熱力學統(tǒng)計物理第六章

.,第六章,近獨立粒子的最概然分布,.,2,統(tǒng)計物理基本觀點：宏觀性質是大量微觀粒子運動的集體表現；宏觀物理量是相應微觀物理量的統(tǒng)計平均值。,.,任一粒子的狀態(tài)發(fā)生變化,則整個系統(tǒng)的微觀狀態(tài)發(fā)生變化,單粒子的狀態(tài)描述：用r個廣義坐標和r個廣義動量，N個粒子系統(tǒng)的運動狀態(tài)需要來確定。用共2r個變量為直角坐標，構成一個2r維空間，稱為相（u）空間。,q1、q2、qr；p1、p2、pr,系統(tǒng)由N個粒子組成，每個粒子的微觀態(tài)可用相空間的一個代表點表示，系統(tǒng)的微觀態(tài)可用相空間同一時刻的N個代表點描述,q1、q2、qr；p1、p2、pr,6.1粒子運動狀態(tài)的微觀描述,.,4,微觀粒子具有波粒二相性，德布羅意指出：能量為，動量為p的物體聯(lián)系著圓頻率為，波矢為k的平面波，并有,6.2粒子運動狀態(tài)的量子描述,粒子狀態(tài)是分立(不連續(xù)）的。粒子所處的狀態(tài)叫量子態(tài)(單粒子態(tài))。量子態(tài)用一組量子數表征（如自由粒子nx,ny,nz）.不同量子態(tài)的量子數取值不同。量子描述單粒子的狀態(tài)是確定單粒子的量子態(tài)，對于N個粒子的系統(tǒng)，就是確定各個量子態(tài)上的粒子數。,.,5,6.3系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述,全同粒子系統(tǒng)就是由具有完全相同屬性（相同的質量、自旋、電荷等）的同類粒子所組成的系統(tǒng)。如自由電子氣體。近獨立粒子系統(tǒng)：粒子之間的相互作用很弱，相互作用的平均能量遠小于單個粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之間的相互作用。將整個系統(tǒng)的能量表達為單個粒子的能量之和。(如理想氣體：近獨立的粒子組成的系統(tǒng)),一基本概念,系統(tǒng)的微觀態(tài)：整個系統(tǒng)的力學狀態(tài),.,6,1、微觀系統(tǒng)的經典描述,系統(tǒng)由N個粒子組成，每個粒子的微觀態(tài)可用相空間的一個代表點表示，系統(tǒng)的微觀態(tài)可用相空間同一時刻的N個代表點描述，即(i=1，2.N),共2Nr個變量為確定。,qi1、qi2、qir；pi1、pi2、pir,一個粒子運動狀態(tài)用相空間一個點，一個系統(tǒng)用相空間N個點來表示。（特定的條件下可用）在該描述下全同粒子可分辨,.,7,定域粒子：全同而又可辨的粒子。例如晶體中的原子或離子定域在其平衡位置附近作微振動、這些粒子就量子本性而然是不可分辨的（全同性），但可以根據粒子的位置對其加以區(qū)分（可分辨）。所以晶體中的原子或離子可看成是定域粒子。,2、微觀系統(tǒng)的量子描述,不可分辨的全同粒子系統(tǒng)(非定域系）,.,8,玻耳茲曼系統(tǒng)粒子可以分辨,每個個體量子態(tài)上的粒子數不受限制.,確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定每個粒子所處的個體量子態(tài)。確定了每個粒子所處的量子態(tài)就確定了系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài),(如定域系)。,例：設系統(tǒng)由A、B兩個粒子組成（定域子）。粒子的個體量子態(tài)有3個,討論系統(tǒng)有那些可能的微觀狀態(tài)？,因此，對于定域系統(tǒng)可有9種不同的微觀狀態(tài)，即32。一般地為.,A,B,1,2,3,.,9,不可分辨的全同粒子系統(tǒng)(非定域系）,確定由全同近獨立粒子組成的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)歸結為確定每一個體量子態(tài)上的粒子數?；颍捍_定了每個量子態(tài)上的粒子數就確定了系統(tǒng)的微觀狀態(tài),（1）玻色系統(tǒng)：即自旋量子數為整數的粒子組成的系統(tǒng).,如光子自旋為1、介子自旋為0。由玻色子構成的復合粒子是玻色子，由偶數個費米子構成的復合粒子也是玻色子,粒子不可分辨，每個量子態(tài)上的粒子數不限（即不受泡利原理限制）,.,10,上例變?yōu)?A=B),兩個玻色子占據3個量子態(tài)有6種方式,.,（2）費米系統(tǒng)：即自旋量子數為半整數的粒子組成的系統(tǒng),粒子不可分辨，每個個體量子態(tài)上最多能容納一個粒子（費米子遵從泡利原理）。,兩個費米子占據3個量子態(tài)有3種占據方式,系統(tǒng)由兩個粒子組成（定域子）。粒子的個體量子態(tài)有3個,討論系統(tǒng)有那些可能的微觀狀態(tài),.,12,對于不同統(tǒng)計性質的系統(tǒng)，即使它們有相同的粒子數、相同的量子態(tài)，系統(tǒng)包含的微觀狀態(tài)數也是不同的。上例僅為兩個粒子組成的系統(tǒng)、三個量子態(tài)。對于大量微觀粒子組成的實際系統(tǒng)，其微觀狀態(tài)數目是大量的。,.,13,宏觀態(tài)：系統(tǒng)的熱力學狀態(tài)用少數幾個宏觀參量即可確定系統(tǒng)的宏觀態(tài)。微觀態(tài)：系統(tǒng)的力學狀態(tài)。確定方法：可分辨的全同粒子系統(tǒng)(玻耳茲曼系統(tǒng))；不可分辨的全同粒子系統(tǒng)(玻色、費米系),宏觀性質是大量微觀粒子運動的集體表現；宏觀物理量是相應微觀物理量的統(tǒng)計平均值。,6.4等概率原理,.,14,微觀粒子的狀態(tài)雜亂無章，一個系統(tǒng)的力學狀態(tài)也是雜亂無章的，有很多個可能的狀態(tài)，那么，每個狀態(tài)出現的概率為多少呢，與什么因素有關,確定各微觀狀態(tài)出現的概率就能用統(tǒng)計的方法求出微觀量的統(tǒng)計平均值，從而求出相應宏觀物理量，因此確定各微觀狀態(tài)出現的概率是統(tǒng)計物理學的基本問題。,.,1、等概率原理：對于處理平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)系統(tǒng)，各個可能狀態(tài)出現的概率是相等的等概率原理是統(tǒng)計物理的一個基本假設，是平衡態(tài)統(tǒng)計物理的基礎。,.,16,全同近獨立粒子組成的系統(tǒng)，具有確定的粒子數N，能量E和體積V，系統(tǒng)的N個粒子分布于各個能級，設第i能級上的粒子數為ai，則組成系統(tǒng)的粒子處于各能級的情況可描述為：,以符號表示，稱為一個分布。,分布滿足條件：,6.5分布和微觀狀態(tài),.,17,簡并度,粒子數,N粒子系統(tǒng)的能級,即：能級1上有a1個粒子，能級2上有a2個粒子，。,分布只表示每一個能級上有多少個粒子。當能級是簡并態(tài)時，一種分布包含很多種微觀狀態(tài)。每一種不同的量子態(tài)的占據方式都是不同的微觀運動狀態(tài)。,.,18,(1)al個離子占據能級l上的l個量子態(tài)時，第一個粒子可以占據個量子態(tài)中的任何一個態(tài)，有l(wèi)種可能的占據方式。由于每個量子態(tài)能夠容納的粒子數不受限制，在第一個粒子占據了某一個量子態(tài)以后，第二個粒子仍然有l(wèi)種的占據方式，這樣al個編了號的粒子占據l個量子態(tài)共有種可能的占據方式，,1、玻耳茲曼系統(tǒng)(定域系統(tǒng))的分布規(guī)律：,.,(2)各個能級都考慮在內，系統(tǒng)總的占據方式數:,(3)現在考慮將N個粒子互相交換，不管是否在同一能級上，交換數是N!，在這個交換中應該除去在同一能級上al個粒子的交換al!因此得因子,.,20,例：系統(tǒng)有6個可分辨粒子，共兩個能級，1=3，2=4給定分布：a1=4,a2=2,(4)系統(tǒng)分布al包含的總微觀狀態(tài)數為,能級之間粒子交換的方式數目為,.,2、玻色系統(tǒng)分布al包含的微觀狀態(tài)數,粒子不可分辨，交換任意一對粒子不改變系統(tǒng)的微觀態(tài)。每個量子態(tài)上的粒子數不受限制。,這樣就確定了每個量子態(tài)上的粒子數，即確定了一種占據方式（一個微觀態(tài)）。,.,22,粒子和量子態(tài)之間的交換會產生新的占據方式：,量子態(tài)和量子態(tài)之間的交換不產生新的占據方式：,顯然，粒子和粒子之間的交換不會產生新的占據方式。,其中粒子與粒子的交換、量子態(tài)與量子態(tài)的交換不產生新的微觀態(tài)。只有量子態(tài)與粒子交換導致不同微觀態(tài)。,量子態(tài)、粒子各種交換(排列)總數,.,23,量子態(tài)交換數,粒子交換數,各種交換共有種可能的方式。,（2）將各種能級的結果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布al相應的微觀狀態(tài)數為：,.,24,3、費米系統(tǒng)分布al包含的微觀狀態(tài)數：,將各能級的結果相乘，得到費米系統(tǒng)與分布al相應的微觀狀態(tài)數為：,粒子不可分辨，每一個個體量子態(tài)最多只能容納一個粒子。,相當于從個量子態(tài)中選個被粒子占據。,.,6.6玻耳茲曼分布,玻爾茲曼系統(tǒng),玻色系統(tǒng),費米系統(tǒng),微觀狀態(tài)數是分布al的函數，不同的分布存在不同個微觀狀態(tài)數，可能存在這樣一個分布，它使系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數最多。,.,26,根據等概率原理，對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個可能的微觀狀態(tài)出現的概率是相等的，那么微觀狀態(tài)數最多的分布，出現的概率最大，稱為最可幾分布（最概然分布）。,.,為什么提出最概然分布？,出現概率最大分布隨機現象多次呈現的結果,當最概然分布的幾率大于非概然幾率很多時，系統(tǒng)呈現出基本相同的狀態(tài)可以用其表征平衡態(tài)分布,.,28,一、玻爾茲曼分布的推導（M.B.系統(tǒng)）,1、寫出分布及對應的微觀狀態(tài)數,玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布玻耳茲曼分布。,.,29,2取對數，用斯特林公式化簡,斯特林近似公式,要求,要求,30,.,3拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求極值,對上式做一次微分，對于極值，一次微分為零,.,31,由于系統(tǒng)確定，則還要滿足約束條件：,對上兩式子做一次微分得到：,上兩式子乘以未定乘子得到：,.,32,即,稱為麥克斯韋玻耳茲曼分布（玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布）。,任意，所以,.,33,玻色分布和費米分布,包含微觀狀態(tài)數目最大的分布出現的概率最大，是系統(tǒng)的最概然分布。,.,34,此式給出了玻色系統(tǒng)粒子的最概然分布，稱為玻色分布。,二、費米分布費米分布的推導作為練習，請同學們課后自己推導.,.,費米分布,.,36,三種分布的關系,這時玻色分布和費米分布都過渡到玻耳茲曼分布。,由知,與,是一致的，都稱為非簡并性條件，或經典極限條件。,滿足經典極限條件時，玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)都過渡到玻耳茲曼分布。,通常條件下的理想氣體（非定域系）即屬于這種情況。,.,37,玻耳茲曼系統(tǒng)遵從玻耳茲曼分布。（如順磁固體等定域系統(tǒng)）。,總之：,玻色系統(tǒng)遵守玻色分布；費米系統(tǒng)遵守費米分布。,滿足經典極限條件時，玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)都滿足玻耳茲曼分布。,定域系統(tǒng)和滿足經典極限條件的玻色(費米)系統(tǒng)雖然遵從同樣的分布，但它們的微觀狀態(tài)數是不同的。,.,38,假如系統(tǒng)可以應用M-B分布,而且粒子的能級非常密集,則粒子的能量可看作是連續(xù)的，問題可用經典方法處理，這時的M-B分布稱為經典分布。,.,39,拉氏乘子、由約束條件決定：,.,40,令,稱之為粒子配分函數,.,41,復習題二,1、簡述統(tǒng)計物理的基本觀點、基本假設,2、簡述全同近獨立粒子系統(tǒng),3、簡述玻爾茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)的