xf 1 2 a 遞減 )( af 遞增 ）上單調(diào)遞增，）上單調(diào)遞減，在（在（+, 0)(aaxf 1 2 a y a 1 x 2 a 1 2 a y a 1 x 2 a 高三年級（數(shù)學(xué)） 第12頁（共 4 頁） 法法 1：1)()(=afxf的最小值為. 2 ( )0( )1,f xxf xa+若存在最大值，則，）時，恒成立 2 2 2 21 1 1 axa a x + + 即： xa a xaax 1 2 1 12 2 22 ）（在), 0( +x恒成立， 101, 0, 0 2 1 2 2 aaa a a ，. 綜上：a的取值范圍是 1 , 0( 1,（. 法法 2：1)()(=afxf的最小值為； 當(dāng)xa時， 2 22axa ， 22 2110axaa+ ， 0)(,+xfx； （論述不嚴(yán)謹(jǐn)，扣 1 分） 即0,xa時， 1, 1)( 2 axf；)xa +，時，)0 , 1)(xf 01)0()( 2 = afxf存在最大值，則若，1.a 綜上：a的取值范圍是 1 , 0( 1,（. 20 （本小題滿分 15 分） 解： （）法一：依題意可得 22 222 2, 21 1, . c ab abc = += =+ 解得 2 2 2. a b c = = = ， ， （試根法） 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22 1 42 xy +=. 3 分 法二：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為 1 F，則 1 |3CF =， 1 2 a y a x 1 高三年級（數(shù)學(xué)） 第13頁（共 4 頁） 24,2aa=， 2c =Q， 2b =， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22 1 42 xy +=. 3 分 （）因?yàn)辄c(diǎn)Q在第一象限，所以直線l的斜率存在， 4 分 設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為ykx=，設(shè)直線 l與該橢圓的交點(diǎn) 為 1122 ( ,),(,)P x yQ xy 由 22 24 ykx xy = += 可得 22 (1 2)40kx+=， 5 分 易知0 ，且 1212 2 4 0, 12 xxx x k += + ， 6 分 則 2222 12121212 ()()1()4PQxxyykxxx x=+=+ 7 分 2 2 22 41 10443 1212 k k kk + =+= + ， 所以 2 714 , 22 kk= (負(fù)舍)，所以直線l的方程為 14 2 yx=. 8 分 用Q到原點(diǎn)距離公式（未用弦長公式）按照相應(yīng)步驟給分， 設(shè)點(diǎn) 11 (,)Q x y，3,PQ =Q 3 , 2 OQ= 29 , 4 OQ= 22 11 9 , 4 xy+= 又 22 11 24,xy+=Q 解得： 11 27 , 22 xy= 所以直線l的方程為 1 1 y yx x =，即 14 2 yx=. （）設(shè)(,) mm M xy，() 00 ,Q xy，則() 00 ,Pxy，易知 0 02x， 0 01y. 由 ()2,0A ，(0, 2)B，所以直線AB的方程為220 xy+=. 9 高三年級（數(shù)學(xué)） 第14頁（共 4 頁） 分 若使BOP的面積是BMQ的面積的 4 倍，只需使得4OQMQ=， 10 分 法一： 即 3 4 M Q x x = . 11 分 設(shè)直線l的方程為ykx=，由 + 220 ykx xy = = 得， 22 (,) 1212 k M kk+ 12 分 由 22 24 ykx xy = += 得， 22 22 (,) 1212 k Q kk+ ， 13 分 代入可得 2 1418 270kk+=，即： 2 7 79 20 2 kk+=（約分后求解） 解得 9 28 14 k =，所以 9 28 14 yx =. 15 分 法二：所以 444 (,) 333 mm OQOMxy= uuu vuuuu v ，即 44 (,) 33 mm Qxy . 11 分 設(shè)直線l的方程為ykx=，由 220 ykx xy = = 得， 22 (,) 1212 k M kk+ 12 分 所以 88 (,) 3 3 23 3 2 k Q kk+ ，因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓G上，所以 22 00 1 42 xy +=， 13 分 代入可得 2 1418 270kk+=，即： 2 7 79 20 2 kk+= 解得 9 28 14 k =， 所以 9 28 14 yx =. 15 分 法三：所以 00